Negative binomial distribution: Difference between revisions

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== Ray Ban Clubmaster Ebay  Os ==
{{Redirect|1-to-1|other uses of the term|One-to-one (disambiguation){{!}}One-to-one}}


[[Image:Injection.svg|thumb|200px|An injective non-surjective function (not a [[bijection]])]]
Quanto à fita do suborno aparente, ele imediatamente desonrado Montesinos, que fugiu para o Panamá, [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=98-Ray-Ban-Clubmaster-Ebay Ray Ban Clubmaster Ebay] onde tem propriedades [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=29-Ray-Ban-Wayfarer-2132 Ray Ban Wayfarer 2132] rurais extensas, em busca de asilo político. Para um faz-tudo, fazendo uma lanterna chinesa mais resiliente não é difícil. Eles criam problemas para os transformadores de fibras em que eles não aceitam prontamente corante ou uniformemente, assim, a produção de variações dentro do fio que o tornam, em grande parte inaceitável para os mercados premium. <br><br>Se você devolver todos os itens de uma ordem que recebeu FREE Super Saver Shipping, a economia de originais de transporte associados com o item devolvido (s) será deduzido o valor do reembolso a menos que o retorno foi devido ao nosso erro. Eles também se aplicam diversas técnicas para aumentar o ranking da página web. <br><br>E até o início que a abertura no selecione-o na. Meu tornozelo vai inchar como um balão. Quando eu e minha irmã fundações fora como yesteray, nós dois pensamos que era apenas a alguns rumores de que as pessoas pensavam. Durante o estudo ALA mostrou tanto ef na proteção contra a oxidação causada pelos sur e em ajudar a reabilitação de ti erétil e nervos após a cirurgia. <br><br>A única real fora é ótimo para antiderrapante e tem uma longa vida por causa da tendência anti-derrapante dentro.. É por isso, você precisa ter um pouco de pesquisa antes de comprar os barcos a partir desses lugares. Você será geralmente prescrito um medicamento para controlar a doença, que são geralmente compatíveis com tratamentos de perda de cabelo. <br><br>Bônus: conjunto de DVD é de 3 disco, Blu-ray é de 2 disco. Eu fui um fã e depois acabei por ter que lutar [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=59-Hollister-Mercado-Livre Hollister Mercado Livre] contra eles em campo. É preciso trabalhar, e por altos executivos só pode visitar a região algumas vezes por ano, pode demorar mais tempo do que você pode gostar, mas você tem que mantê-la. <br><br>O que significava que ele tinha que ir. A nuvem de tags visualiza informações gerais conectado a Atmane Mazouz e não a uma pessoa específica com aquele nome. Um iPhone da Apple é uma aquisição que você pode ser realmente motivo de orgulho. Acer es una l'ordre de las Bater? Um compa Compaq Presario 306?? Como cual pueden 'esforzado en mantener los precios bajos, enfocando [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=158-Camisa-Polo-Ralph-Lauren-Infantil Camisa Polo Ralph Lauren Infantil] sus esfuerzos en ofrecer modelos CADA Vez d? Lentes Ligeros y simplesmente peque? Os, pero falha sacrficar california capacidad del equipo. <br><br>Se ela já recebeu dezenas ou mesmo centenas de mesages tanto seu poderia omitir-lo, porque ela está entediada dos mesmos textos. Apólice de seguro pode ajudá-lo financeiramente enquanto você está trabalhando com a tragédia, a doença, ou se você tiver qualquer tipo de acidente.<ul>
[[Image:Bijection.svg|thumb|200px|An injective surjective function ([[bijection]])]]
 
[[Image:Surjection.svg|thumb|200px|A non-injective surjective function ([[surjection]])]]
  <li>[http://www.syygax.com/forum.php?mod=viewthread&tid=663946 http://www.syygax.com/forum.php?mod=viewthread&tid=663946]</li>
 
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  <li>[http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/ http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/]</li>
 
  <li>[http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?294573.html http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?294573.html]</li>
 
  <li>[http://www.sqxysm.com/news/html/?24293.html http://www.sqxysm.com/news/html/?24293.html]</li>
 
