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* Page found: Semimartingale (eq math.253095.3)

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M_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dW_s,\ A_t=\int_0^t b_s\,ds.

TeX (checked):

M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (10.083 KB / 1.504 KB) :

M t = X 0 + 0 t σ s 𝑑 W s , A t = 0 t b s 𝑑 s . formulae-sequence subscript 𝑀 𝑡 subscript 𝑋 0 superscript subscript 0 𝑡 subscript 𝜎 𝑠 differential-d subscript 𝑊 𝑠 subscript 𝐴 𝑡 superscript subscript 0 𝑡 subscript 𝑏 𝑠 differential-d 𝑠 {\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}\sigma_{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int_{0}^{t}% b_{s}\,ds.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}\sigma_{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int_{0}^{t}%&#10;b_{s}\,ds.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.30">
      <mrow id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">t</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">X</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">+</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.cmml">
                <msubsup id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">0</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">t</mi>
                </msubsup>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.cmml">
                <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">σ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">s</mi>
                  </msub>
                </mpadded>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3.cmml">
                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">𝑑</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">W</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">s</mi>
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          </mrow>
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        <mo rspace="7.5pt" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.30.2.1a.cmml">,</mo>
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          <msub id="p1.1.m1.1.30.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">A</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">t</mi>
          </msub>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">0</mn>
                <mi id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">t</mi>
              </msubsup>
            </mstyle>
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                <msub id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">b</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">s</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">s</mi>
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    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">formulae-sequence</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1">
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑀</ci>
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                <times id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.3.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑊</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">𝑠</ci>
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        <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3">
          <eq id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.1">subscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">𝐴</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1">𝑡</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">0</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1">𝑡</ci>
            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑏</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1">𝑠</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.3">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">differential-d</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑠</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}\sigma_{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int_{0}^{t}%
b_{s}\,ds.}</annotation>
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