Typed lambda calculus: Difference between revisions

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In [[calculus]] and other branches of [[mathematical analysis]], an '''indeterminate form''' is an [[algebraic expression]] obtained in the context of [[limit of a function|limits]].  Limits involving algebraic operations are often performed by replacing subexpressions by their limits; if the expression obtained after this substitution does not give enough information to determine the original limit, it is known as an indeterminate form.  The indeterminate forms include 0<sup>0</sup>, 0/0, 1<sup>∞</sup>, ∞&nbsp;&minus;&nbsp;∞, ∞/∞,  0&nbsp;×&nbsp;∞, and ∞<sup>0</sup>.
== Mich . Air Force One Blanc ==


== Discussion ==
Intéressant de noter que vous ne laissez pas votre vrai nom. Considérant que, les quatorze équipes qui ne parviennent pas à faire les séries éliminatoires sont entrés dans un tirage au sort pour déterminer le projet d'ordonnance pour les quatorze premières sélections de la draft.12 cours du projet, chaque club est autorisé à sélectionner un joueur dans chacun des sept tours, à moins que le club a troqué ou acquis les droits pour un projet de sélection particulière, dans un accord avec un autre club.13 Chaque joueur rédigé est ajouté à la liste de réserve pour la rédaction club.14 La liste de réserve permet au club de rédaction de conserver l'exclusivité le droit de signer le joueur pour [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=170-Air-Force-One-Blanc Air Force One Blanc] une période de temps qui varie en fonction de plusieurs facteurs tels que l'âge, la nationalité, et de jouer experience.15 La période de droits exclusifs et l'effet que ces facteurs ont sur la période sont codifiées dans l'article 8 de la LNH . <br><br>«Nous essayons juste de gagner et de réussir. C'est l'un des sentiments les plus grands dans le monde. L'un des clients de Chase, qui a travaillé dans le marketing pharmaceutique, admis à lui dans une simulation d'entrevue qu'il était impatient et n'ont pas aimé passer du temps avec ses subordonnés qui ont tardé à faire son chemin.. <br><br>Pour obtenir leur propre énergie et les nutriments dont ils brisent les molécules organiques en plus petits. Cela peut faire mal. Un [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=279-Air-Jordan-11-Femme-Pas-Cher Air Jordan 11 Femme Pas Cher] assèchement de remise de fonds en Somalie est la dernière chose que le gouvernement britannique doit car il a investi beaucoup d'efforts politique en remettre le pays sur ses pieds.. <br><br>Cependant, la plupart des élèves autistes ont des ennuis avec la phonologie (ou sonder) des mots. Je n'ai pas moi-même suppose deuxième dans la façon dont je l'ai fait ou ce que j'ai fait. La plupart d'entre nous ont connu les années 1960 de Adam West Batman dans les jours précédant HD, étaient donc probablement pas au courant que Cesar Romero le bien-aimé, difficile de faire la fête "latine de [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=55-Chaussure-Tn-Requin-Homme Chaussure Tn Requin Homme] Manhattan" était si attaché à son voisin de nez, il a catégoriquement refusé de raser en jouant le Joker . <br><br>Sandra LayneDefendant Sandra Layne, droit, éclate en sanglots pendant la lecture de l'appel au 911 fait par son petit-fils Jonathan Hoffman, comme la bande est lue à l'audience et présenté en preuve lors d'une audience Monday, 2 Juillet 2012 à Bloomfield Hills, Mich . <br><br>7. Tant mieux pour eux, et j'espère que cela fonctionne. Et il est clair que nous nous rapprochons de plus en plus aux événements de La Revanche des Sith à ce point. Voici les dernières nouvelles le jeudi 5 Décembre: l'air froid amer se déplaçant à travers le pays, [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=73-Chaussure-Nike-Air-Force-I-07-Pour-Homme Chaussure Nike Air Force I 07 Pour Homme] les travailleurs de fast-food de protestation à l'échelle nationale; dizaines de morts dans Af centrale..<ul>
The most common example of an indeterminate form is 0/0. As ''x'' approaches 0, the ratios  ''x''/''x''<sup>3</sup>, ''x''/''x'', and ''x''<sup>2</sup>/''x'' go to <math>\scriptstyle\infty</math>, 1, and 0 respectively. In each case, however, if the limits of the numerator and denominator are evaluated and plugged into the division operation, the resulting expression is 0/0. So (roughly speaking) 0/0 can be 0, or <math>\scriptstyle\infty</math>, or it can be 1 and, in fact, it is possible to construct similar examples converging to any particular value. That is why the expression 0/0 is indeterminate.
 
  <li>[http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/ http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/]</li>
 
  <li>[http://www.meimingmall.com/news/html/?53011.html http://www.meimingmall.com/news/html/?53011.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17271871 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17271871]</li>
 
  <li>[http://www.tztea.com.cn/news/html/?147332.html http://www.tztea.com.cn/news/html/?147332.html]</li>
 
</ul>


More formally, the fact that the [[function (mathematics)|functions]] ''f'' and ''g'' both approach 0 as ''x'' approaches some [[limit point]] ''c'' is not enough information to evaluate the [[limit of a function|limit]]
== Rosenbaum Prix Polo Ralph Lauren La Vallée Village ==


