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Display information for equation id:math.228958.7 on revision:228958

* Page found: Dominated convergence theorem (eq math.228958.7)

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Hash: bf45634edcffaabcd83c66d0e72bf9c6

TeX (original user input):

\limsup_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu \le \int_S \limsup_{n\to\infty} |f-f_n|\,d\mu = 0,

TeX (checked):

\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (11.178 KB / 1.657 KB) :

lim sup n S | f - f n | 𝑑 μ S lim sup n | f - f n | d μ = 0 , subscript limit-supremum 𝑛 subscript 𝑆 𝑓 subscript 𝑓 𝑛 differential-d 𝜇 subscript 𝑆 subscript limit-supremum 𝑛 𝑓 subscript 𝑓 𝑛 𝑑 𝜇 0 {\displaystyle\limsup_{{n\to\infty}}\int_{S}|f-f_{n}|\,d\mu\leq\int_{S}\limsup% _{{n\to\infty}}|f-f_{n}|\,d\mu=0,}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\limsup_{{n\to\infty}}\int_{S}|f-f_{n}|\,d\mu\leq\int_{S}\limsup%&#10;_{{n\to\infty}}|f-f_{n}|\,d\mu=0,}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.31.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim sup</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml"></mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml"></mi>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2a" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">S</mi>
              </msub>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">f</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">f</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">n</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.3.cmml">
                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">𝑑</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">μ</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.31.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.31.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">S</mi>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.cmml">
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">lim sup</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml"></mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml"></mi>
              </mrow>
            </munder>
            <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">f</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">f</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">n</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">μ</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
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      </mrow>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">limit-supremum</csymbol>
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                <infinity id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3"/>
              </apply>
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                <int id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">𝑆</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2">
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                <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2">
                  <abs id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
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                    <minus id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑓</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1">subscript</csymbol>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">limit-supremum</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.1">𝑛</ci>
                  <infinity id="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.3"/>
                </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2">
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                    <minus id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">𝑓</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">𝑓</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1">𝑛</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑑</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝜇</ci>
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