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Display information for equation id:math.242432.32 on revision:242432

* Page found: Mittag-Leffler's theorem (eq math.242432.32)

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Hash: dda0ec98a76612ff69eae8dc7ff576fc

TeX (original user input): 

\frac \pi{\sin \pi z}=\frac{1}{z} + \sum_{k\in\mathbb{Z}, \, k \ne 0}(-1)^k\left(\frac{1}
{z-k}+\frac{1}{k}\right).

TeX (checked): 

{\frac {\pi }{\sin \pi z}}={\frac {1}{z}}+\sum _{k\in \mathbb {Z} ,\,k\neq 0}(-1)^{k}\left({\frac {1}{z-k}}+{\frac {1}{k}}\right).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (10.074 KB / 1.606 KB) :

π sin ⁡ π ⁢ z = 1 z + ∑ k ∈ ℤ , k ≠ 0 ( - 1 ) k ⁢ ( 1 z - k + 1 k ) . 𝜋 𝜋 𝑧 1 𝑧 subscript formulae-sequence 𝑘 ℤ 𝑘 0 superscript 1 𝑘 1 𝑧 𝑘 1 𝑘 {\displaystyle{\frac{\pi}{\sin\pi z}}={\frac{1}{z}}+\sum_{{k\in{\mathbb{Z}},\,% k\neq 0}}(-1)^{k}\left({\frac{1}{z-k}}+{\frac{1}{k}}\right).} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\frac{\pi}{\sin\pi z}}={\frac{1}{z}}+\sum_{{k\in{\mathbb{Z}},\,%&#10;k\neq 0}}(-1)^{k}\left({\frac{1}{z-k}}+{\frac{1}{k}}\right).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">sin</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">z</mi>
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        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">z</mi>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.1.cmml">
              <munder id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∑</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.9.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.10" xref="p1.1.m1.1.6.1.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml">∈</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.1.3.cmml">ℤ</mi>
                  </mrow>
                  <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.9a.cmml">,</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.11" xref="p1.1.m1.1.6.1.11.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.1.6.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.1.7" xref="p1.1.m1.1.6.1.7.cmml">≠</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.6.1.8" xref="p1.1.m1.1.6.1.8.cmml">0</mn>
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            </mstyle>
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              <msup id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.cmml">
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">k</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.3.2.cmml">(</mo>
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">1</mn>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">z</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.2.cmml">-</mo>
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            <sin id="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1"/>
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              <times id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.2.2">
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3">𝑘</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\frac{\pi}{\sin\pi z}}={\frac{1}{z}}+\sum_{{k\in{\mathbb{Z}},\,%
k\neq 0}}(-1)^{k}\left({\frac{1}{z-k}}+{\frac{1}{k}}\right).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (15.646 KB / 5.234 KB) :

StartFraction pi Over sine pi times z EndFraction equals StartFraction 1 Over z EndFraction plus sigma-summation Underscript k element-of double-struck upper Z comma k not-equals 0 Endscripts left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript k Baseline times left-parenthesis StartFraction 1 Over z minus k EndFraction plus StartFraction 1 Over k EndFraction right-parenthesis period

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Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: (pi)/(sin(pi)*z)=(1)/(z)+ sum((- 1)^(k)*((1)/(z - k)+(1)/(k)), k in Z , k <> 0)

Information about the conversion process:

\sin: Sine; Example: \sin@@{z}

Will be translated to: sin($0)

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.14#E1

Maple: https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=sin


\pi: Could be the ratio of a circle's circumference to its diameter == Archimedes' constant. 

But it is also a Greek letter. Be aware, that this program translated the letter as a normal Greek letter and not as a constant!

Use the DLMF-Macro \cpi to translate \pi as a constant.



Translation to Mathematica

In Mathematica: Divide[\[Pi],Sin[\[Pi]]*z]=Divide[1,z]+ Sum[(- 1)^(k)*(Divide[1,z - k]+Divide[1,k]), {k, Z , k \[NotEqual]*0}]

Information about the conversion process:

\sin: Sine; Example: \sin@@{z}

Will be translated to: Sin[$0]

Relevant links to definitions:

DLMF: http://dlmf.nist.gov/4.14#E1

Mathematica: https://reference.wolfram.com/language/ref/Sin.html


\pi: Could be the ratio of a circle's circumference to its diameter == Archimedes' constant. 

But it is also a Greek letter. Be aware, that this program translated the letter as a normal Greek letter and not as a constant!

Use the DLMF-Macro \cpi to translate \pi as a constant.



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