: <math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}. \! </math>
Robots. Mon 8 mois sont mis en grève il ya une semaine, mon spécialiste en lactation dit [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=19-Prix-Polo-Ralph-Lauren-La-Vallée-Village Prix Polo Ralph Lauren La Vallée Village] qu'il peut être lié à ma réaction me la mordre quelques fois, il était évident que je n'étais dans la douleur! . La première étape pour perdre de la graisse est la [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=133-Air-Max-2013-Femme Air Max 2013 Femme] coupe de retour sur ces aliments. <br><br>Marshall chante pour ses clients. Décideurs de niveau C sont payés à améliorer leur bu. "Et vous continuerez à avoir brûler des calories après, aussi.". Découvrez si vous êtes un pompier, un Verseau ou un Chatty Kathy!. Cuire au four environ 35 à 40 minutes, en tournant une fois environ 20 minutes le temps de cuisson.. <br><br>Nous sommes conditionnés à penser que plus d'argent achète de meilleures choses, mais ce n'est pas le cas dans l'oasis de produits. Je suis vraiment intéressé à eux sur le plan humain. Une étude de l'Hartford Financial Services Group et l'Institut de technologie du Massachusetts AgeLab 2008 a révélé que les couples qui répartissent les tâches financières, où l'un des époux gère journée à la facture de jour payer et l'autre la gestion des investissements, s'en sortent mieux que ceux qui distribuent [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=118-Air-Max-87-Safari-Pas-Cher Air Max 87 Safari Pas Cher] les rênes financières une personne tandis que l'autre prend une banquette arrière.. <br><br>Parce que ce serait TED sans parler?. Autres situations à couvrir dans un plan 504 pourraient inclure des fêtes d'anniversaire à l'école, de la manutention de matériaux contenant du gluten dans les classes d'art ou des collations lors d'excursions.. <br><br>C'est en grande partie à leur avantage que la Corée du Nord a créé une vidéo de New York étant décimée, et pour eux que la Corée [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=320-Nike-Air-Max-Femme-2013 Nike Air Max Femme 2013] du Nord menace son troisième essai d'un engin nucléaire .. C'est là qu'il a rencontré Alma Reville, mais ils n'ont jamais vraiment parlé à l'autre. <br><br>Si vous êtes partant pour une mission, nager votre vitesse en face de l'ancienne station baleinière sur la côte orientale de la rivière ou aller à pied à partir de la fin Boydtown .. Revêtement sert à deux fins, à la fois nouveau émettant les rayons UV que la lumière visible et protection de la peau humaine contre le mal .. <br><br>Rosenbaum, un journaliste du New York Times, dans le district de Columbia est instructif sur la façon par-dessus la réponse d'urgence est d'incidents mineurs de feu non. Les jours de repos, boire un shake de 20 g de protéines de soja .. 5. Assurez-vous de manger des aliments qui va garder votre esprit et le corps en bonne forme .. <br><br>Imaginez sentant soudainement malade et épuisé tout le temps et d'avoir quelqu'un vous dire que vous n'êtes pas vraiment malade. Je ne me souviens pas du moment même j'ai d'abord entendu parler de Demodex et je pense qu'il a probablement commencé à filtrer à travers certains des forums de rosacée.<ul>
 
  <li>[http://tesomarket.com/activity/p/69823/ http://tesomarket.com/activity/p/69823/]</li>
 
  <li>[http://passerelle.ethiopie.free.fr/spip.php?article81/ http://passerelle.ethiopie.free.fr/spip.php?article81/]</li>
 
  <li>[http://tech.fortunetoday.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=210816&fromuid=6740 http://tech.fortunetoday.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=210816&fromuid=6740]</li>
 
  <li>[http://bbs.gisquest.com/forum.php?mod=viewthread&tid=132429&fromuid=19444 http://bbs.gisquest.com/forum.php?mod=viewthread&tid=132429&fromuid=19444]</li>
 
</ul>


That limit could converge to any number, or diverge to infinity, or might not exist, depending on what the functions ''f'' and ''g'' are.
== il ne peut pas créer des lois. Air Jordan 5 Oreo ==


In some theories{{clarify|date=August 2012}} a value may be defined even where the function is discontinuous. For example |''x''|/''x'' is undefined for ''x''&nbsp;=&nbsp;0 in [[real analysis]]. However it is the [[sign function]] with sgn(0)&nbsp;=&nbsp;0 when considering [[Fourier series]] or [[hyperfunction]]s.
La tempête s'est terminée avant minuit et à 6,4 pouces, Boston a établi un nouveau record pour le plus de neige à tomber le 17 Décembre . De bonnes nouvelles: Ceux qui arrêtent de 54 ans meurent à seulement 4 ans plus jeune beaucoup mieux que la décennie perdue chez les fumeurs à vie .. <br><br>Il était une [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=308-Air-Jordan-5-Oreo Air Jordan 5 Oreo] première équipe d'étoiles et a remporté le trophée Norris comme meilleur défenseur de la LNH, en battant une recrue de Boston nommé Bobby Orr .. Pouvoir de l'argent a sûrement corrompu le processus électoral sévèrement. Mise changé, j'ai entendu les nageurs qui avait woohood et salut tapa dans la main au début de parler de la natation. <br><br>À un certain moment de faire un choix. Je m'attends à ce que les journalistes et les éditeurs à faire preuve de maturité pour mettre un titre maturité, il [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=274-Nike-Air-Max-Bw-Femme Nike Air Max Bw Femme] se sent le titre est d'attirer plus d'attention, mais le fait de la question est SC vient de réitérer ce qui est placé dans la Consitution, il ne peut pas créer des lois. <br><br>Nous avons eu à se précipiter dans le stade de cricket afin de regarder la deuxième moitié du match des Bafana Bafana à la télévision .. Et si vous avez besoin d'un costume tous les jours de la semaine de travail, envisager le stockage sur les costumes suivants moins de 500 $ et à trouver un tailleur qui . <br><br>Dons significatifs pourraient inclure la prise de votre enfant à une émission spéciale suivie d'un dîner dans leur restaurant préféré. Marketing de contenu devrait être une stratégie d'attraction d'une stratégie qui permet aux gens de vous découvrir, plutôt que de vous planter leur parti .. <br><br>Les deux autres garçons morts ont été, bien sûr, dit-on, des insurgés .. "Nous avons la décision chaque jour se réveiller et soit se sentir désolé pour nous-mêmes et laisser la douleur prendre le meilleur de nous ou nous allons simplement et essayons [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=303-Air-Max-97-Pas-Cher Air Max 97 Pas Cher] de faire autant que possible et de progrès et de voir la beauté en ce jour . <br><br>Le choix de raga est laissée à la chanteuse .. Heureusement Barcelone a été convaincu de l'inviter pour un jeu d'essai, dans lequel Messi a marqué cinq buts. Bonne chance. Les gens veulent de bonnes routes et des écoles et la sécurité publique fiable. <br><br>Au lieu de cela, il a parlé de la [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=279-Air-Jordan-11-Femme-Pas-Cher Air Jordan 11 Femme Pas Cher] personne qu'il jugeait plus contribué à la foudre surmonter un déficit de 1 série 3 et de passer à la demi-finale de la Conférence Est affronteront les meilleurs graines Capitals de Washington, à partir de vendredi .. <br><br>Le Jour des morts n'est pas axé sur des spectres et des choses qui vont bosse dans la nuit, comme les films et les épisodes de CSI Halloween voudraient nous faire croire. Au début et à la fin de l'étude, les chercheurs ont analysé les niveaux d'hormones dans le sang, tandis que les flics ont enregistré leurs niveaux de la faim ..<ul>
 
