HD 181433: Difference between revisions

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In 1973 Kolmogorov proposed a non-probabilistic approach to statistics and model selection. Let each data be a finite binary string and models be finite sets of binary strings. Consider model classes consisting of models of given maximal [[Kolmogorov complexity]].
<br><br>Toutefois pour mettre toutes les chances de son c té il faut suivre au quotidien les graphiques et autres analyses. Découvrez les applications Sud Ouest Depuis votre mobile ou tablette ne manquez rien de l'actualité de la région. L'arrivée de Otto Gl ria introduit le professionnalisme dans l'ensemble de la structure des Encarnados. Or la date de premier emploi ne peut jamais être ultérieure la date de production de la demande. Ce post n'engage que moi et moi seul chacun ça propre opinion mais bizarrement chaque fois que je vois quelqu'un utilisé un trading platform effet de levier fort important il ne dure jamais longtemps sur le marché. Achète les distributeurs que ton conjoint ou tes amis recommandent. Mon téléphone mon nom mon n de compte bancaire et pourquoi ma carte orange. Ils reçoivent des commentaires élogieux sur eBay. Entre le 1 septembre 1988 et le 1 septembre 2le CAC 40 progresse de 518% avec 1414 séances de hausse 52% contre 1277 séances de baisse 48%. 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Base de données Chemical Abstracts interrogée via SciFinder Web le 15 décembre 2009 résultats de la recherche. Comment C'est facile suivez ces liens pour tout savoir Stratégies conseils ressources metatrader et avis sur les brokers.
The '''Kolmogorov structure function''' of an individual data string expresses the relation between the complexity level constraint on a model class and the least log-cardinality of a model in the class containing the data. The structure function determines all [[stochastic]] properties of the individual data string: for every constrained model class it determines the individual best-fitting model in the class irrespective of whether the true model is in the model class considered or not. In the classical case we talk about a set of data with a probability distribution, and the properties are those of the expectations. In contrast, here we deal with individual data strings and the properties of the individual string focussed on. In this setting, a property holds with certainty rather than with high probability as  in the classical case. The Kolmogorov structure function precisely quantify the goodness-of-fit of an individual model with respect to individual data.
 
The Kolmogorov structure function is used in the [[algorithmic information theory]], also known as the theory of [[Kolmogorov complexity]], for describing the structure of a [[String (computer science)|string]] by use of [[Mathematical model|model]]s of increasing complexity.
 
== Kolmogorov's definition==
[[Image:Kolm complexity lect.jpg|thumb|Kolmogorov (left) talks on the structure function (see drawing on the blackboard) in  ([[Tallinn]], 1973).]]
The structure function was originally proposed by [[Kolmogorov]] in 1973 at a Soviet Information Theory symposium in Tallinn, but these results were not published <ref name="CT91"/> p.&nbsp;182. But the results were announced in <ref>[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=rm&wshow=issue&year=1974&volume=29&volume_alt=&issue=4&issue_alt=178&option_lang=eng Abstract of a talk for the Moscow Mathematical Society in Uspekhi Mat. Nauk Volume 29, Issue 4(178) in the Communications of the Moscow Mathematical Society page 155 (in the Russian edition, not translated into English)]</ref> in 1974, the only written record by Kolmogorov himself. One of his last scientific statements is (translated from the original Russian by L.A. Levin):
 
<blockquote>"To each constructive object corresponds a function <math>\Phi_x(k)</math> of a
natural number k---the log of minimal cardinality of x-containing
sets that allow definitions of complexity at most k.
If the element x itself allows a simple definition,
then the function <math>\Phi</math> drops to 0 even for small k.
Lacking such definition, the element is "random" in a negative sense.
But it is positively "probabilistically random" only when function
<math>\Phi</math> having taken the value <math>\Phi_0</math> at a relatively small
<math> k=k_0</math>, then changes approximately as <math>\Phi(k)=\Phi_0-(k-k_0)</math>.
[Kolmogorov, in the announcement cited above]</blockquote>
 
