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Display information for equation id:math.221453.47 on revision:221453

* Page found: Laplace's equation (eq math.221453.47)

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TeX (original user input):

u(P) =\frac{1}{4\pi} a^3\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{\frac{3}{2}}} d\theta' \, d\varphi',

TeX (checked):

u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\iint {\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \varphi '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi ',

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (15.39 KB / 2.316 KB) :

u ( P ) = 1 4 π a 3 ( 1 - ρ 2 a 2 ) g ( θ , φ ) sin φ ( a 2 + ρ 2 - 2 a ρ cos Θ ) 3 2 d θ d φ , fragments u fragments normal-( P normal-) 1 4 π superscript a 3 fragments normal-( 1 superscript ρ 2 superscript a 2 normal-) double-integral g superscript θ normal-′ superscript φ normal-′ superscript φ normal-′ superscript superscript a 2 superscript ρ 2 2 a ρ normal-Θ 3 2 d superscript θ normal-′ d superscript φ normal-′ normal-, {\displaystyle u(P)={\frac{1}{4\pi}}a^{3}\left(1-{\frac{\rho^{2}}{a^{2}}}% \right)\iint{\frac{g(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})\sin\varphi^{\prime}}{(a% ^{2}+\rho^{2}-2a\rho\cos\Theta)^{{{\frac{3}{2}}}}}}d\theta^{\prime}\,d\varphi^% {\prime},}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle u(P)={\frac{1}{4\pi}}a^{3}\left(1-{\frac{\rho^{2}}{a^{2}}}%&#10;\right)\iint{\frac{g(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})\sin\varphi^{\prime}}{(a%&#10;^{2}+\rho^{2}-2a\rho\cos\Theta)^{{{\frac{3}{2}}}}}}d\theta^{\prime}\,d\varphi^%&#10;{\prime},}" display="inline">
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        <mi id="p1.1.m1.1.3">P</mi>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">)</mo>
      </mrow>
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            <mn id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">4</mn>
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        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">a</mi>
        <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">3</mn>
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        <mn id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">1</mn>
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          <mfrac id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.15.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.4.1.cmml"></mo>
              </msup>
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              <msup id="p1.1.m1.1.15.2.13.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.13.1.cmml">
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            </mrow>
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            </mrow>
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      </mpadded>
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          <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">normal-(</ci>
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          <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">normal-)</ci>
        </cerror>
        <eq id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
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          <minus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
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            <divide id="p1.1.m1.1.12.1.cmml"/>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1">2</cn>
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          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">normal-)</ci>
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        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">double-integral</csymbol>
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          <divide id="p1.1.m1.1.15.1.cmml"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.13.2.1.cmml">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.3">θ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.4.1">normal-′</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.2.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.13">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.13.3.1.cmml">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.6">φ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.7.1">normal-′</ci>
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            </interval>
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              </apply>
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                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.3.16.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.16">
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                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.3.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.16">
                <times id="p1.1.m1.1.15.3.16.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.16.2.2.1"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.15.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.9">a</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.15.3.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.12">normal-Θ</ci>
                </apply>
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            <apply id="p1.1.m1.1.15.3.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.14.1">
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.14.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.14.1.1.3">2</cn>
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          </apply>
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        <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1g">d</csymbol>
        <apply id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">
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          <ci id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">θ</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">normal-′</ci>
        </apply>
        <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1h">d</csymbol>
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          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.26.1.cmml">superscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">φ</ci>
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^{2}+\rho^{2}-2a\rho\cos\Theta)^{{{\frac{3}{2}}}}}}d\theta^{\prime}\,d\varphi^%
{\prime},}</annotation>
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u times left-parenthesis upper P right-parenthesis equals StartFraction 1 Over 4 times pi EndFraction times a cubed times left-parenthesis 1 minus StartFraction rho squared Over a squared EndFraction right-parenthesis times double-integral StartFraction g times left-parenthesis theta prime comma phi Superscript prime Baseline right-parenthesis times sine phi Superscript prime Baseline Over left-parenthesis a squared plus rho squared minus 2 times a times rho times cosine normal upper Theta right-parenthesis Superscript three-halves Baseline EndFraction times italic d theta Superscript prime Baseline times italic d phi Superscript prime Baseline comma

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