  <li>[http://djd3.sakura.ne.jp/save-job2/profile.php?id=481856 http://djd3.sakura.ne.jp/save-job2/profile.php?id=481856]</li>
 
  <li>[http://web.cvoit.com/news/html/?187191.html http://web.cvoit.com/news/html/?187191.html]</li>
 
  <li>[http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/183621/ http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/183621/]</li>
 
  <li>[http://www.moeproject.org/forum.php?mod=viewthread&tid=676822 http://www.moeproject.org/forum.php?mod=viewthread&tid=676822]</li>
 
</ul>


Not every undefined algebraic expression is an indeterminate form. For example, the expression 1/0 is undefined as a [[real number]] but is not indeterminate. This is because any limit that gives rise to this form will [[divergence to infinity|diverge to infinity]].
== Tremblay Basket Jordan Pour Fille ==


An expression representing an indeterminate form may sometimes be given a numerical value in settings other than the computation of limits. The expression 0<sup>0</sup> is defined as 1 when it represents an [[empty product]]. In the theory of [[series (mathematics)|power series]], it is also often treated as 1 by convention, to make certain [[formula]]s more concise. (See the section "[[Exponentiation#Zero to the power of zero|Zero to the power of zero]]" in the article on [[exponentiation]].)   In the context of [[measure theory]], it is usual to take <math>\scriptstyle 0\cdot\infty</math> to be 0.
Et récente incertitude quant à savoir si SYNA ferait face à une nouvelle concurrence dans ce [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=53-Basket-Jordan-Pour-Fille Basket Jordan Pour Fille] rôle s'est installé sur l'idée qu'ils seront au sommet fournisseur, même si Samsung peut toujours passer des contrats avec plusieurs fournisseurs de technologie.. <br><br>Support pour MPEG 4/H.264 et construit en flash devraient permettre le TouchPad pour être utilisé avec les services de films et YouTube, etc, mais il ne serait pas un bon choix pour [http://www.souslikoff.com/ressources/Contact.asp?n=104-Chaussure-Nike-Homme Chaussure Nike Homme] la lecture de films accumulés sur un PC, même si vous pouvez comprendre comment . <br><br>Tremblay, Éric Desjardins, Kevin Lowe, Vladimir Konstantinov, Mike Green, Allan Stanley, Dan Boyle, Fern Flaman, Brad McCrimmon, Carl Brewer, Craig Hartsburg, Kevin Hatcher, Al Iafrate, Shea Weber, Jim Neilson, Rob Ramage, Pat Stapleton, Teppo Numminen ... <br><br>Avec une abondance de velours rouge et de l'aide de la fumée et des miroirs littéral, les environs de recréer haut la main la sensation d'un lieu [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=86-Acheter-Polo-Ralph-Lauren-Pas-Cher Acheter Polo Ralph Lauren Pas Cher] Jazz Age. Channel 4 a montré le film acclamé grand Codebreaker de la Grande-Bretagne maintenant édité et tournées internationales comme Codebreaker et Musée des sciences de Londres ont organisé une exposition intitulée Codebreaker: la vie et l'héritage d'Alan Turing ... <br><br>Président croit que l'assaut sur l'Iran ne serait guère freiner ses ambitions nucléaires, tandis que pouvait-il y avoir une vague de guerre et de destruction à travers le Golfe et l'Asie occidentale. Yer rien pour moi, mais un lil bellend effronté w / une maman fakebling ajustement. <br><br>En aidant les femmes à naviguer divorces complexes financièrement, je consulte souvent les femmes qui sont dans une sorte [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=48-Nike-Air-Force-One-Low-Pas-Cher Nike Air Force One Low Pas Cher] de "séparation limbes." Ils vivent en dehors de leurs maris, et personne ne semble pressé de demander le divorce.. Tout comme des amas de journalistes se réunissaient autour aquarelles inoffensifs qui s'est avéré être véritablement le travail des vicaires Wiltshire, il y aura donc courses soudaines sur débuts livres qui buzz en ligne attribue au créateur de Harry Potter.. <br><br>5. Stella Gibbons pourrait pas nous remercier pour focaliser tellement sur ce roman, son œuvre la plus célèbre. «Je suis sur un tube de ligne Circle à Notting Hill et me dirigeais vers le Guardian, où je travaille dans le département de la publicité. <br><br>Un concessionnaire a confirmé un essai pour un véhicule qu'ils avaient déjà vendu. À son retour, Maron a emménagé dans le grenier d'un appartement surpeuplé Somerville sur Cottage Avenue et a travaillé une série d'emplois de services alimentaires.. Recensement vient de publier les chiffres sur l'inégalité des revenus aux États-Unis.<ul>
 
  <li>[http://dhoola.com/activity/p/57354/ http://dhoola.com/activity/p/57354/]</li>
 
  <li>[http://1109525177a.a170.cnaaa9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=215786&fromuid=721 http://1109525177a.a170.cnaaa9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=215786&fromuid=721]</li>
 
  <li>[http://hb145.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1846761 http://hb145.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1846761]</li>
    
  <li>[http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/ http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/]</li>
 
</ul>


== Some examples and non-examples ==
== . Nike Pas Cher 2014 ==
=== The form 0/0 ===
<gallery>
File:Indeterminate form - x over x.gif|(1)
File:Indeterminate form - x2 over x.gif|(2)
File:Indeterminate form - sin x over x close.gif|(3)
File:Indeterminate form - complicated.gif|(4)
File:Indeterminate form - 2x over x.gif|(5) (shown for ''A'' = 2)
File:Indeterminate form - x over x3.gif|(6)
</gallery>
The indeterminate form 0/0 is particularly common in [[calculus]] because it often arises in the evaluation of [[derivative]]s using their limit definition.