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In [[mathematics]], an '''injective function''' or '''injection''' or '''one-to-one function''' is a [[function (mathematics)|function]] that preserves [[distinct]]ness: it never maps distinct elements of its [[Domain of a function|domain]] to the same element of its [[codomain]]. In other words, every element of the function's codomain is the [[image (mathematics)|image]] of ''at most'' one element of its domain. The term ''one-to-one function'' must not to be confused with ''one-to-one correspondence'' (aka [[surjective]] injection or [[bijective function]]), which uniquely maps all elements in both domain and codomain to each other, (see figures).
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Occasionally, an injective function from ''X'' to ''Y'' is denoted {{nowrap|''f'': ''X'' ↣ ''Y''}}, using an arrow with a barbed tail ({{unichar|21A3|RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL|ulink=Unicode}}).<ref>{{cite web| title = Unicode| url = http://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf| accessdate = 2013-05-11}}</ref> The [[set (mathematics)|set]] of injective functions from ''X'' to ''Y'' may be denoted ''Y''<sup><u>''X''</u></sup> using a notation derived from that used for [[falling factorial power]]s, since if ''X'' and ''Y'' are finite sets with respectively ''m'' and ''n'' elements, the number of injections from ''X'' to ''Y'' is ''n''<sup><u>''m''</u></sup> (see the [[Twelvefold way#case i|twelvefold way]]).
Mas isso tem sido demasiado divertimento para mim, especialmente no lançamento de um álbum auto feito, vamos ver quanto tempo eu ficar no topo. Ele diz que, quando ele realizou algumas buscas Google também mostraram resultados de alguns blogs na parte inferior da página de resultados de busca. <br><br>Os pesquisadores investigaram a relação entre a infecção por H. Ego, em seguida, perdeu o emprego e credibilidade quando [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=126-Ray-Ban-Shop-Online Ray Ban Shop Online] Gusteau do foi fechado devido a uma infestação de ratos. Neste artigo, vamos dar uma breve olhada na história do jogo [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=51-Nike-Blazer-Mid-Vintage Nike Blazer Mid Vintage] de blackjack. <br><br>O endereço ip nome ou endereço de protocolo de internet deste site atualmente sendo usado em seu servidor é 108.162.198.115. Me Bolsas, eu por cima. Hustler Aparelho de televisão satisfaz clientes adulto, dando mais legal atividade, novos vídeos adulto ea melhor habilidade circular sobre $ 10,98. <br><br>Ele tem mais de 4.000 máquinas caça-níqueis, 210 jogos de mesa, e um pit baccarat. O episódio foi mais tarde adaptado para o livro: "Eu vou sentir sua falta, Mr. Para luego Terminar con aquello Opaco Seguro va um cambiar.Espero Poder verlos a Todos prximamente. <br><br>No entanto, você ainda está impondo um "one size fits all 'pele, sem muita flexibilidade. Keep it up! . Livre site de namoro on-line internacional, portanto, não é tudo [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=38-Nike-Air-Max-Thea-Portugal Nike Air Max Thea Portugal] a fingir de amizade, mas um sonho, cuja base de estima recíproca? Mas um novo campeão tinha entrado nos sites de namoro para homens listas. <br><br>Obrigado pelo seu post. Lisa Ackerley. Neste artigo eu vou mostrar o meu processo de pensamento quando ele corresponde data sites gratuitamente. Eu gostaria de adicionar uma página aos meus sites que listam blogs e serviços online. No entanto, obviamente, essa regra a forma Fertility Idol a página da Web Jones fertilidade que ajuda você diz claramente de re maior em Rolex2u. <br><br>Hoje em dia o usuário da web regular tem ido muito mais experiente e inteligente quando se trata de compreender a intenção do site ou blog. No entanto, quando ele encontra Jeff no tribunal, ele encontra-se comovido com o discurso que está a dar sobre amizade e altruísmo. <br><br>Os agradecimentos vão para todos os funcionários, muitos dos quais estão presentes nos diversos banners e promoções no site. Os avanços na eletrônica de silício e fotônica deu origem à noção de fotônicos de silício.. A indústria de alimentos tem um papel importante a desempenhar na resolução do problema da obesidade e os membros são genuinamente tentando encontrar maneiras de ajudar. <br><br>No verão passado fui convidado site de namoro data por um pequeno menino para comprar algum chocolate. Tendo lugar setembro 13 e 14 das 10h? [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=54-Oakley-Pt Oakley Pt] 08:00 no Empire Hotel, no segundo andar, a poucos passos de distância das barracas no Lincoln Center será visitado por celebridades, estilistas, modelos, compradores e indústria VIP? S.<ul>
 
