Euler's identity: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older editNewer edit →
en>TheSeven
en>Joel B. Lewis
m Undid revision 597116462 by 144.82.161.186 (talk)
Line 1: Line 1:
{{redirect-distinguish|Recurring fraction|Repeating fraction}}
== Nike Air Force  jos kaikki tämä tieto kuuluu vääriin käsiin ==
{{thumb|width=220
|content=<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}</math>
|caption=A finite continued fraction, where {{mvar|n}} is a non-negative integer, {{mvar|a}}<sub>0</sub> is an integer, and {{mvar|a<sub>i</sub>}} is a positive integer, for {{mvar|i}}=1,…,{{mvar|n}}.
}}


In [[mathematics]], a '''continued fraction''' is an [[expression (mathematics)|expression]] obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its [[integer part]] and the [[multiplicative inverse|reciprocal]] of another number, then writing this other number as the sum of ''its'' integer part and another reciprocal, and so on.<ref>http://www.britannica.com/EBchecked/topic/135043/continued-fraction</ref> In a '''finite continued fraction''' (or '''terminated continued fraction'''), the iteration/[[recursion]] is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an '''infinite continued fraction''' is an [[infinite expression (mathematics)|infinite expression]]. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be [[positive number|positive]].  The integers {{mvar|a<sub>i</sub>}} are called the [[coefficient]]s or [[term (mathematics)|terms]] of the continued fraction.<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=150}}</ref>
Jos haluat ystäviä käsityksiä mitään häät liittyviä, se on okei sen avaaminen keskustelulle sosiaalisen median sivustoja, mutta varo saatat saada erilaisia ​​mielipiteitä. Jos sinulla on tapana olla ihmisiä miellyttäjä, tämä ei välttämättä ole paras vaihtoehto sinulle, [http://www.rajadarrylloh.com/management/includes/content.php?cid=62-Nike-Air-Force Nike Air Force] varsinkin jos voit tarjota idea todella haluat toteuttaa ja ystävät sanovat, että he eivät välitä siitä.<br><br>16 Gt Pen Drive on erittäin hyvä vaihtoehto tallentaa raskaan tietojen ja parhaiden kynä ajaa kohtuuhintaan mukaan kuluttajien tarpeita. Se auttaa myös paljon viettää tärkeää aikaa toimintaan ja saatavuuteen halpaa aitaus ajaa markkinoilla. Siksi ostaa halpa ja paras aitaus ajaa on suuri mahdollisuus tulla halpa ja paras käyttäjiä tallentamaan erilaisia ​​tietokantoja. Se voi olla mahdollista verkossa vain tarjoamalla laadukkaampia tuotteita kohtuulliseen hintaan mukaan kuluttajien tarpeita.<br><br>'Jotkut vaikea sovittaa [http://www.penangswimclub.com/installation_/installer/database.php?id=56-Michael-Kors-Tote-Bag Michael Kors Tote Bag] yhteen sadismi käsitteen kanssa psyykkisen toimintakyvyn, mutta tulokset osoittavat, että sadistinen taipumuksia joukossa muuten tasapainoisiksi ihmiset on tunnustettava,' tutkimuksessa tutkija Erin buckels, University of British Columbia, sanoi lehdistötiedotteessa . 'Nämä ihmiset Aren välttämättä sarjamurhaajia tai sukupuoliseen deviants mutta he saavat jonkin verran emotionaalista hyötyä aiheuttaa tai yksinkertaisesti tarkkailemalla muiden kärsimystä.'<br><br>'Sen avulla voit saada enemmän irti [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=73-Nike-Free-Run-3-Women Nike Free Run 3 Women] samasta pääomasta tai saman pois vähemmän pääomaa, vähemmän, vähemmän työvoimaa', sanoi Sundararajan, joka opettaa ja on ensimmäisten joukossa aloittaa opiskelun ns jakaminen talouteen. talouskasvu on pysähtynyt. vuosittain 0,7 prosentin kasvun tahdissa 2005 2011, verrattuna keskimäärin vuodesta 1985 on 1 prosenttia, mukaan Taloudellisen yhteistyön ja kehityksen tiedot.<br><br>Lyhyemmät todennäköisesti ei kata kaikkea ja enää taipumus menettää joitakin ihmisiä. Tämän vuoksi minä siirryn osaan kolme (testaus artikkeli) pitää asiat concise.Admittedly Minulla ei ole ton sanottavaa tästä aiheesta. Saada ihmiset todiste lukea artikkeli. Ihannetapauksessa löydät ihmisiä ja sen ulkopuolella teollisuuden todiste artikkelin varmista, että se järkevää asiantuntijoita sekä laymen.Also, katsella noutomaksu teidän eri artikkeleita etsimällä se lähettämisen jälkeen. <br><br>Mitä tapahtuu, jos kaikki tämä tieto kuuluu vääriin käsiin? Disaster. Mutta miten tämä voisi tapahtua? Tiedot tietokoneen ja et koskaan lähetä henkilökohtaisia ​​tietoja Internetin välityksellä. Tumma Totuus on, että on olemassa lukemattomia tapoja ihmisten ilkeä aikeita hyökätä yksityisyyttä. Kaikki ne on tehtävä on sijoittaa pieni ohjelma (malware, troijalainen tai virus) tietokoneeseen. Haittaohjelmia kuin etsii arvokasta tietoa ja lähettää se sen luojat. Sen jälkeen he todennäköisesti käyttää tietokonetta välineenä tartuttaa muita tietokoneita, [http://www.propertytalk.com.my/penang/Image/header.asp?b=83-Silmälasit-Ray-Ban Silmälasit Ray Ban] hyökätä Internet-sivustoja voittoa ja lähettää roskapostia viestejä.
相关的主题文章：
  <ul>
 