==Contemporary definition==
It is discussed in.<ref name="CT91">{{cite book|last=Cover|first=Thomas M.|title=Elements of information theory|year=1991|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471062592|coauthors=Thomas, Joy A.|pages=175–178}}</ref> It is extensively studied in <ref name="VV04">{{cite journal|last=Vereshchagin|first=N.K.|coauthors=Vitanyi, P.M.B.|title=Kolmogorov's Structure Functions and Model Selection|journal=IEEE Transactions on Information Theory|date=1 December 2004|volume=50|issue=12|pages=3265–3290|doi=10.1109/TIT.2004.838346}}</ref> where also the main properties are resolved.
The Kolmogorov structure function  can be written as
: <math>h_{x}(\alpha) = \min_S \{\log |S| : x \in S , K(S) \leq \alpha \} </math>
where x is a binary string of length n with <math> x \in S </math> where S  is a contemplated model (set of n-length strings) for x, <math>K(S)</math> is the [[Kolmogorov complexity]] of S and <math> \alpha  </math>  is a nonnegative integer value bounding the complexity of the contemplated S's. Clearly, this function is nonincreasing and reaches <math> \log |\{x\}| =0 </math> for <math> \alpha = K(x)+c</math> where c is the required number of bits to change x into <math>\{x\}</math> and <math> K(x)</math> is the [[Kolmogorov complexity]] of x.
 
===The algorithmic sufficient statistic===
We define a set S containing x such that
:<math>K(S)+K(x|S)=K(x)+O(1)</math>.
The function <math>h_x(\alpha)</math> never decreases more than a fixed independent constant below the diagonal called sufficiency line L defined by
:<math>L(\alpha)+\alpha = K(x)</math>.
It is approached to within a constant distance by the graph of <math>h_x</math> for certain arguments (for instance, for <math>\alpha = K(x)+c</math>).  For these <math>\alpha</math>'s we have <math>\alpha + h_x (\alpha) = K(x)+O(1)</math> and the associated model S (witness for <math>h_x(\alpha)</math>) is called an optimal set for $x$, and its description of <math>K(S)\leq \alpha</math> bits is therefore an [[algorithmic sufficient statistic]]. We write `algorithmic' for `Kolmogorov complexity' by convention.   The main properties of an algorithmic [[sufficient statistic]] are the following: If S is an algorithmic sufficient statistic for x, then
:<math>K(S)+\log |S| = K(x)+O(1)</math>.
That is, the two-part description of x using the model S and as data-to-model code the index of x in the enumeration of S in <math>\log |S|</math> bits, is as concise as the shortest one-part code of x in <math>K(x)</math> bits. This can be easily seen as follows:
:<math>K(x) \leq K(x,S) +O(1) \leq K(S)+K(x|S)+O(1) \leq K(S)+\log|S|+O(1) \leq K(x)+O(1)</math>,
[[File:Estimator.jpg|right|alt=Structure functions|Structure functions <math>h_x(\alpha), \beta_x(\alpha), \lambda_x(\alpha)</math> and minimal sufficient statistic.]] using straightforward inequalities and the sufficiency property, we find that <math>K(x|S)=\log |S| +O(1)</math>. (For example, given <math>S \ni x</math>, we can describe x self-delimitingly (you can determine its end) in <math>\log |S|+O(1)</math> bits.) Therefore, the [[randomness deficiency]] <math> \log |S|-K(x|S) </math> of x in S is a constant, which means that x is a [[typical]] (random) element of S. However, there can be models S containing x that are not sufficient statistics. An algorithmic sufficient statistic S for x has the additional property, apart from being a model of best fit, that <math>K(x,S)=K(x)+O(1)</math> and therefore by the Kolmogorov complexity [[symmetry of information]] (the information about x in S is about the same as the information about S in x) we have <math>K(S|x^*)=O(1)</math>: the algorithmic sufficient statistic S is a model of best fit that is almost completely determined by x. (<math>x^*</math> is a shortest program for x.) The algorithmic sufficient statistic associated with the least such <math>\alpha</math> is called the algorithmic [[minimal sufficient statistic]].  
 
