Primitive element theorem: Difference between revisions

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In [[mathematics]], a '''bilinear form''' on a [[vector space]] ''V'' is a [[bilinear map]]ping {{nowrap|''V'' × ''V'' → ''F''}}, where ''F'' is the [[field (mathematics)|field]] of [[scalar (mathematics)|scalar]]s.  That is, a bilinear form is a function {{nowrap|''B'' : ''V'' × ''V'' → ''F''}} which is [[linear transformation|linear]] in each argument separately:
== 「どこにメインコンセプトMingはため息をついた ==
* ''B''('''u''' + '''v''', '''w''') = ''B''('''u''', '''w''') + ''B''('''v''', '''w''')
* ''B''('''u''', '''v''' + '''w''') = ''B''('''u''', '''v''') + ''B''('''u''', '''w''')
* ''B''(λ'''u''', '''v''') = ''B''('''u''', λ'''v''') = λ''B''('''u''', '''v''')
The definition of a bilinear form can be extended to include [[module (mathematics)|module]]s over a [[commutative ring]], with linear maps replaced by [[module homomorphism]]s.  When ''F'' is the field of [[complex number]]s '''C''', one is often more interested in [[sesquilinear form]]s, which are similar to bilinear forms but are [[conjugate linear]] in one argument.


==Coordinate representation==
不滅の皇帝は、本当に素晴らしいです、と私は皇帝に対する中央セントは不死を残していることを知っていたら、中央セントに対して天皇は、、私はあなたの先輩ショットの「寺」を請願しました。 「どこにメインコンセプトMingはため息をついた。<br><br>グリーンゆうのすべてが中央のセント天皇ムーディに対して、オリジナルの石と衝撃のひどい精神的な要素でなく、またこのすべてのために動悸を感じる仙、この話を聞いて [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_3.php クリスチャンルブタン 東京]。<br>これは、東ティモールが楽園を言って、非常に安全である、中央セントという、絶対にひどいですHYDRAT住んでいることを選択した他の専門家が、実際にそれが楽園である、それは天皇の半分は間違っている半不滅であることを示唆し、不死を入力<br>死は、人は、死んでは全く生存の少しでも希望を入力する [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_3.php クリスチャンルブタン 東京]。<br><br>「やれやれ！ [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン メンズ] '<br><br>風、大ホールは、すべてのマスターがドアに向かって検索され、私は玄関ホールに細い髪がなびくの上に立って白い男を見た [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_9.php クリスチャンルブタン メンズ 通販]。<br><br>'マジック自由Shishu [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン 価格]。'<br>道路や他の仮想マスタ<br>ドライドライ文字生成ショックを受けた方法です、彼らは余暇Shishuのマジックマスターの概念を知ることができますが、Qingxudong内側 '寺上の最も重要な場所、そうでない場合は、
Let ''V'' ≅ ''F<sup>n</sup>'' be an ''n''-dimensional vector space with basis {'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}. Define the ''n'' × ''n'' matrix ''A'' by ''A<sub>ij</sub>'' = ''B''('''e'''<sub>''i''</sub>, '''e'''<sub>''j''</sub>). If the ''n'' × 1 matrix ''x'' represents a vector '''v''' with respect to this basis, and analogously, ''y'' represents '''w''', then:
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</ul>


:<math>B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = x^\mathrm T Ay = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j. </math>
== 'この子'秦ゆう時間は言うことを知らなかった ==


Suppose {'''f'''<sub>1</sub>, ..., '''f'''<sub>''n''</sub>} is another basis for ''V'', such that:
唐元は秦ゆうとおなじみの紫のMoヤンの美しさを見るために、このシーンを見て、唐元の美しい紫色の心は、おそらくこれが理解されると思いになる、と考える、すぐに右の魯迅風水は言った： [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_6.php クリスチャンルブタン 銀座] 'ではない運命を行い、どのように彼女を台無しに。 '<br><br>魯迅風水は深呼吸を取り、静かにささやいスチュアート血、見て：」清蘭は、私は私が彼女に恋をしてると思う」と魯迅風水、これは非常に小さい音を考えて、他の人は確かに聞こえます [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_4.php クリスチャンルブタン 店舗]。しかし、彼はほとんど薄れていなかった<br><br>秦Yuは突然魯迅風水を見て驚いた、振り向いた [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_8.php クリスチャンルブタン 店舗 東京]。そしてスチュアート血も魯迅風水、彼の顔も非常に奇妙である時間を狙っている [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_10.php クリスチャンルブタン 直営店]。<br><br>'この子'秦ゆう時間は言うことを知らなかった [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_6.php クリスチャンルブタン スニーカー]。<br><br>スチュアート血、それは紫ヤンフェル最初のモンスター、空の供物早期補修秦ゆうとスチュアート血がそれらを戦っていることをマジック、ああ、、だけでなく、ほぼ同じなので、魔法のトップ選手が、今普通の子供だ<br><br>「Lengtou清」笑顔で秦ゆう口。<br><br>魯迅風水秦ゆうとスチュアートは彼を見て一種の血を見て、彼は助教授だった
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: ['''f'''<sub>1</sub>, ..., '''f'''<sub>''n''</sub>] = ['''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>]''S''
== 」と江はすぐにバチカンを語った ==