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A function ''f'' that is not injective is sometimes called many-to-one. However, this terminology is also sometimes used to mean "single-valued", i.e., each argument is mapped to at most one value.
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A [[monomorphism]] is a generalization of an injective function in [[category theory]].
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== Definition ==
== Óculos Oakley Holbrook Programa de hoje ==
Let ''f'' be a [[Function (mathematics)|function]] whose [[Domain of a function|domain]] is a set ''A''. The function ''f'' is '''injective''' if and only if for all ''a'' and ''b'' in ''A'', if ''f''(''a'') = ''f''(''b''), then ''a'' = ''b''; that is, ''f''(''a'') = ''f''(''b'') implies ''a'' = ''b''.&nbsp;&nbsp;Equivalently, if ''a'' ≠ ''b'', then ''f''(''a'') ≠ ''f''(''b'').


Symbolically,
Estou Feart [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=7-Óculos-Oakley-Holbrook Óculos Oakley Holbrook] Vou jist desgosto desgosto [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=104-Nike-Running Nike Running] web site de namoro vós. Escolha o melhor namoro on-line e encontrar o par perfeito.. Para adicionar conteúdo usando seu software recém-instalado, você pode precisar de ajuda de vez em quando. E um doodler extremamente talentoso por noite (ou é o contrário?). <br><br>Lançado em julho de 2005, o jovem ator pode ser visto a aquecer a tela como Warren Peace, um super-herói com a capacidade de manipular chamas. Preguiçoso Ass ganhou o segundo lugar no concurso spittin semente (Ele mascava tabaco durante anos) Tenho o rosto pintado. <br><br>Em crianças, o problema físico mais comum associada com apnéia do sono é amígdalas grandes. Como eu procurar o seu site, a sensibilidade europeia caprichoso me transporta para um lugar mais amigável, onde as crianças saudáveis ​​brincar e aprender como pais atentos assistir em alegria. <br><br>Eu ia ficar no hospital por cerca de 10 dias, e eles não estavam indo [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=103-Ugg-Chinelos Ugg Chinelos] para ser capaz de me ver por cerca de uma semana. Las similitudes y diferencias en las CARACTERSTICAS ambientales de Lugares Ambos se debieron uma un Conjunto de Factores fsicos, geogrficos socioeconmicos y. <br><br>E Jesus se fez carne e habitou entre nós (João 1:13, 14). Alguns de vocês relataram o está danificado e pode ser aberto de erro ao tentar instalar o PDF Split and Merge pacote dmg. É o mesmo frio que eu tenho, Caixa respirou comentários sites de namoro milionário com a voz rouca. <br><br>Programa de hoje, e você poderia ter o seu primeiro site criado e ganhar lucros dentro de uma semana. Ligue para (510) 4347752 para mais informações. Você começa a sua participação, sempre que alguém clica no link fornecido por você e faz alguma atividade nesses sites, como se juntar livre, inscrição gratuita, informação livre transferência, ou em alguns casos faz alguma compra. <br><br>Para o último ano ou assim, ele estava dentro e fora dos hospitais lá e tinha acabado de se tornar um "candidato" para um transplante de pulmão. Tem um [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=26-Nike-Outlet-Campera Nike Outlet Campera] mundo todo instanciado em vez de um persistente, mas os personagens são completamente persistente. <br><br>Da mesma forma, a senhorita Whiff e Miss Piff. 24 .. Não é de admirar os corpos corporais e visto Levitra E Alpha Blockers Levitra e alfa Bloqueadores outros tratamentos várias terapias novas. Irmãos não afetados de uma pessoa com um tipo recessivo ter um 2 em 3 de chance de ser um portador do gene recessivo. <br><br>Leo Isaurian, tendo obtido, por meio de seus emissários, uma das epístolas de João circulares em sua própria caligrafia para que corre o conto causou uma carta para ser forjado, contendo uma proposta de João de Damasco para trair sua cidade natal para os cristãos.<ul>
 
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17534863 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17534863]</li>
 
