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TeX (original user input):

\begin{align}
\left| \frac{f(w) - f(z)}{ w-z } - g(z) \right|&= \left|  \int_z^w \frac{ g(\zeta) d\zeta}{w -z} - \int_z^w \frac{ g(z) d\zeta}{w -z} \right|\\
&\leq \int_z^w \frac{ | g(\zeta) - g (z) |}{|w -z|} d\zeta \\
&\leq \max_{ \zeta \in [w, z]} | g(\zeta) - g(z) |,
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\left|{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)\right|&=\left|\int _{z}^{w}{\frac {g(\zeta )d\zeta }{w-z}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)d\zeta }{w-z}}\right|\\&\leq \int _{z}^{w}{\frac {|g(\zeta )-g(z)|}{|w-z|}}d\zeta \\&\leq \max _{\zeta \in [w,z]}|g(\zeta )-g(z)|,\end{aligned}}


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MathML (33.474 KB / 3.653 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\left|{\frac{f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)% \right|&\displaystyle=\left|\int_{z}^{w}{\frac{g(\zeta)d\zeta}{w-z}}-\int_{z}^% {w}{\frac{g(z)d\zeta}{w-z}}\right|\\ &\displaystyle\leq\int_{z}^{w}{\frac{|g(\zeta)-g(z)|}{|w-z|}}d\zeta\\ &\displaystyle\leq\max_{{\zeta\in[w,z]}}|g(\zeta)-g(z)|,\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\left|{\frac{f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)%&#10;\right|&amp;\displaystyle=\left|\int_{z}^{w}{\frac{g(\zeta)d\zeta}{w-z}}-\int_{z}^%&#10;{w}{\frac{g(z)d\zeta}{w-z}}\right|\\&#10;&amp;\displaystyle\leq\int_{z}^{w}{\frac{|g(\zeta)-g(z)|}{|w-z|}}d\zeta\\&#10;&amp;\displaystyle\leq\max_{{\zeta\in[w,z]}}|g(\zeta)-g(z)|,\end{aligned}}}" display="inline">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.10.cmml">(</mo>
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</mrow>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.11.cmml">(</mo>
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</mrow>
</mrow>
</mrow>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.cmml">ζ</mi>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.cmml">g</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.cmml">(</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.12.1.cmml">|</mo>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.1.cmml">|</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.1.cmml">|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">𝑑</mo>
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</mrow>
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<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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<munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1.cmml">
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml">ζ</mi>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.8.1.cmml">[</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml">⁡</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1.cmml">
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</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">-</mo>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3">𝑧</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.5">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.6">𝜁</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1">𝑤</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.3">𝑧</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<leq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑧</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">𝑤</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2">𝑔</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.4">𝜁</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.13.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7">𝑔</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.9">𝑧</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3">
<abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.7">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2">𝑤</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4">𝑧</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">differential-d</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝜁</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
<leq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.1">subscript</csymbol>
<max id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">
<in id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1">𝜁</ci>
<interval closure="closed" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4">𝑤</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.6">𝑧</ci>
</interval>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2">
<abs id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝑔</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">𝜁</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">𝑔</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">𝑧</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\left|{\frac{f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)%
\right|&amp;\displaystyle=\left|\int_{z}^{w}{\frac{g(\zeta)d\zeta}{w-z}}-\int_{z}^%
{w}{\frac{g(z)d\zeta}{w-z}}\right|\\
&amp;\displaystyle\leq\int_{z}^{w}{\frac{|g(\zeta)-g(z)|}{|w-z|}}d\zeta\\
&amp;\displaystyle\leq\max_{{\zeta\in[w,z]}}|g(\zeta)-g(z)|,\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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### MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

SVG image empty. Force Re-Rendering

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PNG (0 B / 8 B) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)\right|&=\left|\int _{z}^{w}{\frac {g(\zeta )d\zeta }{w-z}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)d\zeta }{w-z}}\right|\\&\leq \int _{z}^{w}{\frac {|g(\zeta )-g(z)|}{|w-z|}}d\zeta \\&\leq \max _{\zeta \in [w,z]}|g(\zeta )-g(z)|,\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Antiderivative (complex analysis) page

## Identifiers

• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle z}$

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