where ''S'' ∈ GL(''n'', ''F''). Now the new matrix representation for the bilinear form is given by: ''S''<sup>T</sup>''AS''.
恥雨が点灯のタッチで彼の目を見てなって、「あなたは、チップ秦ゆう上の子よりもさらに高いヨーロッパで精製業の強さであると言った？ '<br><br>'は、陛下グランドです。「雨の戦争敬意。<br><br>「高速あなたが個人的にPiaoyunハウス......ええと、ライブ、彼が住んでするために配置され、手配し、楽しませるために人々をもたらす！右、Piaoyunハウス！」と江はすぐにバチカンを語った。<br><br>Piaoyunハウス [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_14.php クリスチャンルブタン 銀座]。北極市の雪だった [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン 靴 メンズ]。サイト比較的北極雪の街によく知られていることはない精錬マスター、生姜がなく、時には神々のためにブラフマーは心配するものです。<br>精錬マスターを作るhuan​​hangrn、それを行うのは非常に重要です [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_4.php クリスチャンルブタン 店舗]。<br><br>」はそれと秦ゆうの訪問というニュースで陛下、ゲートに来た。結婚する王女に出席するためだった！「雨の恥を再び添加。<br><br>江バチカン全体の人少し驚いて [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_8.php クリスチャンルブタン 直営店]。<br><br>「結婚？ '現時点では江バチカンがdumbfoundingです。<br>彼の心は喜びと心配でもあるhuan​​hangrn。喜びはあっても精錬マスター秦ゆうもアップ結婚に至っている。迷惑が一日結婚することです [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_5.php クリスチャンルブタン ブーツ]......
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</ul>


==Maps to the dual space==
== 「鵬黄魔法を見つける方法をどのようにでしょう ==
Every bilinear form ''B'' on ''V'' defines a pair of linear maps from ''V'' to its [[dual space]] ''V*''. Define ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>: ''V'' → ''V*''  by
:''B''<sub>1</sub>('''v''')('''w''') = ''B''('''v''', '''w''')
:''B''<sub>2</sub>('''v''')('''w''') = ''B''('''w''', '''v''')
This is often denoted as
:''B''<sub>1</sub>('''v''') = ''B''('''v''', ⋅)
:''B''<sub>2</sub>('''v''') = ''B''(⋅, '''v''')
where the ( ⋅ ) indicates the slot into which the argument for the resulting [[linear functional]] is to be placed.


For a finite-dimensional vector space ''V'', if either of ''B''<sub>1</sub> or ''B''<sub>2</sub> is an isomorphism, then both are, and the bilinear form ''B'' is said to be [[Degenerate form|nondegenerate]].  More concretely, for a finite-dimensional vector space, non-degenerate means that every non-zero element pairs non-trivially with some other element:
それは魔法の黄宗鵬ヤンです。<br>脱出する方法第三十一章を<br>？<br><br>秦ゆう心にこのシーンを見てショックを受け、この「金箔遠い魔法のアレイは「限界まで実行されていた、まさにその状態ではないが、作品は確かに安全なパスではありません。最も重要なことは、丘重い [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_4.php クリスチャンルブタン 取扱店]......魔法黄鵬、秦ゆうに外部の専門家のグループです。<br><br>「鵬黄魔法を見つける方法をどのようにでしょう？？ [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン 価格] '秦Yuは、丘は困惑。<br><br>は「殺害されたガードゆうジェーン断片化の魂が発見されたことはありますか？ '秦ゆうの心は密かにそれが魂のヒスイジェーンの断片化は、合計は常に通常、それを見ていないかどうかをチェックし、ああすべきではない」、と思う天才はそうすぐに見つけることができるか、一度見てみましょう？ [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_12.php クリスチャンルブタンジャパン] '<br><br>は今秦Yuは何かが間違っていたことを彼の計画を介して考えていませんでした [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_8.php クリスチャンルブタン 店舗 東京]。<br><br>'ビッグブラザー'秦ゆうブラックフェザーアップにしわ眉のそばに立っていた、「ウォン鵬の魔法たちが悪魔を知っていればこんなに早くこれらの人々はどのように、青が乾燥し、それをチェックアウトするには、兄弟の点に注意してくださいそれ。 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_9.php クリスチャンルブタン メンズ] '<br><br>秦Yuはうなずいた。
:<math>B(x,y)=0\,</math> for all <math>y \in V</math> implies that ''x'' = 0 and
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:<math>B(x,y)=0\,</math> for all <math>x \in V</math> implies that ''y'' = 0.
<ul>
 