As mentioned above,
Richard Lugar, le républicain de la commission des relations étrangères du Sénat, a annoncé qu'il soutiendrait Hill.. Lorsque le Congrès une fois le mandat que le gouvernement fédéral maintienne une réserve de ce gaz cruciale, il a changé de cap plusieurs décennies plus tard. <br><br>Ou si elle a rencontré un homme et qu'elle aime l'homme et qu'elle vous aime. J'ai fini par passer drs, sur la base [http://www.souslikoff.com/ressources/Contact.asp?n=42-Nike-Pas-Cher-2014 Nike Pas Cher 2014] de ce problème et pas mal d'autres et ont été heureux .. Cela signifie également que les salaires montent en flèche; un doctorat nouvellement créé peut commencer dans les six chiffres, et meilleurs chiens peut gagner près de $ 200,000 .. <br><br>». Ou basket-ball joueur de filles Fenway qui a démontré vraie grâce et de sable en aidant son équipe à remporter son deuxième championnat droit de l'Etat juste après son beau-père est tombé raide mort devant elle. Juste par curiosité, avez-vous rencontré un type de personnalité qui aime entretiens? . <br><br>Mouammar Kadhafi: devrait aller. Je voulais juste savoir si VC n'a pas sa place sur ce site que les finances sont aborde la question. D'autre part, si Microsoft veut sa division dispositifs pour réussir, il doit utiliser son logiciel comme un facteur de différenciation exclusive, la manière dont Apple ne .. <br><br>Dans les rues flétries autour du stade Anfield de Liverpool, les résidents sont d'emballage et de quitter leurs maisons familiales, de sorte que le club de football peuvent avoir leur démolies et élargir leur stand principal. Deux ans plus tard, Indira [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=407-Chaussure-Jordan-Retro Chaussure Jordan Retro] Gandhi a nationalisé 14 grandes banques et la rémunération dérisoire a été faite à payer en obligations à échéance après 10 ans! . <br><br>Je [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=78-Chaussure-Nike-A-Talon-Pour-Femme Chaussure Nike A Talon Pour Femme] me souviens d'avoir le plus [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=50-Air-Max-87 Air Max 87] de temps à accepter ma réalité quand mon médecin m'avait diagnostiqué avec Bi Polar trouble de l'humeur.. Né en 1953, M. Kohli, la nouvelle icône de la jeunesse, comme Sachin était dans mes années de croissance, est extrêmement talentueux.. <br><br>Vous êtes déjà un fan de ce sport, et vous cherchez déjà des articles, des vidéos, et des avis sur le jeu que vous aimez ... Mais de temps en temps, un joueur aura une «saison de la douve," celui qui est si différent du reste de sa carrière qu'il dépasse. <br><br>Les soins de santé a conduit de l'autre côté pendant 20 ans, jusqu'à récemment .. Sons sont élevés à la fois perpétuer et tolérer les hiérarchies de genre et sont nourris avec un sens du droit .. Dans les premiers stades Sunderland ressemblait un côté Marcelo Bielsa, puis après la pause, ils sont revenus à être un côté Martin O'Neill.<ul>
: <math> \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \! ~~ (1)</math>
 
while
  <li>[http://www.honbbs.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1680587 http://www.honbbs.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1680587]</li>
: <math> \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0, \! ~~ (2)</math>
 
This is enough to show that 0/0 is an indeterminate form.
  <li>[http://wikilegal.in/index.php?title=User:Gqehszdf#Metro_coupe_sur_son_personnel_Air_Jordan_Retro_3_Pas_Cher http://wikilegal.in/index.php?title=User:Gqehszdf#Metro_coupe_sur_son_personnel_Air_Jordan_Retro_3_Pas_Cher]</li>
Other examples with this indeterminate form include
 
: <math> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \! ~~ (3)</math>
  <li>[http://www.wikimusicmemorabilia.com/User:Hphwszis#Ken_Holland_Nike_Free_Run_2_France http://www.wikimusicmemorabilia.com/User:Hphwszis#Ken_Holland_Nike_Free_Run_2_France]</li>
and
 
: <math> \lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14,  ~~ (4)</math>
  <li>[http://51qiuyuan.com/forum.php?mod=viewthread&tid=344286&fromuid=92065 http://51qiuyuan.com/forum.php?mod=viewthread&tid=344286&fromuid=92065]</li>
Direct substitution of the number that ''x'' approaches into any of these expressions leads to the indeterminate form 0/0, but the limits take many different values. In fact, any desired value ''A'' can be obtained for this indeterminate form as follows:
 
: <math> \lim_{x \to 0} \frac{Ax}{x} = A . \! ~~ (5) </math>
</ul>
Furthermore, the value infinity can also be obtained (in the sense of divergence to infinity):
: <math> \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty . \! ~~ (6) </math>


===The form 0<sup>0</sup> ===
== $ 15 Air Max Pas Cher Pour Fille ==
<gallery>
File:Indeterminate form - x0.gif|(7)
File:Indeterminate form - 0x.gif|(8)
</gallery>
The indeterminate form 0<sup>0</sup> has been discussed since at least 1834.<ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ www.faqs.org]</ref> The following examples illustrate that the form is indeterminate:


