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Display information for equation id:math.220315.74 on revision:220315

* Page found: Normal distribution (eq math.220315.74)

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Hash: 5829080eb735fe2924aee6e6d0a5836c

TeX (original user input):

    \hat{\mu} = \overline{x} \equiv \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad
    \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2.

TeX (checked):

{\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (12.769 KB / 1.89 KB) :

μ ^ = x ¯ 1 n i = 1 n x i , σ ^ 2 = 1 n i = 1 n ( x i - x ¯ ) 2 . formulae-sequence ^ 𝜇 ¯ 𝑥 1 𝑛 superscript subscript 𝑖 1 𝑛 subscript 𝑥 𝑖 superscript ^ 𝜎 2 1 𝑛 superscript subscript 𝑖 1 𝑛 superscript subscript 𝑥 𝑖 ¯ 𝑥 2 {\displaystyle{\hat{\mu}}={\overline{x}}\equiv{\frac{1}{n}}\sum_{{i=1}}^{n}x_{% i},\qquad{\hat{\sigma}}^{2}={\frac{1}{n}}\sum_{{i=1}}^{n}(x_{i}-{\overline{x}}% )^{2}.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\hat{\mu}}={\overline{x}}\equiv{\frac{1}{n}}\sum_{{i=1}}^{n}x_{%&#10;i},\qquad{\hat{\sigma}}^{2}={\frac{1}{n}}\sum_{{i=1}}^{n}(x_{i}-{\overline{x}}%&#10;)^{2}.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28">
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">1</mn>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.cmml">n</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">n</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <msub id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">x</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">i</mi>
              </msub>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo rspace="22.5pt" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.28.2.1a.cmml">,</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.28.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.1.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">σ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mn id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">2</mn>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">1</mn>
                <mi id="p1.1.m1.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">n</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.1.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">n</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <msup id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">x</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">-</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
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                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">formulae-sequence</csymbol>
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          <and id="p1.1.m1.1.28.2.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2b.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2">
            <eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1">^</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">𝜇</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">¯</ci>
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          </apply>
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                <divide id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">𝑛</ci>
              </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1">
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1">𝑖</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑥</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝑖</ci>
                </apply>
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            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3">
          <eq id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.1">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">
              <ci id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">^</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2">𝜎</ci>
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                </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">𝑖</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2">𝑥</ci>
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)^{2}.}</annotation>
  </semantics>
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ModifyingAbove mu With caret equals x overbar identical-to StartFraction 1 Over n EndFraction times sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts x Subscript i Baseline comma ModifyingAbove sigma With caret squared equals StartFraction 1 Over n EndFraction times sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x overbar right-parenthesis squared period

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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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[ERROR] java.lang.IllegalArgumentException: java.lang.ClassCastException@5246835d

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