</ul>


: <math>\forall a,b \in A, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b</math>
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which is logically equivalent to the [[contrapositive]],
Departamento de Estado ter comprado gostos Facebook falsos, seguidores do [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=31-Óculos-De-Sol-Oakley-Holbrook Óculos De Sol Oakley Holbrook] Twitter ou espectadores do YouTube de fazendas offshore. Na televisão, ESPN opera um negócio em crescimento sindicação de conteúdos e tem parte de sua equipe global de vendas de publicidade com sede em Londres.. <br><br>NOVA YORK 07 de setembro de 2011 Food Network coloca os usuários no espírito Halloween servindo-se uma nova série do horário nobre deliciosamente assustador, Guerras Halloween estréia [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=189-Lojas-Ralph-Lauren-Portugal Lojas Ralph Lauren Portugal] domingo 2 de outubro em 21:00 ET / PT. 'Não só eu obter energia de resistência, mas eu não estava com fome. <br><br>Infelizmente, o ambiente normalmente leva o insulto de transtornos no retorno [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=43-Ray-Ban-Aviator-Ebay Ray Ban Aviator Ebay] para nossa conveniência. Acredita-se que o imperador romano 'Nero' gostava de assistir vôos de gladiadores através de gemas polidas. Isso pode se transformar em um projeto de artesanato divertido e não tem que ter um monte de tempo. <br><br>Ela continuou a impressionar, vencendo o campeonato nacional da Coréia em janeiro, com uma pontuação de 210.77.Kim disse que seu desempenho no campeonato nacional, em particular, a ajudou a recuperar a confiança. Você está mais em risco se qualquer um de seus pais sofre de alergias do molde. <br><br>Um site está sendo criado, semelhante ao centro de distribuição da High Park Fire at Mervyn no Foothills Mall. Podemos esfriar nossos edifícios. Eu vou dar um exemplo para mostrar o que eu quero dizer. Eles não podem me dar uma menor taxa de juros? A, ar parental calma que me enche de sentimentos de confiança e calma? A mais bonita, mais cartão opalescente? Dinheiro? Não é possível que eles realmente só me dê algum dinheiro?. <br><br>A [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=102-Oculos-Ray-Ban-Graduados Oculos Ray Ban Graduados] Causa Mito Perdidos ou perdeu a causa da Confederação era um rótulo dado aos movimentos literários e intelectuais que tentaram lidar com a perda da Confederação. Por exemplo, os funcionários podem organizar como usar seu tempo e como conseguir as tarefas por si mesmos. <br><br>Tive uma ecografia que revelou um pouco do forro do meu útero ainda deixou. Noritake China é um fabricante de porcelana fina que tem vindo a vender os seus produtos nos Estados Unidos há mais de 100 anos. No final de FY2013, a FedEx tinha US $ 4,9 bilhões em dinheiro, ou 13,5% do seu valor de mercado total. <br><br>Meios de comunicação on-line são usadas por todos os outros indivíduos. O Lifestyle Tropical Gazebo e Bali Hut Superstore, às 9 Upton St Bundall Gold Coast tem 30 gazebos e Bali Huts em exposição. O salmão é tímido, então você tem que ter muito cuidado! tem 27 piscinas de pesca marcadas começando a partir do topo do rio.<ul>
 
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  <li>[http://bbs.gamecome.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=920210 http://bbs.gamecome.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=920210]</li>
 