: <math> \lim_{x \to0^+} x^0 = 1 , \! ~~ (7) </math>
Mais il ne sera pas facile .. "Gardez sa chambre propre et bien rangé et peut-être prendre les chiens chaque fois dans un tout." Une fois que Jones a survécu aux [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=55-Air-Max-Pas-Cher-Pour-Fille Air Max Pas Cher Pour Fille] dernières coupures du camp, sa mère Amy déplacé à Nashville pour vivre avec son fils, une situation Jones espère continuer toute la saison. <br><br>David Jean est venu (avec Michael Nobbs) et il l'a encore. On peut se demander ce que Rebecca aime sur . Martin a patiné pour la première fois depuis sa blessure en janv. Appelez cela la folie ou la folie ou que ce soit, mais si nous ne nous réveillons pas et changer nos façons, il y aura destruction beaucoup plus économique que de la perte de la marque Hôtesse vénérable .. <br><br>Preuve de mauvaise coordination et le partage d'informations entre les agences de sécurité clés continue à construire, la Maison Blanche a lancé une enquête interne sur la gestion de l'affaire Tsarnaev qui mettra l'accent sur les faiblesses du système national de suivi des personnes soupçonnées de terrorisme ... <br><br>Wright semble désormais principalement intéressé par sa propre célébrité retrouvée. Le sondage prélevé un échantillon aléatoire national de propriétaires de petites entreprises (définies comme les entreprises avec 2 99 employés). «Je ne pensais pas que je serais jamais jouer à nouveau avec eux pour être honnête. <br><br>Connu comme un paradis fiscal, l'Andorre ne dispose pas de ses propres forces armées, mais une loi exige que le chef de chaque famille de garder un fusil à portée de main. Très peu de sociétés, 73 pour cent, accordent également l'accès à des applications cloud basés aux consultants et partenaires en dehors de leurs entreprises .. <br><br>Certes, comme la date limite des échanges rapproche les prix ont tendance à baisser. Valeur est déterminée par la demande et l'offre.. Il était totalement un homme d'équipe et Voyage avec l'équipe dans le bus de l'équipe. On peut seulement espérer [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=94-Roshe-Run-Femme Roshe Run Femme] et prier pour que la Cour suprême ne serait pas induit en erreur par les recommandations du Comité d'experts techniques. <br><br>La déclaration commune s'est félicité de l'achèvement des essais du transporteur Vikramaditya de l'avion, la livraison cette année de la frégate Trikant, la sixième frégate furtive Russie a construit pour la marine indienne, ainsi que la production sous licence de l'avion de chasse Su 30MKI et T 90S réservoirs [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=101-Nike-Blazer-Vintage-Rose Nike Blazer Vintage Rose] .. <br><br>Merci pour vos remarques .. Je me tourne vers les moteurs de recherche à mi conversation, permettant de connaître le Web afin de [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=66-Nike-Air-Jordan-Talon-Haut Nike Air Jordan Talon Haut] compléter notre discussion. Les paiements sans fiscales seraient de l'ordre de € 11,500 ($ 15,000), pour les femmes qui ont passé moins de trois mois de travail dans une blanchisserie, à un maximum de 100.000 euros ($ 130 000) pour ceux qui ont passé 10 ans ou plus là ..<ul>
 
  <li>[http://user.hk1190.host1d.com/forum.php?mod=viewthread&tid=390348 http://user.hk1190.host1d.com/forum.php?mod=viewthread&tid=390348]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17388098 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17388098]</li>
 
  <li>[http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=34170&do=blog&quickforward=1&id=1636104 http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=34170&do=blog&quickforward=1&id=1636104]</li>
 
  <li>[http://wangshangshengyidai.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=105619 http://wangshangshengyidai.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=105619]</li>
 
</ul>


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== le secrétaire général NFSP Nike Air Jordan Flight 45 ==


: <math> \lim_{x \to0^+} 0^x = 0. \! ~~ (8) </math>
Les entrées de capitaux de travail réel visant à un partenariat avec les Japonais dans les projets portuaires en eau profonde, la prospective "21st Century" approche de la grande vitesse ferroviaire et la [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=361-Nike-Air-Jordan-Flight-45 Nike Air Jordan Flight 45] coopération avec la Chine pour faire de la Thaïlande un . <br><br>M. 2010 R $ 0,21 le mardi. Beaucoup d'entre nous font trop souvent l'hypothèse simpliste qu'il existe un lien direct entre l'éducation des filles et l'autonomisation des femmes. J'ai eu la chance dans ma carrière d'avoir travaillé avec des collègues hauts en circulation, ce qui importe énormément, depuis que les scientifiques apprennent à être directeur de thèse, . <br><br>L'original a été conservé pendant des décennies par la succession de Harold Lloyd. Newhart était immensément populaire, allant de Octobre 1982 to [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=60-Cortez-Nike-Rose Cortez Nike Rose] mai 1990 et il a laissé beaucoup de gens de la ville épris de l'occupation, créant dans son sillage un énorme afflux de nouveaux propriétaires.. <br><br>La question sera là que si une équipe signe Bickell et décide de le payer comme un 30 buteur. Mythes de risque pour la santé des réalités Les questions essentielles sont de savoir [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=194-Air-Yeezy-2-Pas-Cher Air Yeezy 2 Pas Cher] si l'ingrédient actif de la marijuana, un cannabinoïde (composé chimique) appelé THC, a une valeur médicinale; si les risques associés à son utilisation l'emportent sur les avantages, et si THC répond à un besoin qui n'est actuellement rempli par d'autres médicaments sur le marché.. <br><br>Vous avez de la chance d'obtenir quelques personnes qui trébuchent sur vous à la recherche. Du traitement médical, si nécessaire peut impliquer l'utilisation de la supplémentation en testostérone, généralement sous la forme de l'application du gel tous les jours ou à long injection de dépôt d'acteur.. <br><br>Bien que le taux cohorte de défaut de trois ans à des collèges de profit a diminué de 22,7 pour cent à 21,8 pour cent, ces institutions continuent d'avoir les taux de défaut moyen le plus élevé pour les deux cohortes.. Comme il le dit,« Nos outils actuels ne peuvent pas faire le travail. <br><br>George Thomson, le secrétaire général NFSP, a déclaré: "Je suis extrêmement déçu et préoccupé de ce que le gouvernement va de l'avant avec un plan qui sera sans aucun doute de mettre en péril l'avenir de milliers de bureaux de poste partout dans le menu [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=93-Air-Jordan-3.5-Retro-Pas-Cher Air Jordan 3.5 Retro Pas Cher] il ya des éclats de umami:. <br><br>Dans un récent sondage de l'Université Quinnipiac 40 pour cent des électeurs probables consulté McAuliffe défavorable, tandis que 49 pour cent des électeurs probables consulté Cuccinelli défavorable.. Il veut propager parlé sanskrit. J'ai trouvé que c'était très bon, dit Scully.<ul>
 
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2249292 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2249292]</li>
 