  <li>[http://www.wester.net.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=4019&fromuid=2366 http://www.wester.net.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=4019&fromuid=2366]</li>
 
  <li>[http://www.mycircle.com.cn/forum/home.php?mod=space&uid=80109 http://www.mycircle.com.cn/forum/home.php?mod=space&uid=80109]</li>
 
  <li>[http://www.dz-tattoo.com/news/html/?36883.html http://www.dz-tattoo.com/news/html/?36883.html]</li>
 
  <li>[http://forum.fedgolub.com.ua/viewtopic.php?f=28&t=145603 http://forum.fedgolub.com.ua/viewtopic.php?f=28&t=145603]</li>
 
  <li>[http://openuptome.org/activity/p/48357/ http://openuptome.org/activity/p/48357/]</li>
 
</ul>


Continued fractions have a number of remarkable properties related to the [[Euclidean algorithm]] for integers or [[real number]]s. Every [[rational number]] {{sfrac|''p''|''q''}} has two closely related expressions as a finite continued fraction, whose coefficients {{mvar|a<sub>i</sub>}} can be determined by applying the Euclidean algorithm to {{math|(''p'', ''q'')}}. The numerical value of an infinite continued fraction will be [[irrational number|irrational]]; it is defined from its infinite sequence of integers as the [[limit (mathematics)|limit]] of a sequence of values for finite continued fractions.  Each finite continued fraction of the sequence is obtained by using a finite [[Prefix (computer science)|prefix]] of the infinite continued fraction's defining sequence of integers.  Moreover, every irrational number {{mvar|α}} is the value of a ''unique'' infinite continued fraction, whose coefficients can be found using the non-terminating version of the Euclidean algorithm applied to the [[Commensurability (mathematics)|incommensurable]] values {{mvar|α}} and 1. This way of expressing real numbers (rational and irrational) is called their ''continued fraction representation''.
== Oakley Tampere iän mukaan johtaa ja Floodtide väri ==


If arbitrary values and/or [[function (mathematics)|functions]] are used in place of one or more of the numerators or the integers in the denominators, the resulting expression is a '''[[generalized continued fraction]]'''. When it is necessary to distinguish the first form from generalized continued fractions, the former may be called a '''simple''' or '''regular continued fraction''', or said to be in '''canonical form'''.
Koska Yhdysvallat otti kollektiivinen lupauksen lopettaa yhä tapauksia ase väkivaltaa, yli 8000 miestä, naista ja lasta on kuollut aseita. Onko 6-vuotiaan Newtown, 26-vuotias LaChristopher Pettway Bridgeport tai 62-vuotias Kathy Gaarde Navy Yard, nämä ovat ihmisiä, joiden elämä on tarpeettoman ja traagisesti. Ja on olemassa tuhansia muita Jesses, LaChristophers ja Kathys. Silti, kongressi ei ole tehnyt mitään parantaa tätä kansallinen epidemia. Se on häpeällistä ja häpeällistä.<br><br>Tämän kuvan mielessä ymmärrämme johtaminen perinteisen astrologisen termejä 'palavat' ja 'alla auringon säteet' tarkoittavan suurin [http://www.ntamachining.com.my/graphic/contact.asp?y=89-Oakley-Tampere Oakley Tampere] pelko, vankeutta, impotenssi tai kuolema. Planeetta palavat oli piilotettu, voi myöskään millään tavalla vaikuttaa ja meneillään muutostilassa. Vuonna 13. vuosisadalla teksti Guido Bonatus näemme samankaltaisuutta mytologisia näkökulmasta egyptiläiset ja perinteisen tulkinnan palamisen. Hän kertoo, että planeetta palavat ei ole voimaa signification:<br><br>Suoritetaan yleensä pienemmissä teattereissa paljas tai minimaalisesti sisustettu vaiheissa 'Pioni Pavilion' on uudelleen suunniteltu sekä maksimaalisen romanttinen ja silmä häikäisevä valittaa. Pai, taiwanilainen kirjailija ja professori emeritus UC Santa Barbara, lavished huomiota rakkautta kohtauksia ja supistettu sotilaalliset ja poliittiset plotlines. Aistillisuus tehostettiin ja laajennettiin houkutteleva, iän mukaan johtaa ja Floodtide väri, rakenne ja visuaalista kontrastia. 200 plus pukuja, alkaen gaudily kullattu ja ylenpalttisesti plumed tiheään kirjailtu ja hienovaraisesti yhdenmukaistettu, luotu kerronta spektaakkeli itsenäisesti. Niin teki maalauksellista taustoja, jotka vaihtelivat vuori järvi kohtauksia ja sumuinen metsien puhdas abstraktio. Kaikki oli perusteellisesti, romanttisesti moderni, joita Kunqu standardeja.<br><br>Ensinnäkin suurin osa, WSF (22 alusta ja 20 terminaalit) toimii lähiliikenteen pohjainen palvelu, jossa suurempien alusten purjehdus [http://www.masmeyer.com.my/images/Photos/Press.asp?m=15-Timberland-Shoes-Uk Timberland Shoes Uk] yli paljon lyhyempiä matkoja. BCF (35 aluksia ja 47 terminaalit) tarjoaa eniten monimuotoisuutta mitään palvelua lauttaoperaattori maailmassa, jossa suurten alusten yhdistää Vancouver Island ja Sunshine Coast Ala Manner, pienille ja keskisuurille alusten palvelutarjonnan välillä Gulf Islands ja Vancouver saari ja iso mökki lautoilla välillä Pohjois Vancouver Island, Prince Rupert ja Haida Gwaii.<br><br>23-vuotias aikaisemmin oli sijoitettu Fort Benningissä vuonna 2006 ja, lukuun ottamatta lähellä Columbus Cottonmouths of Southern Professional Hockey League, ei muistaa paljon jääkiekkoa pelataan. Hän oli iloisesti yllättynyt, kun hän palasi vuonna 2011. 'Joten en todellakaan [http://www.ntamachining.com.my/graphic/contact.asp?y=30-Oakley-Lasit Oakley Lasit] ollut yllättynyt siellä oli paljon sotilashenkilöitä täällä jotka pelaavat jääkiekkoa. Se ei ole jotain, että olet joutunut sotilastukikohdassa. Paljon tyyppejä, jotka [http://www.tcsqp.com/guestbook/bottom.asp?Subject=16-Pjs-Takki Pjs Takki] puhut don ' t edes tiedä, mitä jääkiekko on. On noin 35 meistä on Fort Benning joukkue yksin. '
相关的主题文章：
<ul>
 