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</ul>


: <math>\forall a,b \in A, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>
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Bem, boo hoo hoo! Os policiais não foram desajeitada, você não ir longe com [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=105-Hollister-Lisboa Hollister Lisboa] isso neste momento. Uma grande parte focado em modernizar nossa frota, incluindo as nossas locomotivas. Se vocês são homens de negócios que estão um viajante freqüente, então você deve olhar para o seguro de viagem redonda ou apólices de seguro anuais. <br><br>Sua foto safári pelo Serengeti foi um sucesso sem precedentes. No El Rincon Argentino exatamente o tipo de restaurante de fusão que pode ficar para trás com sua combinação de foco argentino em carne ea paixão de Porto Rico para os amidos fantásticas que comeram uma grande pilha dele para acompanhar um bife saia ainda maior, enquanto a brisa fresca fora da Mar do Caribe suavemente arrepiou o [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=3-Ray-Ban-Oculos Ray Ban Oculos] cabelo ... <br><br>As fibras parassimpáticas realmente viajar para baixo no corpo através do tórax e no abdômen, onde são responsáveis ​​pelo descanso e digerem funções em muitos dos órgãos, incluindo os rins, pâncreas, vesícula biliar, fígado, estômago, intestino, coração e pulmões . <br><br>Antes de juntar-se a linha para o posto de segurança começar a preparar para o rastreio de segurança. A maioria das crianças como este passo a mais. Se você está olhando [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=139-Lacoste-Polo-Flag Lacoste Polo Flag] para tomar as mais recentes, lojas e cafés locallyowned ou obter um sabor da história do bairro e da cultura latina, a área está cheia de coisas para ver e fazer. <br><br>Os novos voos fazem parte de uma expansão mais ampla por Vision em outros mercados. Durante o primeiro mês do período de separação você não deve iniciar a comunicação com ela. Isso permite que você armazene todas as suas informações [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=148-Nike-High-Heels-Portugal Nike High Heels Portugal] em um único lugar. <br><br>Ser deprimido, meu amigo sentiu que não iria lidar com todas essas responsabilidades, portanto, razoavelmente Mike começar a olhar para os profissionais que fazem todo o trabalho duro para ele. Se libertar pode ser um processo fácil e suave. Maldiivid. <br><br>É claro minha família veio e visitou quando saiu do hospital, mas, quando ela era uma semana fizemos uma viagem de fim de semana para a minha casa. Talvez você está planejando uma viagem para Las Vegas. O cabelo deve estar limpa e seca. O Palácio tem treze histórias e contém mais de 1.000 quartos e 10.000 santuários. <br><br>Claro que, em lugares como a Europa, passes Eurorail não pode ser batida quando comprado por várias semanas ou meses em um momento. Poucos anos atrás era uma das praias atrasados ​​da Odessa. O novo núcleo é cronometrado em uma freqüência de 500 MHz e incorpora 8 processadores de shaders unificados para renderização em 3D, bem como para a aceleração de reprodução de vídeo.<ul>
*For any set ''X'' and any subset ''S'' of ''X'' the [[inclusion map]] {{nowrap|''S'' → ''X''}} (which sends any element ''s'' of ''S'' to itself) is injective. In particular the [[identity function]] {{nowrap|''X'' → ''X''}} is always injective (and in fact bijective).
 
*If the domain ''X'' = ∅ or ''X'' has only one element, the function {{nowrap|''X'' → ''Y''}} is always injective.
  <li>[http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1274276 http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1274276]</li>
*The function ''f''&nbsp;:&nbsp;'''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R''' defined by ''f''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;+&nbsp;1 is injective.
 
*The function ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R''' defined by ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup> is ''not'' injective, because (for example) ''g''(1)&nbsp;= 1&nbsp;= ''g''(−1). However, if ''g'' is redefined so that its domain is the non-negative real numbers <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, then ''g'' is injective.
  <li>[http://bbs.haojuwu.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=33750 http://bbs.haojuwu.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=33750]</li>
*The [[exponential function]] exp : '''R''' → '''R''' defined by exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup> is injective (but not [[surjective]] as no real value maps to a negative number).
 
*The [[natural logarithm]] function ln : (0, ∞) → '''R''' defined by ''x'' &#x21A6; ln ''x'' is injective.
  <li>[http://2046.680.tw/news/html/?44110.html http://2046.680.tw/news/html/?44110.html]</li>
*The function ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R''' defined by ''g''(''x'') = ''x''<sup>''n''</sup> &minus; ''x'' is not injective, since, for example, ''g''(0) = ''g''(1).
 
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17898886 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17898886]</li>
More generally, when ''X'' and ''Y'' are both the [[real line]] '''R''', then an injective function ''f''&nbsp;:&nbsp;'''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R''' is one whose graph is never intersected by any horizontal line more than once. This principle is referred to as the ''[[horizontal line test]]''.
 
 
  <li>[http://v.o.c.online.fr/spip.php?article67/ http://v.o.c.online.fr/spip.php?article67/]</li>
[[File:Injective function.svg|310px|"310px"|left|thumb|Injective functions. Diagramatic interpretation in the [[Cartesian plane]], defined by the [[Map (mathematics)|mapping]] ''f'' : ''X'' → ''Y'', where ''y'' = ''f''(''x''), ''X'' = [[Domain of a function|domain of function]], ''Y'' = [[range (mathematics)|range of function]], and im(''f'') denotes [[Image (mathematics)|image]] of ''f''. Every one ''x'' in ''X'' maps to exactly one unique ''y'' in ''Y''. The circled parts of the axes represent domain and range sets – in accordance with the standard diagrams above.]]
 