 
The corresponding notion for a module over a ring is that a bilinear form is '''{{visible anchor|unimodular}}''' if <math>V \to V^*</math> is an isomorphism. Given a finite dimensional module over a commutative ring, the pairing may be injective (hence "nondegenerate" in the above sense) but not unimodular. For example, over the integers, the pairing <math>B(x,y) = 2xy</math> is nondegenerate but not unimodular, as the induced map from ''V'' = '''Z''' to ''V*'' = '''Z''' is multiplication by 2.
  <li>[http://www.owaki.mmcgi.com/cgi-bin/portaln.cgi http://www.owaki.mmcgi.com/cgi-bin/portaln.cgi]</li>
 
 
If ''V'' is finite-dimensional then one can identify ''V'' with its double dual ''V**''. One can then show that ''B''<sub>2</sub> is the [[transpose]] of the linear map ''B''<sub>1</sub> (if ''V'' is infinite-dimensional then  ''B''<sub>2</sub> is the transpose of ''B''<sub>1</sub> restricted to the image of ''V'' in ''V**''). Given ''B'' one can define the ''transpose'' of ''B'' to be the bilinear form given by
  <li>[http://www.huanwang123.com/plus/feedback.php?aid=9910 http://www.huanwang123.com/plus/feedback.php?aid=9910]</li>
:''B*''('''v''', '''w''') = ''B''('''w''', '''v''').
 
 
  <li>[http://xiaofuyanjiu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=90707 http://xiaofuyanjiu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=90707]</li>
The ''left radical'' and ''right radical'' of the form ''B'' are the [[kernel (algebra)|kernel]]s of ''B''<sub>1</sub> and ''B''<sub>2</sub> respectively;<ref>{{harvnb|Jacobson|2009}} p.346</ref> they are the vectors orthogonal to the whole space on the left and on the right.<ref>{{cite book | title=Principal Structures and Methods of Representation Theory | series=Translations of Mathematical Monographs | first=Dmitriĭ Petrovich | last=Zhelobenko | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2006 | isbn=0-8218-3731-1 | page=11 }}</ref>
 
 
</ul>
If ''V'' is finite-dimensional then the [[rank (linear algebra)|rank]] of ''B''<sub>1</sub> is equal to the rank of ''B''<sub>2</sub>. If this number is equal to dim(''V'') then ''B''<sub>1</sub> and ''B''<sub>2</sub> are linear isomorphisms from ''V'' to ''V*''.  In this case ''B'' is nondegenerate.  By the [[rank–nullity theorem]], this is equivalent to the condition that the left and equivalently right radicals be trivial.  In fact, for finite dimensional spaces, this is often taken as the ''definition'' of nondegeneracy: 
 
<blockquote>'''Definition:''' ''B'' is nondegenerate if and only if ''B''('''v''', '''w''') = 0 for all '''w''' implies '''v''' = '''0'''.</blockquote>
 
Given any linear map ''A'' : ''V'' → ''V*'' one can obtain a bilinear form ''B'' on ''V'' via
:''B''('''v''', '''w''') = ''A''('''v''')('''w''').
This form will be nondegenerate if and only if ''A'' is an isomorphism.
 
If ''V'' is [[finite-dimensional]] then, relative to some [[basis (linear algebra)|basis]] for ''V'', a bilinear form is degenerate if and only if the [[determinant]] of the associated matrix is zero. Likewise, a nondegenerate form is one for which the determinant of the associated matrix is non-zero (the matrix is [[non-singular matrix|non-singular]]). These statements are independent of the chosen basis. For a module over a ring, a unimodular form is one for which the determinant of the associate matrix is a unit (for example 1), hence the term; note that a form whose matrix is non-zero but not a unit will be nondegenerate but not unimodular, for example <math>B(x,y) = 2xy</math> over the integers.
 
