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Display information for equation id:math.219389.11 on revision:219389

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TeX (original user input):

\operatorname{E}[g(X)] = \int_a^\infty g(x) \, \mathrm{d} \mathrm{P}(X \le x)= \begin{cases} g(a)+ \int_a^\infty g'(x)\mathrm{P}(X > x) \, \mathrm{d} x & \mathrm{if}\ \mathrm{P}(g(X) \ge g(a))=1 \\  g(b) - \int_{-\infty}^b g'(x)\mathrm{P}(X \le x) \, \mathrm{d} x & \mathrm{if}\ \mathrm{P}(g(X) \le g(b))=1. \end{cases}

TeX (checked):

\operatorname {E} [g(X)]=\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} \mathrm {P} (X\leq x)={\begin{cases}g(a)+\int _{a}^{\infty }g'(x)\mathrm {P} (X>x)\,\mathrm {d} x&\mathrm {if} \ \mathrm {P} (g(X)\geq g(a))=1\\g(b)-\int _{-\infty }^{b}g'(x)\mathrm {P} (X\leq x)\,\mathrm {d} x&\mathrm {if} \ \mathrm {P} (g(X)\leq g(b))=1.\end{cases}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (24.948 KB / 2.894 KB) :

E [ g ( X ) ] = a g ( x ) dP ( X x ) = { g ( a ) + a g ( x ) P ( X > x ) d x if P ( g ( X ) g ( a ) ) = 1 g ( b ) - - b g ( x ) P ( X x ) d x if P ( g ( X ) g ( b ) ) = 1. fragments normal-E fragments normal-[ g fragments normal-( X normal-) normal-] superscript subscript a g fragments normal-( x normal-) dP fragments normal-( X x normal-) cases fragments g fragments normal-( a normal-) superscript subscript a superscript g normal-′ fragments normal-( x normal-) P fragments normal-( X x normal-) d x fragments if P fragments normal-( g fragments normal-( X normal-) g fragments normal-( a normal-) normal-) 1 fragments g fragments normal-( b normal-) superscript subscript b superscript g normal-′ fragments normal-( x normal-) P fragments normal-( X x normal-) d x fragments if P fragments normal-( g fragments normal-( X normal-) g fragments normal-( b normal-) normal-) 1. {\displaystyle\operatorname{E}[g(X)]=\int_{a}^{\infty}g(x)\,{\mathrm{d}}{% \mathrm{P}}(X\leq x)={\begin{cases}g(a)+\int_{a}^{\infty}g^{\prime}(x){\mathrm% {P}}(X>x)\,{\mathrm{d}}x&{\mathrm{if}}\ {\mathrm{P}}(g(X)\geq g(a))=1\\ g(b)-\int_{{-\infty}}^{b}g^{\prime}(x){\mathrm{P}}(X\leq x)\,{\mathrm{d}}x&{% \mathrm{if}}\ {\mathrm{P}}(g(X)\leq g(b))=1.\end{cases}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\operatorname{E}[g(X)]=\int_{a}^{\infty}g(x)\,{\mathrm{d}}{%&#10;\mathrm{P}}(X\leq x)={\begin{cases}g(a)+\int_{a}^{\infty}g^{\prime}(x){\mathrm%&#10;{P}}(X&gt;x)\,{\mathrm{d}}x&amp;{\mathrm{if}}\ {\mathrm{P}}(g(X)\geq g(a))=1\\&#10;g(b)-\int_{{-\infty}}^{b}g^{\prime}(x){\mathrm{P}}(X\leq x)\,{\mathrm{d}}x&amp;{%&#10;\mathrm{if}}\ {\mathrm{P}}(g(X)\leq g(b))=1.\end{cases}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1b">
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">E</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">[</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.3">g</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5">X</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">]</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
        <msubsup id="p1.1.m1.1.28a" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
          <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">a</mi>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"></mi>
        </msubsup>
      </mstyle>
      <mi id="p1.1.m1.1.12">g</mi>
      <mrow id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">(</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.14">x</mi>
        <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">)</mo>
      </mrow>
      <mi id="p1.1.m1.1.18">dP</mi>
      <mrow id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">(</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.20">X</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml"></mo>
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      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">=</mo>
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        <mtable id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
          <mtr id="p1.1.m1.1.26a" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.26b" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.26.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.1">g</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.3">a</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.4.cmml">)</mo>
                </mrow>
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                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.6.cmml"></mo>
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                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.8.1.cmml"></mi>
                </msubsup>
                <msup id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.24" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.9.cmml">g</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.10.1.cmml"></mo>
                </msup>
                <mrow id="p1.1.m1.1.27a" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.11" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.11.cmml">(</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.13" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.13.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.14">P</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.17" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.17.cmml">&gt;</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.18">x</mi>
                  <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.1.1.19" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.1.19.cmml">)</mo>
                </mrow>
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              </mrow>
            </mtd>
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.26c" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.26.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                <mpadded width="+5pt" id="p1.1.m1.1.26.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
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                </mpadded>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1.2.1.4">P</mi>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.1.7.cmml">(</mo>
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                  </mrow>
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                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.1.15.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.26.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.1.16.cmml">=</mo>
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              </mrow>
            </mtd>
          </mtr>
          <mtr id="p1.1.m1.1.26d" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
            <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.26e" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.26.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.1">g</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.2.cmml">(</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.4.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.5.cmml">-</mo>
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                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.6.cmml"></mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.7.1.1.cmml">-</mo>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.7.1.2.cmml"></mi>
                  </mrow>
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                </msubsup>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.9.cmml">g</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.10.1.cmml"></mo>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.27g" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.11" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.11.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.12">x</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.13" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.13.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.14">P</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.27h" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.15" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.15.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.16">X</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.17" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.17.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.18">x</mi>
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                </apply>
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              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.8a.cmml">x</csymbol>
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            </cerror>
            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1c.cmml">P</csymbol>
            <cerror id="p1.1.m1.1.27h.cmml" xref="p1.1.m1.1.27l">
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              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.10a.cmml">X</csymbol>
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              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.10b.cmml">x</csymbol>
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            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1d.cmml">d</csymbol>
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