With respect to the picture: The MDL structure function <math>\lambda_x(\alpha)</math> is explained below. The Goodness-of-fit structure function <math>\beta_x(\alpha)</math> is the least randomness deficiency (see above) of any model <math>S \ni x</math> for x such that <math>K(S) \leq \alpha</math>. This structure function gives the goodness-of-fit of a model S (containing x) for the string x. When it is low the model fits well, and when it is high the model doesn't fit well. If <math>\beta_x (\alpha) =0</math> for some <math>\alpha</math> then there is a typical model <math>S \ni x</math> for x such that <math>K(S) \leq \alpha</math> and x is typical (random) for S. That is, S is the best-fitting model for x. For more details see <ref name="CT91" /> and especially <ref name="VV04"/> and.<ref>{{cite journal|last=Gacs|first=P.|coauthors=Tromp, J.T.; Vitanyi, P.M.B.|title=Algorithmic statistics|journal=IEEE Transactions on Information Theory|year=2001|volume=47|issue=6|pages=2443–2463|doi=10.1109/18.945257}}</ref>
 
===Selection of properties===
Within the  constraints that the graph goes down at an angle of at least 45 degrees, that it starts at n and ends approximately at <math>K(x)</math>, every graph (up to a <math>O(\log n)</math> additive term in argument and value) is realized by the structure function of some data x and vice versa. Where the graph hits the diagonal first the argument (complexity) is that of the minimum sufficient statistic. It is incomputable to determine this place. See.<ref name="VV04" />
 
===Main property===
It is proved that at each level <math> \alpha</math> of complexity the structure function allows us to select the best model S for the individual string x within a strip of <math>O(\log n)</math> with certainty, not with great probability.<ref name="VV04" />
 
==The MDL variant==
The [[Minimum description length]] (MDL) function: The length of the minimal two-part code for x consisting of the model cost K(S) and the
length of the index of x in S, in the model class of sets of given maximal Kolmogorov complexity <math>\alpha</math>, the complexity of S upper bounded by <math>\alpha</math>, is given by the MDL function or constrained MDL estimator:
:<math>  \lambda_{x}(\alpha) =
\min_{S} \{\Lambda(S): S \ni x,\; K(S) \leq \alpha\},
</math>
where <math>\Lambda(S)=\log|S|+K(S) \ge K(x)-O(1)</math> is the total length of two-part code of x with help of model S.
 
===Main property===
It is proved that at each level <math> \alpha</math> of complexity the structure function allows us to select the best model S for the individual string x within a strip of <math>O(\log n)</math> with certainty, not with great probability.<ref name="VV04" />
 
===Application in statistics===
The mathematics developed above were taken as the foundation of [[Minimum description length|MDL]] by its inventor [[Jorma Rissanen]].<ref>{{cite book|last=Rissanen|first=Jorma|title=Information and complexity in statistical modeling|year=2007|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0-387-36610-4|edition=Online-Ausg.|url=http://www.springer.com/computer/theoretical+computer+science/book/978-0-387-36610-4}}</ref>
 
==Probability models and the Kolmogorov structure function==
For every computable probability distribution P it can be proved <ref>[http://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0,5&q=Shen+1983+Soviet+Math+Doklady A.Kh. Shen, The concept of (&alpha;, &beta;)-stochasticity in the Kolmogorov sense, and its properties,  Soviet Math. Dokl., 28:1(1983), 295--299]</ref> that <math> -\log P(x) = \log |S|+O(\log n)</math>. For example, if P is the uniform distribution on the set S of strings of length n, then  each <math>x \in S</math>  has probability <math>P(x)=1/|S|</math>. In the general case of computable probability mass functions we incur a logarithmic  additive error term. Kolmogorov's structure function becomes
: <math>h'_{x}(\alpha) = \min_P \{-\log P(x) : P(x)>0, K(P) \leq \alpha \} </math>
where x is a  binary string of length n with <math> -\log P(x)>0 </math> where P  is a contemplated model (computable probability of n-length strings) for x, <math>K(P)</math> is the [[Kolmogorov complexity]] of P and <math> \alpha  </math>  is an integer value bounding the complexity of the contemplated P's. Clearly, this function is nonincreasing and reaches <math> \log |\{x\}| =0 </math> for <math> \alpha = K(x)+c</math> where c is the required number of bits to change x into <math>\{x\}</math> and <math> K(x)</math> is the [[Kolmogorov complexity]] of x. Then <math>h'_{x}(\alpha)=h_{x}(\alpha)+O(\log n)</math>. For every complexity level <math>\alpha</math> the function <math>h'_{x}(\alpha)</math>  is the Kolmogorov complexity version of the [[maximum likelihood]] (ML).
 