  <li>[http://geniusedu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=164077 http://geniusedu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=164077]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.info/org/spip.php?article573/ http://verdamilio.info/org/spip.php?article573/]</li>
 
  <li>[http://neijiang.tyfo.com/news/html/?52378.html http://neijiang.tyfo.com/news/html/?52378.html]</li>
 
</ul>


Thus, in general, knowing that <math>\scriptstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0^+\!</math> and <math>\scriptstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0</math> is not sufficient to calculate the limit
== 000 millions de dollars à $ 1 Nike Talon Dunk France ==


:<math>\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}.\!</math>
Si vous utilisez Milton je les lave à l'aide de la méthode de shampooing première. Le Niqab commence à être vu, de temps en temps, à Toronto et à New York, Houston et d'autres villes nord-américaines. Ils vendent la revue pour nous." . Vous pouvez concevoir les annonces pour Is It dans MS Word et les gens affluent vers les salles de cinéma dans leurs millions indépendamment. <br><br>Mais que faire si le client ne sait pas si vous existez, mais veut obtenir sur vos produits et services? Ils ne peuvent pas être vos clients après tout. Son numéro de Mars est en hausse de 27 années pour cent sur l'année et de son éditeur a déclaré que la question d'Avril sera plus de 50 pour cent. <br><br>Par exemple, un défaut dans un hôpital pourrait être une procédure d'admission mal, le manque de formation requis par un membre du personnel, la mauvaise conduite des membres du personnel, le refus d'aider les patients quand ils ont des questions spécifiques, etc. <br><br>Quand je mod_dtcl écrit (par la suite Apache Rivet), il n'était certainement pas le premier système Tcl côté serveur, mais je pense que c'était la première source en ouvrir un, et ce fut en 1998, lorsque PHP commençait déjà à être utilisé tel quel ce qui concerne Mysql, Je suppose que c'est juste une affaire de pire, c'est mieux "oh, je ne me soucie pas de l'intégrité des données, j'ai juste besoin rapide» suivi de «bien, maintenant nous [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=20-Nike-Talon-Dunk-France Nike Talon Dunk France] avons besoin d'ajouter des paiements, et MySQL a pas vraiment nous a donné la difficulté jusqu'ici , et je pense que nous pouvons traiter les transactions en PHP. <br><br>Le gouvernement du Royaume-Uni dans ce cas et certainement aux États-Unis ont déjà prouvé que quand ils appellent quelque chose, c'est que ladite chose n'est plus soumis à la procédure judiciaire. Mais si vous publiez un contenu, vous ne pouvez pas négliger l'un [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=191-Nike-Air-Pegasus-89 Nike Air Pegasus 89] d'eux. <br><br>Snyder est un gars intelligent. Je laissant TypePad. Ainsi, les effets de l'emploi de la récession de poste antérieures ont duré en moyenne environ deux ans. Chaque coûts de 700,000 millions de dollars à $ 1, avec 24 unités au prix considérablement inférieur au taux du marché (dans la gamme $ 300 000 $ 400 000). <br><br>Il se produit à la suite d'un mouvement de translation du condyle et du disque le long de l'éminence articulaire de l'os temporal. Lire la suite. Conspiracy. [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=65-Polo-Ralph-Lauren-Homme-Pas-Cher Polo Ralph Lauren Homme Pas Cher] Qu'il suffise de dire, quelque chose me retient généralement de retour de faire un tel discours à un autre être humain. <br><br>Puis il ya les plus de 11 millions d'Américains qui recueillent des chèques de la sécurité sociale pour compenser le handicap, un record. Si nous être absolument franc, le site lui-même laisse un peu à désirer en termes de mise en page et de conception; [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=419-Air-Jordan-Nike-Retro Air Jordan Nike Retro] C'est un peu austère et la conception est d'environ 15 ans de retard, MAIS: il donne aux gens ce qu'ils veulent; plus important : Il s'agit d'un site qui n'est pas seulement rempli avec des variations de "acheter mes trucs" Il ya beaucoup d'informations qui est absolument utile pour le grand public, qu'ils choisissent d'utiliser l'entreprise ou pas: En conséquence, beaucoup de les gens un lien vers ce site, souvent en réponse aux personnes qui cherchent des conseils, soit pour l'entreprise elle-même, ou pour les informations qu'ils fournissent..<ul>
 
  <li>[http://www.nokia4bh.hyperphp.com/vb/showthread.php?p=4034#post4034 http://www.nokia4bh.hyperphp.com/vb/showthread.php?p=4034#post4034]</li>
 
  <li>[http://law.ha.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=160211&fromuid=15293 http://law.ha.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=160211&fromuid=15293]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18320328 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18320328]</li>
 
</ul>


If the functions ''f'' and ''g'' are [[Analytic function|analytic]] and ''f'' is not identically zero in a [[neighbourhood (topology)|neighbourhood]] of ''c'' on the [[complex plane]], then the limit of ''f''(''z'')<sup>&nbsp;''g''(''z'')</sup> will always be 1. This also holds for real functions, but ''f'' must not be negative in the domain of the limit; alternatively, ''f'' can be the absolute value of an analytic function.<ref>{{cite journal |doi=10.2307/2689754 |author1=Louis M. Rotando |author2=Henry Korn |title=The indeterminate form 0<sup>0</sup> |journal=Mathematics Magazine |date=January 1977 |volume=50 |issue=1 |pages=41&ndash;42}}</ref>
== nous avons utilisé pour le faire Ralph Lauren Femme Lyon ==