==Symmetric, skew-symmetric and alternating forms==
We define a form to be
*'''[[Symmetric bilinear form|symmetric]]''' if ''B''('''v''', '''w''') = ''B''('''w''', '''v''') for all '''v''', '''w''' in ''V'';
*'''[[Alternating form|alternating]]''' if ''B''('''v''', '''v''') = 0 for all '''v''' in ''V'';
*'''skew-symmetric''' if ''B''('''v''', '''w''') = −''B''('''w''', '''v''') for all '''v''', '''w''' in ''V'';
 
<blockquote>'''Proposition:''' Every alternating form is skew-symmetric.  </blockquote>
 
<blockquote> '''Proof:''' This can be seen by expanding ''B''('''v'''+'''w''', '''v'''+'''w'''). </blockquote>
 
If the [[characteristic (algebra)|characteristic]] of ''F'' is not 2 then the converse is also true: every skew-symmetric form is alternating. If, however, char(''F'') = 2 then a skew-symmetric form is the same as a symmetric form and there exist symmetric/skew-symmetric forms which are not alternating.
 
A bilinear form is symmetric (resp. skew-symmetric) [[if and only if]] its coordinate matrix (relative to any basis) is [[Symmetric matrix|symmetric]] (resp. [[Skew-symmetric matrix|skew-symmetric]]). A bilinear form is alternating if and only if its coordinate matrix is skew-symmetric and the diagonal entries are all zero (which follows from skew-symmetry when char(''F'') ≠ 2).
 
A bilinear form is symmetric if and only if the maps ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>: ''V'' → ''V*''  are equal, and skew-symmetric if and only if they are negatives of one another. If char(''F'') ≠ 2 then one can decompose a bilinear form into a symmetric and a skew-symmetric part as follows
:<math>B^{\pm} = \frac{1}{2} (B \pm B^*)</math>
where ''B*'' is the transpose of ''B'' (defined above).
 
Also if char(''F'') ≠ 2 then one can define a [[quadratic form]] in terms of its associated symmetric form. One can likewise define quadratic forms corresponding to skew-symmetric forms, [[Hermitian form]]s, and [[skew-Hermitian form]]s; the general concept is [[ε-quadratic form]].
 
==Reflexivity and orthogonality==
<blockquote>'''Definition:''' A bilinear form ''B'' : ''V'' × ''V'' → ''F'' is called '''reflexive''' if ''B''('''v''', '''w''') = 0 implies ''B''('''w''', '''v''') = 0 for all '''v''', '''w''' in ''V''.</blockquote>
 
<blockquote>'''Definition:''' Let ''B'' : ''V'' × ''V'' → ''F'' be a reflexive bilinear form. '''v''', '''w''' in ''V'' are '''orthogonal with respect to ''B''''' if and only if ''B''('''v''', '''w''') = 0 or ''B''('''w''', '''v''') = 0.</blockquote>
 
A form ''B'' is reflexive if and only if it is either symmetric or alternating.<ref>{{harvnb|Grove|1997}}</ref>  In the absence of reflexivity we have to distinguish left and right orthogonality. In a reflexive space the left and right radicals agree and are termed the ''kernel'' or the ''radical'' of the bilinear form: the subspace of all vectors orthogonal with every other vector.  A vector '''v''', with matrix representation ''x'', is in the radical of a bilinear form with matrix representation ''A'', if and only if ''Ax'' = 0 ↔ ''x''<sup>T</sup>''A'' = 0. The radical is always a subspace of ''V''.  It is trivial if and only if the matrix ''A'' is nonsingular, and thus if and only if the bilinear form is nondegenerate.
 
Suppose ''W'' is a subspace.  Define the ''[[orthogonal complement]]''<ref>Adkins & Weintraub (1992) p.359</ref>
 
:<math>W^{\perp}=\{\mathbf{v}| B(\mathbf{v}, \mathbf{w})=0\ \forall \mathbf{w}\in W\} \ . </math>
 
For a non-degenerate form on a finite dimensional space, the map ''W'' ↔ ''W''<sup>⊥</sup> is bijective, and the dimension of ''W''<sup>⊥</sup> is dim(''V'') − dim(''W'').
 