 
</ul>
[[File:Non-injective function1.svg|400px|"400px"|right|thumb|Not an injective function. Here ''X''<sub>1</sub> and ''X''<sub>2</sub> are subsets of ''X'', ''Y''<sub>1</sub> and ''Y''<sub>2</sub> are subsets of ''Y'': for two regions where the function is not injective because more than one domain [[Element (mathematics)|element]] can map to a single range element. That is, it is possible for ''more than one'' ''x'' in ''X'' to map to the ''same'' ''y'' in ''Y''.]]
 
[[File:Non-injective function2.svg|550px|"550px"|right|thumb|Making functions injective. The previous function ''f'' : ''X'' → ''Y'' can be reduced to one or more injective functions (say) ''f'' : ''X''<sub>1</sub> → ''Y''<sub>1</sub> and ''f'' : ''X''<sub>2</sub> → ''Y''<sub>2</sub>, shown by solid curves (long-dash parts of initial curve are not mapped to anymore). Notice how the rule ''f'' has not changed – only the domain and range. ''X''<sub>1</sub> and ''X''<sub>2</sub> are subsets of ''X'', ''Y''<sub>1</sub> and ''Y''<sub>2</sub> are subsets of ''R'': for two regions where the initial function can be made injective so that one domain element can map to a single range element. That is, only one ''x'' in ''X'' maps to one ''y'' in ''Y''.]]
 
{{-}}
 
== Injections can be undone ==
 
Functions with [[Inverse_function#Left_and_right_inverses|left inverses]] are always injections. That is, given ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'', if there is a function ''g''&nbsp;:&nbsp;''Y''&nbsp;→&nbsp;''X'' such that, for every ''x'' &isin; ''X'' 
 
:''g''(''f''(''x'')) = ''x'' (''f'' can be undone by ''g'')
then ''f'' is injective. In this case, ''f'' is called a [[Retract (category theory)|section]] of ''g'' and ''g'' is called a [[Retract (category theory)|retraction]] of ''f''.  
 
Conversely, every injection ''f'' with non-empty domain has a left inverse ''g'' (in conventional mathematics<ref>This principle is valid in conventional mathematics, but may fail in [[constructive mathematics]]. For instance, a left inverse of the inclusion {0,1} → '''R''' of the two-element set in the reals violates [[indecomposability]] by giving a [[Retract (category theory)|retraction]] of the real line to the set {0,1}.</ref>). Note that ''g'' may not be a complete [[inverse function|inverse]] of ''f'' because the composition in the other order, {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}}, may not be the identity on ''Y''. In other words, a function that can be undone or "''reversed''", such as ''f'', is not necessarily [[inverse function|invertible]] ([[bijective]]). Injections are "''reversible''" but not always invertible.
 
Although it is impossible to reverse a non-injective (and therefore information-losing) function, one can at least obtain a "quasi-inverse" of it, that is a [[multivalued function|multiple-valued]] function.
 
== Injections may be made invertible ==
 
In fact, to turn an injective function ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' into a [[bijective function|bijective]] (hence [[Inverse function|invertible]]) function, it suffices to replace its codomain ''Y'' by its actual range ''J'' = ''f''(''X''). That is, let ''g''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''J'' such that ''g''(''x'') = ''f''(''x'') for all ''x'' in ''X''; then ''g'' is bijective. Indeed, ''f'' can be factored as {{Nowrap| incl<sub>''J'',''Y''</sub> <small>o</small> ''g''}}, where incl<sub>''J'',''Y''</sub> is the [[inclusion function]] from ''J'' into ''Y''.
 