If the pair (''f''(''x''),&nbsp;''g''(''x'')) remains between two lines ''y''&nbsp;=&nbsp;''mx'' and ''y''&nbsp;=&nbsp;''Mx'', where ''m'' and ''M'' are positive numbers, as ''x'' approaches&nbsp;''c'' and ''f''(''x'') and ''g''(''x'') approaches&nbsp;0, then the limit is always&nbsp;1.
Certains drama queen chienne a riposté et a gagné, donc ils encourager les gens à les harceler dans la vie réelle, car ils peuvent avoir leur manière. Le fromage a tendance à suinter un peu quand ils sont cuits, afin d'utiliser une plaque de cuisson avec une jante. <br><br>Plus haut sur la route, le concierge de l'école a vécu dans une petite maison à environ 400 mètres des portes de l'école et il avait un Yorkshire Terrier appelé Blaze. [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=132-Ralph-Lauren-Femme-Lyon Ralph Lauren Femme Lyon] Appelez-moi un vieux hippie si vous voulez. Avant SW Heather commencé plusieurs entreprises leur construction à six et sept succès de figure, ce qui permet de fournir Heather expertise et des connaissances basées sur l'expérience du monde réel. <br><br>Voici une [http://www.souslikoff.com/ressources/Contact.asp?n=30-Chaussure-Nike-A-Talon Chaussure Nike A Talon] photo de ce que le serveur ressemble hébergé sur le serveur itselfI suis un ingénieur Linux pour mon travail de jour et a choisi Linux en raison de sa fiabilité. J'ai été pris à partie pour ne pas dire «sécheresse» dans mon almanach. La façon de le faire est de l'ancienne manière, nous avons utilisé pour le faire, en investissant dans des projets qui enrichissent notre capacité de production et de l'emploi grâce à l'effet multiplicateur bien connu. <br><br>Dans ce que j'ai promis de lui donner un examen approprié après un mois ou deux d'utilisation. Vous reconnaissez et acceptez que tous les matériaux, y compris, mais sans s'y limiter, des questions, des commentaires, des suggestions, des idées, des plans, notes, dessins, documents originaux ou créatifs ou d'autres informations, concernant le Site, les produits ou services Wetpaint ou Wetpaint qui sont fournis par vous sous la forme de courriel ou d'autres communications à Wetpaint, ou affiché sur ce site, sont non confidentiels et deviendront la seule propriété de Wetpaint. <br><br>Cube ou déchiqueter les fromages. En vue de la diffusion de leurs ailes par des gestionnaires professionnels, ces sites ont fait des offres de milieu postes de gestion de niveau avec une spécialisation dans l'entrepôt, la logistique et la gestion de la chaîne d'appui, d'analyse et de marketing en ligne de produits. <br><br>Au milieu des années 1860, nous avions près d'un trilogie importun guerre totale entre la Grande-Bretagne et les États-Unis. Collins a un jumeau identique, Jaron, qui était «stupéfait» de découvrir que son frère était entré dans le mode de vie homosexuel. <br><br>Élu numéro 1 du réseau Internet de l'Inde en 2011, Times Internet continue à maintenir les honneurs. Dans les 5 dernières [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=56-Basket-Nike-Cortez Basket Nike Cortez] années, les taux immobiliers ont déjà été déplacent vers le haut, passant à un énorme 300 pour cent dans certaines régions. Quel que soit le cours compte se reflète dans le chiffre d'OCHA pour la fin de 2008, tout ce que la duplication a été générée par le fait que les chiffres de déplacement ne décomposent pas les personnes déplacées pour la première fois et ceux qui ont été déplacés plusieurs fois (et à chaque fois été comptabilisés comme «nouvellement déplacées"); quelle que soit l'ambiguïté du statut de ceux qui vivent dans les camps, mais essayer de travailler leurs terres, et quel que soit le succès très limité de la poussée de l'ONU pour «rendement» des personnes déplacées à leurs terres et leurs maisons rien de tout cela peut éventuellement masquer le fait statistique de base représentée ici: il ya clairement beaucoup plus de 2 millions de Darfouris actuellement déplacées à l'intérieur, et selon Médecins Sans Frontières [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=239-Air-Jordan-Femme-7 Air Jordan Femme 7] / Médecins Sans Frontières (MSF) et le HCR il ya aussi 330 000 réfugiés du Darfour dans l'est du Tchad ( .<ul>
 
  <li>[http://www.jyj578.com/news/html/?71127.html http://www.jyj578.com/news/html/?71127.html]</li>
 
  <li>[http://www.mistachasezodiacs.com/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=6&id=205357&Itemid=53#205357 http://www.mistachasezodiacs.com/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=6&id=205357&Itemid=53#205357]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18149768 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18149768]</li>
 
  <li>[http://www.dz-tattoo.com/news/html/?48773.html http://www.dz-tattoo.com/news/html/?48773.html]</li>
 
</ul>


In many settings other than when evaluating limits 0<sup>0</sup> is taken to be defined as 1 even though it is an indeterminate form; see the section [[Exponentiation#Zero to the power of zero|zero to the power of zero]] in the article on [[exponentiation]]. One justification for this is provided by the preceding result.  Another is that in power series, such as
== 30 Nike Yeezy 2 Acheter ==


: <math>e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},</math>
Il est une cible mouvante et les principes du Lean et PDCA facilite le voyage de valeur pour le client. 13 22 45 Je rabais Choisir Mon Hébergement Pathway Présenter une séance d'information sur l'hébergement et les options d'assistance pour les personnes handicapées: Une mise à jour sur le régime national d'assurance-invalidité et à venir offre de service améliorée (ESO) de subventions; La valeur de la planification et comment accéder Bonne [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=93-Nike-Yeezy-2-Acheter Nike Yeezy 2 Acheter] Subventions de planification vie; outils de planification et des approches pratiques pour la planification, le leadership de la famille et de la gouvernance; Présentation par Capital Community Housing; séances de questions après chaque rubrique [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=109-Nike-Air-Max-Bw Nike Air Max Bw] Quand: 18:00 20:30, le mercredi 22 mai 2013 Où: Centre enfant et la famille, 159 Anketell Street, tuggeranong . <br><br>Ceux qui veulent emprunter étaient mauvais risques de crédit, et les bons risques n'ont pas été empruntent en raison de l'effondrement de la demande. Un examen de GSM et Global Positioning System (GPS) la technologie et de leurs applications au système d'information géographique (SIG) sont présentés. <br><br>Le moment le plus remarquable la nuit dernière était quand adjoint chef de la brigade rouge, Ross Meurant, s'avança vers le microphone. J'ai dû fermé parce que j'ai donné le reste de mon argent de l'entreprise à Fonds d'entreprise, Inc remerciant qu'ils avaient une subvention pour mon entreprise. <br><br>Je vous que vous avez beaucoup plus bête applications prennent de la place sur votre téléphone. Avez-vous déjà été pris au piège sur une machine avec seulement un navigateur texte? Quels ont été certains des meilleurs et des pires sites que vous avez visités en texte seul mode? J'aime lynx beaucoup. <br><br>En achetant des liens aussi la place de adwords vous pourriez réellement faire le truc socialiste réelle et distribuer la richesse un peu loin de la partie la plus riche des Etats-Unis. Straz Centre concert [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=78-Nike-Air-Yeezy-Prix-France Nike Air Yeezy Prix France] de Bon Iver est à parts égales des étreintes et des faneuses. <br><br>Bien que les attitudes sociales qui prévalent gardé les idées exprimées dans le document de devenir la politique du gouvernement et la norme sociale pour plusieurs générations, il était néanmoins un mouvement révolutionnaire. Il ne me dérange pas quand les autres sont appelés sur leur orthographe et la grammaire. <br><br>L'histoire est fort aussi, procurant un sentiment de réalisme magique qui, lorsqu'il [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=146-Air-Jordan-7-Bordeaux Air Jordan 7 Bordeaux] est combiné avec une prépondérance des animaux dans le récit et une utilisation expressive de la météo, prête à la pièce une qualité mystique sans recourir à la technique flashy ou ostentatoire.<ul>
 