==Different spaces==
Much of the theory is available for a [[bilinear mapping]] to the base field
 
:''B'' : ''V'' × ''W'' → ''F''.
 
In this situation we still have induced linear mappings from ''V'' to ''W*'', and from ''W'' to ''V*''. It may happen that these mappings are isomorphisms; assuming finite dimensions, if one is an isomorphism, the other must be. When this occurs, ''B'' is said to be a '''perfect pairing'''.
 
In finite dimensions, this is equivalent to the pairing being nondegenerate (the spaces necessarily having the same dimensions). For modules (instead of vector spaces), just as how a nondegenerate form is weaker than a unimodular form, a nondegenerate pairing is a weaker notion than a perfect pairing. A pairing can be nondegenerate without being a perfect pairing, for instance {{nowrap|'''Z''' × '''Z''' → '''Z'''}} via {{nowrap|(''x'',''y'') ↦ 2''xy''}} is nondegenerate, but induces multiplication by 2 on the map {{nowrap|'''Z''' → '''Z'''*}}.
 
Terminology varies in coverage of bilinear forms. For example, F. Reese Harvey discusses "eight types of inner product".<ref>Harvey p. 22</ref> To define them he uses diagonal matrices ''A<sub>ij</sub>'' having only +1 or −1 for non-zero elements. Some of the "inner products" are [[symplectic vector space|symplectic forms]] and some are [[sesquilinear form]]s or [[sesquilinear form#Hermitian form|Hermitian forms]]. Rather than a general field ''F'', the instances with real numbers '''R''', complex numbers '''C''', and [[quaternions]] '''H''' are spelled out. The bilinear form
 
:<math>\sum_{k=1}^p  x_k y_k  - \sum_{k=p+1}^n  x_k y_k </math>
 
is called the '''real symmetric case''' and labeled R(''p'', ''q''), where ''p'' + ''q'' = ''n''. Then he articulates the connection to traditional terminology:
:Some of the real symmetric cases are very important. The positive definite case R(''n'', 0) is called ''Euclidean space'', while the case of a single minus, R(''n''−1, 1) is called ''Lorentzian space''. If ''n'' = 4, then Lorentzian space is also called [[Minkowski space]] or ''Minkowski spacetime''. The special case R(''p'', ''p'') will be referred to as the ''split-case''.<ref>Harvey p 23</ref>
 
==Relation to tensor products==
By the [[universal property]] of the [[tensor product]], bilinear forms on ''V'' are in 1-to-1 correspondence with linear maps ''V'' ⊗ ''V'' → ''F''. If ''B'' is a bilinear form on ''V'' the corresponding linear map is given by
:'''v''' ⊗ '''w''' ↦ ''B''('''v''', '''w''')
The set of all linear maps ''V'' ⊗ ''V'' → ''F'' is the [[dual space]] of ''V'' ⊗ ''V'', so bilinear forms may be thought of as elements of
:(''V'' ⊗ ''V'')* ≅ ''V*'' ⊗ ''V*''
Likewise, symmetric bilinear forms may be thought of as elements of Sym<sup>2</sup>(''V*'') (the second [[symmetric power]] of ''V*''), and alternating bilinear forms as elements of Λ<sup>2</sup>''V*'' (the second [[exterior power]] of ''V*'').
 
==On normed vector spaces==
<blockquote>'''Definition:''' A bilinear form on a [[normed vector space]]  (''V'', ‖·‖ ) is '''bounded''', if there is a constant ''C'' such that for all '''u''', '''v''' ∈ ''V''
:<math>B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \le C \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|.</math></blockquote>
 
<blockquote>'''Definition:''' A bilinear form on a normed vector space  (''V'', ‖·‖ ) is '''elliptic''', or [[Coercive_function#Coercive_operators_and_forms|coercive]], if there is a constant ''c'' > 0 such that for all '''u''' ∈ ''V''
:<math>B(\mathbf{u}, \mathbf{u}) \ge c \|\mathbf{u}\|^2.</math></blockquote>
 