===Main property===
It is proved that at each level <math> \alpha</math> of complexity the structure function allows us to select the best model S for the individual string x within a strip of <math>O(\log n)</math> with certainty, not with great probability.<ref name="VV04" />
 
==The MDL variant and probability models==
The MDL function: The length of the minimal two-part code for x consisting of the model cost K(P) and the
length of <math> - \log P(x)</math>, in the model class of computable probability mass functions of given maximal Kolmogorov complexity <math>\alpha</math>, the complexity of P upper bounded by <math>\alpha</math>, is given by the  MDL function or constrained MDL estimator:
:<math>  \lambda'_{x}(\alpha) =
\min_{P} \{\Lambda(P): P(x)> 0,\; K(P) \leq \alpha\},
</math>
where <math>\Lambda(P)=-\log P(x)+K(P) \geq K(x)-O(1)</math> is the total length of two-part code of x with help of model P.
 
===Main property===
It is proved that at each level <math> \alpha</math> of complexity the MDL function allows us to select the best model P for the individual string x within a strip of <math>O(\log n)</math> with certainty, not with great probability.<ref name="VV04"/>
 
==Extension to rate distortion and denoising==
It turns out that the approach can be extended to a theory of [[rate distortion]] of individual finite sequences
and [[denoising]] of individual finite sequences <ref>{{cite journal|last=Vereshchagin|first=Nikolai K.|coauthors=Vitanyi, Paul M.B.|title=Rate Distortion and Denoising of Individual Data Using Kolmogorov Complexity|journal=IEEE Transactions on Information Theory|date=1 July 2010|volume=56|issue=7|pages=3438–3454|doi=10.1109/TIT.2010.2048491}}</ref> using Kolmogorov complexity. Experiments using real compressor programs have been carried out with success.<ref>{{cite journal|last=de Rooij|first=Steven|coauthors=Vitanyi, Paul|title=Approximating Rate-Distortion Graphs of Individual Data: Experiments in Lossy Compression and Denoising|journal=IEEE Transactions on Computers|date=1 March 2012|volume=61|issue=3|pages=395–407|doi=10.1109/TC.2011.25}}</ref> Here the assumption is that for natural data the Kolmogorov complexity is not far from the length of a compressed version using a good compressor.
 
==References==
{{reflist}}
 
==Other literature==
* {{cite journal|last=Cover|first=T.M.|coauthors=P. Gacs, R.M. Gray|title=Kolmogorov's contributions to Information Theory and Algorithmic Complexity|journal=Annals of Probability|year=1989|volume=17|issue=3|pages=840–865|jstor=2244387|doi=10.1214/aop/1176991250}}
* {{cite journal|last=Kolmogorov|first=A. N.|coauthors=Uspenskii, V. A.|title=Algorithms and Randomness|journal=Theory of Probability and its Applications|date=1 January 1987|volume=32|issue=3|pages=389–412|doi=10.1137/1132060|url=http://epubs.siam.org/tvp/resource/1/tprbau/v32/i3/p389_s1}}
* {{cite book|last=Li, M.|first=Vitányi, P.M.B.|title=An introduction to Kolmogorov complexity and its applications|year=2008|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0387339986|edition=3rd}}, Especially pp.&nbsp;401–431 about the Kolmogorov structure function, and pp.&nbsp;613–629 about rate distortion and denoising of individual sequences.
* {{cite journal|last=Shen|first=A.|title=Discussion on Kolmogorov Complexity and Statistical Analysis|journal=The Computer Journal|date=1 April 1999|volume=42|issue=4|pages=340–342|doi=10.1093/comjnl/42.4.340|url=http://comjnl.oxfordjournals.org/content/42/4/340.full.pdf+htm}}
*{{cite journal|last=V'yugin|first=V.V.|title=On Randomness Defect of a Finite Object Relative to Measures with Given Complexity Bounds|journal=Theory of Probability and its Applications|year=1987|volume=32|issue=3|pages=508–512|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tvp&paperid=1451&option_lang=eng|doi=10.1137/1132071}}
*{{cite journal|last=V'yugin|first=V. V.|title=Algorithmic Complexity and Stochastic Properties of Finite Binary Sequences|journal=The Computer Journal|date=1 April 1999|volume=42|issue=4|pages=294–317|doi=10.1093/comjnl/42.4.294|url=http://comjnl.oxfordjournals.org/content/42/4/294.full.pdf+html }}
 
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[[Category:Algorithmic information theory]]

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