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Display information for equation id:math.265013.31 on revision:265013

* Page found: Conditional probability (eq math.265013.31)

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Hash: 07b6c3f7b46ee4d1faab86f6c87eef17

TeX (original user input):

\begin{align}
P(A|B) &= \sum_{\omega \in A \cap B} {P(\omega | B)} + \cancelto{0}{\sum_{\omega \in A \cap B^c} P(\omega|B)} \\
&= \sum_{\omega \in A \cap B} {\frac{P(\omega)}{P(B)}} \\
&= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}P(A|B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega |B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (24.349 KB / 2.855 KB) :

P ( A | B ) = ω A B P ( ω | B ) + ω A B c P ( ω | B ) 0 = ω A B P ( ω ) P ( B ) = P ( A B ) P ( B ) 𝑃 conditional 𝐴 𝐵 absent subscript 𝜔 𝐴 𝐵 𝑃 conditional 𝜔 𝐵 superscript cancel subscript 𝜔 𝐴 superscript 𝐵 𝑐 𝑃 conditional 𝜔 𝐵 0 missing-subexpression absent subscript 𝜔 𝐴 𝐵 𝑃 𝜔 𝑃 𝐵 missing-subexpression absent 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle P(A|B)&\displaystyle% =\sum_{\omega\in A\cap B}{P(\omega|B)}+\cancelto{0}{\sum_{\omega\in A\cap B^{c% }}P(\omega|B)}\\ &\displaystyle=\sum_{\omega\in A\cap B}{\frac{P(\omega)}{P(B)}}\\ &\displaystyle=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle P(A|B)&amp;\displaystyle%&#10;=\sum_{\omega\in A\cap B}{P(\omega|B)}+\cancelto{0}{\sum_{\omega\in A\cap B^{c%&#10;}}P(\omega|B)}\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum_{\omega\in A\cap B}{\frac{P(\omega)}{P(B)}}\\&#10;&amp;\displaystyle=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">(</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi>
                <mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">|</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">B</mi>
              </mrow>
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            </mrow>
          </mrow>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">ω</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml"></mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5.cmml">B</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml"></mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">ω</mi>
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                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
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                <menclose notation="updiagonalstrike updiagonalarrow" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">
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                          </mrow>
                        </mrow>
                      </munder>
                    </mstyle>
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      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.cmml">P</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.cmml">ω</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.1.cmml">P</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.5.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.3.cmml">B</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.8.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.8.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.3.cmml">A</mi>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.8.2.cmml">)</mo>
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                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.5.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">B</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mfrac>
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            <times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑃</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4">conditional</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5">𝐵</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">
              <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">
                    <in id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1">𝜔</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6">
                      <intersect id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3">𝐴</ci>
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                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">𝑃</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">conditional</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝜔</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝐵</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2">cancel</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.2"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1">
                        <in id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.1">𝜔</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7">
                          <intersect id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.4"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.3">𝐴</ci>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.7.1">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.5">𝐵</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.1.6.1">𝑐</ci>
                          </apply>
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                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.2.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.4">𝑃</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.10.2.2">
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7">conditional</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.6">𝜔</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.8">𝐵</ci>
                      </apply>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3">0</cn>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
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                  <in id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1">𝜔</ci>
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                    <intersect id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3">𝐴</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.5">𝐵</ci>
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                </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1">𝑃</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">absent</csymbol>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.7"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1">𝑃</ci>
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              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.5"/>
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