==See also==
*[[Bilinear operator]]
*[[Multilinear form]]
*[[Quadratic form]]
*[[Inner product space]]
*[[positive semi-definite|Positive semi definite]]
*[[Sesquilinear form]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
==References==
* {{cite book | last=Jacobson | first=Nathan | title=Basic Algebra | volume=I | edition=2nd | year=2009 | isbn=978-0-486-47189-1 }}
* {{cite book | last1=Adkins | first1=William A. | last2=Weintraub | first2=Steven H. | title=Algebra: An Approach via Module Theory | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=136 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1992 | isbn=3-540-97839-9 | zbl=0768.00003  }}
* {{cite book | first=Bruce | last=Cooperstein | year=2010 | title=Advanced Linear Algebra | chapter=Ch 8: Bilinear Forms and Maps | pages=249&ndash;88 | publisher=[[CRC Press]] | isbn=978-1-4398-2966-0 }}
* {{cite book | last=Grove | first=Larry C. | title=Groups and characters | year=1997 | publisher=Wiley-Interscience | isbn=978-0-471-16340-4}}
* {{cite book | last1=Halmos | first1=Paul R. | author1-link=Paul R. Halmos | title=Finite-dimensional vector spaces | series=Undergraduate Texts in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90093-3 | year=1974 | zbl=0288.15002 }}
* Harvey, F. Reese (1990) ''Spinors and calibrations'', Ch 2:The Eight Types of Inner Product Spaces, pp 19–40, [[Academic Press]], ISBN 0-12-329650-1 .
* M. Hazewinkel ed. (1988) [[Encyclopedia of Mathematics]], v.1, p.&nbsp;390, [[Kluwer Academic Publishers]]
* {{cite book | first1=J. | last1=Milnor | author1-link=John Milnor| first2=D. | last2=Husemoller | title=Symmetric Bilinear Forms | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]] | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1973 | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 }}
* {{cite book | last=Shilov | first=Georgi E. | title=Linear Algebra | editor-last=Silverman | editor-first=Richard A. | year=1977 | publisher=Dover | isbn=0-486-63518-X}}
* {{cite book  | last = Shafarevich  | first = I. R. | authorlink = Igor Shafarevich | coauthors = A. O. Remizov | title = Linear Algebra and Geometry | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | year = 2012 | url = http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9 | isbn = 978-3-642-30993-9}}
 
==External links==
* {{springer|title=Bilinear form|id=p/b016250}}
*{{planetmath reference|id=1612|title=Bilinear form}}
 
{{Functional Analysis}}
 
{{PlanetMath attribution|id=7553|title=Unimodular}}
 
[[Category:Bilinear forms]]

Latest revision as of 22:43, 25 June 2014

「どこにメインコンセプトMingはため息をついた

不滅の皇帝は、本当に素晴らしいです、と私は皇帝に対する中央セントは不死を残していることを知っていたら、中央セントに対して天皇は、、私はあなたの先輩ショットの「寺」を請願しました。 「どこにメインコンセプトMingはため息をついた。

グリーンゆうのすべてが中央のセント天皇ムーディに対して、オリジナルの石と衝撃のひどい精神的な要素でなく、またこのすべてのために動悸を感じる仙、この話を聞いて クリスチャンルブタン 東京。
これは、東ティモールが楽園を言って、非常に安全である、中央セントという、絶対にひどいですHYDRAT住んでいることを選択した他の専門家が、実際にそれが楽園である、それは天皇の半分は間違っている半不滅であることを示唆し、不死を入力
死は、人は、死んでは全く生存の少しでも希望を入力する クリスチャンルブタン 東京。

「やれやれ！ クリスチャンルブタン メンズ '

風、大ホールは、すべてのマスターがドアに向かって検索され、私は玄関ホールに細い髪がなびくの上に立って白い男を見た クリスチャンルブタン メンズ 通販。

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道路や他の仮想マスタ
ドライドライ文字生成ショックを受けた方法です、彼らは余暇Shishuのマジックマスターの概念を知ることができますが、Qingxudong内側 '寺上の最も重要な場所、そうでない場合は、 相关的主题文章：

'この子'秦ゆう時間は言うことを知らなかった

唐元は秦ゆうとおなじみの紫のMoヤンの美しさを見るために、このシーンを見て、唐元の美しい紫色の心は、おそらくこれが理解されると思いになる、と考える、すぐに右の魯迅風水は言った： クリスチャンルブタン 銀座 'ではない運命を行い、どのように彼女を台無しに。 '

魯迅風水は深呼吸を取り、静かにささやいスチュアート血、見て：」清蘭は、私は私が彼女に恋をしてると思う」と魯迅風水、これは非常に小さい音を考えて、他の人は確かに聞こえます クリスチャンルブタン 店舗。しかし、彼はほとんど薄れていなかった

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