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Display information for equation id:math.225368.18 on revision:225368

* Page found: Error function (eq math.225368.18)

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Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

Occurrences on the following pages:

Hash: d08f5280fcb7b5a3b58c706c76373623

TeX (original user input):

\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}(1-e^{-x^2})-\frac{7}{480}(1-e^{-x^2})^2-\frac{5}{896}(1-e^{-x^2})^3-\frac{787}{276 480}(1-e^{-x^2})^4-\ \cdots\right) \\
&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right).\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}(1-e^{-x^{2}})-{\frac {7}{480}}(1-e^{-x^{2}})^{2}-{\frac {5}{896}}(1-e^{-x^{2}})^{3}-{\frac {787}{276480}}(1-e^{-x^{2}})^{4}-\ \cdots \right)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right).\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (43.737 KB / 4.68 KB) :

erf ( x ) = 2 π sgn ( x ) 1 - e - x 2 ( 1 - 1 12 ( 1 - e - x 2 ) - 7 480 ( 1 - e - x 2 ) 2 - 5 896 ( 1 - e - x 2 ) 3 - 787 276480 ( 1 - e - x 2 ) 4 - ) = 2 π sgn ( x ) 1 - e - x 2 ( π 2 + k = 1 c k e - k x 2 ) . erf 𝑥 absent 2 𝜋 sign 𝑥 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 1 1 12 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 7 480 superscript 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 2 5 896 superscript 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 3 787 276480 superscript 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 4 missing-subexpression absent 2 𝜋 sign 𝑥 1 superscript 𝑒 superscript 𝑥 2 𝜋 2 superscript subscript 𝑘 1 subscript 𝑐 𝑘 superscript 𝑒 𝑘 superscript 𝑥 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{erf}(x)% &\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^{2}}}\left(1-\frac{1}{% 12}(1-e^{-x^{2}})-\frac{7}{480}(1-e^{-x^{2}})^{2}-\frac{5}{896}(1-e^{-x^{2}})^% {3}-\frac{787}{276480}(1-e^{-x^{2}})^{4}-\ \cdots\right)\\ &\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^{2}}}\left(\frac{\sqrt% {\pi}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right).\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{erf}(x)%&#10;&amp;\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^{2}}}\left(1-\frac{1}{%&#10;12}(1-e^{-x^{2}})-\frac{7}{480}(1-e^{-x^{2}})^{2}-\frac{5}{896}(1-e^{-x^{2}})^%&#10;{3}-\frac{787}{276480}(1-e^{-x^{2}})^{4}-\ \cdots\right)\\&#10;&amp;\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^{2}}}\left(\frac{\sqrt%&#10;{\pi}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right).\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">erf</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">(</mo>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">2</mn>
                  <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.2.cmml">π</mi>
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                </mfrac>
              </mstyle>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">sgn</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">x</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.cmml"></mo>
              <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2.cmml">-</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.3.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.1.cmml">-</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.4.cmml">
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4.1.3.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.cmml">(</mo>
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                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">1</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml">12</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.1.cmml"></mo>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">1</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">-</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.2.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">e</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">-</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.cmml">x</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
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                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">7</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">480</mn>
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                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">-</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">e</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1.cmml">-</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2.cmml">x</mi>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.cmml">5</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.3.cmml">896</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">-</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">e</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1.cmml">-</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.2.cmml">x</mi>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.3.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.cmml">787</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.3.cmml">276480</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">-</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">e</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml">-</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.cmml">x</mi>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.cmml">4</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml"></mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">2</mn>
                    <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.2.cmml">π</mi>
                    </msqrt>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">sgn</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">x</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml"></mo>
                <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.cmml">-</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.1.cmml">-</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.2.cmml">x</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.3.1.cmml">2</mn>
                        </msup>
                      </mrow>
                    </msup>
                  </mrow>
                </msqrt>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                        <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.2.cmml">π</mi>
                        </msqrt>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.1.cmml">
                        <munderover id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.1.cmml">
                          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml"></mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.cmml">k</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.cmml">=</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml"></mi>
                        </munderover>
                      </mstyle>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">c</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">k</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.1.cmml"></mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.2.3.cmml">
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                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.1.cmml">-</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6.cmml">
                              <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.2.cmml">
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                              </mpadded>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6.1.cmml"></mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.6.2.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.4.cmml">x</mi>
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                              </msup>
                            </mrow>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.1.2.2.1">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑒</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1"/>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2">𝑥</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.1">2</cn>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.1"/>
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                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">7</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">480</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">𝑒</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.4">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2">𝑥</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3.1">2</cn>
                          </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2">5</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.3">896</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.3.2.2.2.1">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">𝑒</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.4">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.2">𝑥</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.3.1">2</cn>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.1"/>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2">
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.3.2.4.2.2.2.1">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41">𝑒</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2">𝑥</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.1">2</cn>
                          </apply>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1">4</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47"></ci>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">2</cn>
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