 
when ''x'' = 0, then the term in which ''n''&nbsp;=&nbsp;0 has the correct value only if 0<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1. Yet another is that in [[combinatorics|combinatorial]] problems one must sometimes take 0<sup>0</sup> to be an [[empty product]].
  <li>[http://f1fanclub.com.au/activity/p/30200/ http://f1fanclub.com.au/activity/p/30200/]</li>
 
 
=== Undefined forms that are not indeterminate===
  <li>[http://192.151.225.224/forum.php?mod=viewthread&tid=240012&fromuid=31956 http://192.151.225.224/forum.php?mod=viewthread&tid=240012&fromuid=31956]</li>
 
 
The expression 1/0 is not commonly regarded as an indeterminate form because there is not an infinite range of values that ''f''/''g'' could approach. Specifically, if ''f'' approaches 1 and ''g'' approaches 0, then ''f'' and ''g'' may be chosen so that: (1) ''f''/''g'' approaches +∞, (2) ''f''/''g'' approaches −∞, or (3) the limit fails to exist. In each case the absolute value |''f''/''g''| approaches +∞, and so the quotient ''f''/''g'' must diverge, in the sense of the [[extended real number]]s. (In the framework of the [[real projective line]], the limit is the [[Point at infinity|unsigned infinity]] ∞ in all three cases.) Similarly, any expression of the form ''a''/0, with {{nowrap|''a'' ≠ 0}} (including {{nowrap|1=''a'' = +∞}} and {{nowrap|1=''a'' = −∞}}), is not an indeterminate since a quotient giving rise to such an expression will always diverge.
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
 
 
0<sup>∞</sup> also is sometimes incorrectly thought to be indeterminate: {{nowrap|1=0<sup>+∞</sup> = 0}}, and 0<sup>−∞</sup> is equivalent to 1/0.
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18329671 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18329671]</li>
 
 
== Evaluating indeterminate forms ==
</ul>
 
The indeterminate nature of a limit's form does ''not'' imply that the limit does not exist, as many of the examples above show. In many cases, algebraic elimination, [[L'Hôpital's rule]], or other methods can be used to manipulate the expression so that the limit can be evaluated.
 
For example, the expression ''x''<sup>2</sup>/''x'' can be simplified to ''x'' at any point other than ''x'' = 0. Thus, the limit of this expression as ''x'' approaches 0 (which depends only on points ''near'' 0, not at ''x'' = 0 itself) is the limit of ''x'', which is 0. Most of the other examples above can also be evaluated using algebraic simplification.
 
L'Hôpital's rule is a general method for evaluating the indeterminate forms 0/0 and ∞/∞. This rule states that (under appropriate conditions)
: <math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} , \! </math>
where ''f<nowiki>'</nowiki>'' and ''g<nowiki>'</nowiki>'' are the [[derivative (calculus)|derivative]]s of ''f'' and ''g''. (Note that this rule does ''not'' apply to forms like ∞/0, 1/0, and so on; these forms are not indeterminate) With luck, these derivatives will allow one to perform algebraic simplification and eventually evaluate the limit.
 
L'Hôpital's rule can also be applied to other indeterminate forms, using first an appropriate algebraic transformation. For example, to evaluate the form 0<sup>0</sup>:
: <math> \ln \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} . \! </math>
The right-hand side is of the form ∞/∞, so L'Hôpital's rule applies to it. Notice that this equation is valid (as long as the right-hand side is defined) because the [[natural logarithm]] (ln) is a [[continuous function]]; it's irrelevant how well-behaved ''f'' and ''g'' may (or may not) be as long as ''f'' is asymptotically positive.
 
Although L'Hôpital's rule applies both to 0/0 and to ∞/∞, one of these may be better than the other in a particular case (because of the possibilities for algebraic simplification afterwards). You can change between these forms, if necessary, by transforming ''f''/''g'' to (1/''g'')/(1/''f'').
 
== List of indeterminate forms ==
 
The following table lists the indeterminate forms for the standard [[arithmetic operation]]s and the transformations for applying l'Hôpital's rule.
 
{| border=1 class="wikitable" style="background-color: #ffffff; width: 85%;"
!Indeterminate form
!Conditions
!Transformation to 0/0
!Transformation to ∞/∞
|-
|0/0
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<center>&mdash;</center>
|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|∞/∞
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|<center>&mdash;</center>
|-
|0 &times; ∞
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|1<sup>∞</sup>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 1,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|-
|0<sup>0</sup>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|-
|∞<sup>0</sup>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|-
|∞ &minus; ∞
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \! </math>
|}
 
== See also ==
* [[Defined and undefined]]
* [[Division by zero]]
* [[Extended real number line]]
* [[L'Hôpital's rule]]
 
== References ==
{{reflist}}
 
[[Category:Limits (mathematics)]]

Latest revision as of 07:16, 25 December 2014

Mich . Air Force One Blanc

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