== Other properties ==
* If ''f'' and ''g'' are both injective, then {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} is injective.
[[Image:Injective composition2.svg|thumb|300px|The composition of two injective functions is injective.]]
* If {{Nowrap|''g'' <small>o</small> ''f''}} is injective, then ''f'' is injective (but ''g'' need not be).
* ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' is injective if and only if, given any functions ''g'', ''h''&nbsp;:&nbsp;''W''&nbsp;→&nbsp;''X'', whenever {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} = {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''h''}}, then ''g''&nbsp;=&nbsp;''h''. In other words, injective functions are precisely the [[monomorphism]]s in the [[category theory|category]] '''[[Category of sets|Set]]''' of sets.
* If ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' is injective and ''A'' is a [[subset]] of ''X'', then ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(''f''(''A''))&nbsp;=&nbsp;''A''. Thus, ''A'' can be recovered from its [[image (function)|image]] ''f''(''A'').
* If ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' is injective and ''A'' and ''B'' are both subsets of ''X'', then ''f''(''A''&nbsp;∩&nbsp;''B'')&nbsp;= ''f''(''A'')&nbsp;∩&nbsp;''f''(''B'').
* Every function ''h''&nbsp;:&nbsp;''W''&nbsp;→&nbsp;''Y'' can be decomposed as ''h''&nbsp;= {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} for a suitable injection ''f'' and surjection ''g''. This decomposition is unique [[up to isomorphism]], and ''f'' may be thought of as the [[inclusion function]] of the range ''h''(''W'') of ''h'' as a subset of the codomain ''Y'' of ''h''.
* If ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' is an injective function, then ''Y'' has at least as many elements as ''X'', in the sense of [[cardinal number]]s. In particular, if, in addition, there is an injection from <math>Y</math> to <math>X</math>, then <math>X</math> and <math>Y</math> have the same cardinal number. (This is known as the [[Cantor–Bernstein–Schroeder theorem]].)
* If both ''X'' and ''Y'' are [[finite set|finite]] with the same number of elements, then ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' is injective if and only if ''f'' is [[surjective]] (in which case ''f'' is [[bijective]]).
*An injective function which is a [[homomorphism]] between two algebraic structures is an [[embedding]].
*Unlike surjectivity, which is a relation between the graph of a function and its codomain, injectivity is a property of the graph of the function alone; that is, whether a function f is injective can be decided by only considering the graph (and not the codomain) of f.
 
==Proving that functions are injective==
A proof that a function ''&fnof;'' is injective depends on how the function is presented and what properties the function holds.
For functions that are given by some formula there is a basic idea.
We use the contrapositive of the definition of injectivity, namely that if ''&fnof;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''&fnof;''(''y''), then ''x''&nbsp;=&nbsp;''y''.<ref>{{cite web|last=Williams|first=Peter|title=Proving Functions One-to-One|url=http://www.math.csusb.edu/notes/proofs/bpf/node4.html}}</ref>  
Here is an example:
: ''&fnof;''&nbsp;=&nbsp;2''x''&nbsp;+&nbsp;3
Proof: Let ''&fnof;''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y''. Suppose ''&fnof;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''&fnof;''(''y''). So 2''x''&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;2''y''&nbsp;+&nbsp;3 => 2''x''&nbsp;=&nbsp;2''y'' => ''x''&nbsp;=&nbsp;''y''. Therefore it follows from the definition that ''&fnof;'' is injective. Q.E.D.
 
There are multiple other methods of proving that a function is injective.  For example, in calculus if ''&fnof;'' is differentiable, then it is sufficient to show that the derivative is always positive or always negative.  In linear algebra, if ''&fnof;'' is a linear transformation it is sufficient to show that the kernel of ''&fnof;'' contains only the zero vector.  If ''&fnof;'' is a function with finite domain it is sufficient to look through the list of images of each domain element and check that no image occurs twice on the list.
 
== See also ==
*[[Surjective function]]
*[[Bijective function]]
*[[Injective module]]
*[[Bijection, injection and surjection]]
*[[Horizontal line test]]
*[[Injective metric space]]
 
== Notes ==
<references/>
 
== References ==
* {{Citation | last1=Bartle | first1=Robert G. | title=The Elements of Real Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-05464-1 | year=1976}}, p.&nbsp;17 ''ff''.
* {{Citation | last1=Halmos | first1=Paul R. | author1-link=Paul R. Halmos | title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]] | isbn=978-0-387-90092-6 | year=1974 | publisher=Springer | location=New York}}, p.&nbsp;38 ''ff''.
 
==External links==
{{Wiktionary|injective}}
*[http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]
*[http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/v/surjective--onto--and-injective--one-to-one--functions Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions]
 
[[Category:Functions and mappings]]
[[Category:Basic concepts in set theory]]
[[Category:Types of functions]]

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