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Display information for equation id:math.289112.76 on revision:289112

* Page found: Talk:Conditional probability (eq math.289112.76)

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TeX (original user input):

P(X \in A \mid Y \in B) = \begin{cases}
\frac{\int_{y\in B}\int_{x\in A} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int_{y\in B}\int_{x\in\Omega} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy} & \text{if }B\text{ has positive measure}\\  \\
\frac{\sum_{y\in B}\int_{x\in A} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\sum_{y\in B}\int_{x\in\Omega} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy} & \text{if }B\text{ has measure zero}
\end{cases}

TeX (checked):

P(X\in A\mid Y\in B)={\begin{cases}{\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \Omega }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}&{\text{if }}B{\text{ has positive measure}}\\\\{\frac {\sum _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\sum _{y\in B}\int _{x\in \Omega }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}&{\text{if }}B{\text{ has measure zero}}\end{cases}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (40.99 KB / 3.882 KB) :

P ( X A Y B ) = { y B x A f X , Y ( x , y ) 𝑑 x 𝑑 y y B x Ω f X , Y ( x , y ) 𝑑 x 𝑑 y if  B  has positive measure y B x A f X , Y ( x , y ) 𝑑 x 𝑑 y y B x Ω f X , Y ( x , y ) 𝑑 x 𝑑 y if  B  has measure zero fragments P fragments ( X A Y B ) cases subscript 𝑦 𝐵 subscript 𝑥 𝐴 subscript 𝑓 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 differential-d 𝑥 differential-d 𝑦 subscript 𝑦 𝐵 subscript 𝑥 Ω subscript 𝑓 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 differential-d 𝑥 differential-d 𝑦 if  𝐵  has positive measure absent 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 subscript 𝑦 𝐵 subscript 𝑥 𝐴 subscript 𝑓 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 differential-d 𝑥 differential-d 𝑦 subscript 𝑦 𝐵 subscript 𝑥 Ω subscript 𝑓 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 differential-d 𝑥 differential-d 𝑦 if  𝐵  has measure zero {\displaystyle{\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)=\begin{cases}\frac{\int_{y% \in B}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int_{y\in B}\int_{x\in\Omega}f_{X,Y}% (x,y)\,dx\,dy}&\text{if }B\text{ has positive measure}\\ \\ \frac{\sum_{y\in B}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\sum_{y\in B}\int_{x\in% \Omega}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}&\text{if }B\text{ has measure zero}\end{cases}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)=\begin{cases}\frac{\int_{y%&#10;\in B}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int_{y\in B}\int_{x\in\Omega}f_{X,Y}%&#10;(x,y)\,dx\,dy}&amp;\text{if }B\text{ has positive measure}\\&#10;\\&#10;\frac{\sum_{y\in B}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\sum_{y\in B}\int_{x\in%&#10;\Omega}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}&amp;\text{if }B\text{ has measure zero}\end{cases}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1b">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi>
      <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">X</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">A</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">Y</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">B</mi>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">)</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">{</mo>
        <mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
          <mtr id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.13b" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.13.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.18" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.18.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.18a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.18.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">y</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">B</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.cmml">
                    <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.1.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.1.cmml">
                        <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.3.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.1.cmml">x</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.2.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.4.1.3.cmml">A</mi>
                        </mrow>
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                    </mstyle>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.5.cmml">f</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.1.cmml">X</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.4.cmml">,</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.6.1.3.cmml">Y</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.1.cmml"></mo>
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                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.3.1.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.8" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.8.cmml">x</mi>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.10" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.10.cmml">y</mi>
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                      </mrow>
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                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.13" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.13.cmml">𝑑</mo>
                        <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.14" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.14.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.14a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.14.cmml">x</mi>
                        </mpadded>
                      </mrow>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.19.2.5.cmml">
                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.16" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.16.cmml">𝑑</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.17" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.2.17.cmml">y</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.cmml">
                  <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18.cmml">
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">y</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml">B</mi>
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                    </msub>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.cmml">
                    <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1.cmml">
                        <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.3.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml">x</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml"></mo>
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml">Ω</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                    </mstyle>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.5.cmml">f</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml">X</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.4.cmml">,</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml">Y</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3.1.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3.1.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.8" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.8.cmml">x</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.9" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3.1.cmml">,</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.10" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.10.cmml">y</mi>
                        <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.11" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.4.cmml">
                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.13" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.13.cmml">𝑑</mo>
                        <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14.cmml">x</mi>
                        </mpadded>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1b" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.5.cmml">
                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.16" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.16.cmml">𝑑</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.17" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.17.cmml">y</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mtd>
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.13c" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1a.cmml">if </mtext>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.2.cmml">B</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4.cmml"></mo>
                <mtext id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3a.cmml"> has positive measure</mtext>
              </mrow>
            </mtd>
          </mtr>
          <mtr id="p1.1.m1.1.13d" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.13e" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml"/>
            </mtd>
            <mtd id="p1.1.m1.1.13f" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml"/>
          </mtr>
          <mtr id="p1.1.m1.1.13g" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.13h" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.13.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.1.cmml">y</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.2.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.3.cmml">B</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.cmml">
                    <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1.cmml">
                        <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.3.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.1.cmml">x</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.2.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.3.cmml">A</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                    </mstyle>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.5.cmml">f</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.1.cmml">X</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.4.cmml">,</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.3.cmml">Y</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.3.1.cmml">
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                        <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.11" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.3.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.4" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.4.cmml">
                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.13" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.13.cmml">𝑑</mo>
                        <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14.cmml">x</mi>
                        </mpadded>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1b" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.5.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.17" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.17.cmml">y</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.cmml">
                  <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">y</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.2.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.3.cmml">B</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.cmml">
                    <mstyle displaystyle="false" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.1.cmml">
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                        <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.3.cmml"></mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.1.cmml">x</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.2.cmml"></mo>
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.4.1.3.cmml">Ω</mi>
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                    </mstyle>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.5.cmml">f</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1.1.cmml">X</mi>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.6.1.3.cmml">Y</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.18">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1">
                  <in id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.1">𝑦</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.2.1.3">𝐵</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19">
                <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1">
                    <in id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.1">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.4.1.3">Ω</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.5">𝑓</ci>
                    <list id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.1">𝑋</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.6.1.3">𝑌</ci>
                    </list>
                  </apply>
                  <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.3">
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.8">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.10">𝑦</ci>
                  </interval>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.4">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.13">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.14">𝑥</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.19.2.5">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.16">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.1.1.3.17">𝑦</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.4"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1">
              <mtext id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1">if </mtext>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.2">𝐵</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3">
              <mtext id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.3"> has positive measure</mtext>
            </ci>
          </apply>
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1">absent</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.14.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
            <mtext id="p1.1.m1.1.14.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒</mtext>
          </ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1">
            <divide id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.18">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1">
                  <in id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.1">𝑦</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.2.1.3">𝐵</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19">
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1">
                    <in id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.1">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.4.1.3">𝐴</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.5">𝑓</ci>
                    <list id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.1">𝑋</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.6.1.3">𝑌</ci>
                    </list>
                  </apply>
                  <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.3">
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.8">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.10">𝑦</ci>
                  </interval>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.4">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.13">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.14">𝑥</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.19.2.5">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.16">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.2.17">𝑦</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3">
              <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.18">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1">
                  <in id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.1">𝑦</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.2.1.3">𝐵</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19">
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.3.19.1">
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\\
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\Omega}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}&amp;\text{if }B\text{ has measure zero}\end{cases}}}</annotation>
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