  <li>[http://www.jyj578.com/news/html/?50708.html http://www.jyj578.com/news/html/?50708.html]</li>
 
  <li>[http://jz.791.com/news/html/?201167.html http://jz.791.com/news/html/?201167.html]</li>
 
  <li>[http://www.f-alonso.com/ http://www.f-alonso.com/]</li>
 
  <li>[http://www.dailymenanews.com/node/37069 http://www.dailymenanews.com/node/37069]</li>
 
  <li>[http://www.fabzine.it/forum/nike-free-fit-teksti-painettu-ukrainan-t55145.html http://www.fabzine.it/forum/nike-free-fit-teksti-painettu-ukrainan-t55145.html]</li>
 
</ul>


The term ''continued fraction'' may also refer to representations of [[rational function]]s, arising in their [[analytic function|analytic theory]]. For this use of the term see [[Padé approximation]] and [[Chebyshev rational functions]].
== Nike Free Run 3 Women  valitse 'Kyllä ==


==Motivation and notation==
Mukaan eurooppalaisen perinteen, häät päättyy morsian heittää hänen kimpussa yli päätään kaikki naimattomat tytöt väkijoukkoon. Kuka nappaa sen tulee seuraava morsian. Seremonian jälkeen on päättynyt, nuoripari menee pois heidän uuden talon tai hotellin. Tässä vaiheessa sulhanen on otettava morsiamen syliinsä ja kantaa hänet yli raja-arvon; rituaali, joka symboloi vahvuutta heidän liittonsa. Kuitenkin joitain muunnelmia olemassa.<br><br>Aamulla aamiainen, ruokavalio kaavio ehdottaa teetä tai kahvia maidon vastaa yksi [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=73-Nike-Free-Run-3-Women Nike Free Run 3 Women] ruokalusikallinen. Vain näin paljon maitoa saanti on sallittu 24 tunnin kestoisia. Tämän lisäksi voit lisätä makeutusaineita erityisen keinotekoisia makeutusaineita, kuten sokerinen. Voit myös lisätä yrttejä, kuten stevia teetä tai kahvia. Iltapäivällä lounas ruokavalio suunnitelma ehdottaa 100 grammaa valon proteiineja. Tätä varten voit ottaa erittäin vähärasvaista naudanlihaa, broileria, siikaa, vasikanliha, katkarapuja tai hummeria. Ennen keittämistä, sinun tulee poistaa kaikki rasvaa lihaa. Myös rasvaa tulisi lisätä ja ruoanlaitto tätä. Lounas voi myös olla mikä tahansa vihannesten ja [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=23-Nike-Free-3.0-V4-M Nike Free 3.0 V4 M] hedelmien, kuten omena, osa greippi, tai muutaman mansikoita.<br><br>Toisen maailmansodan jälkeen Don sai BA UCLA. Hutton Los Angeles. Pian tämän jälkeen hän meni töihin 'Pop' Lester klo pankkiiriliikkeen Lester, Ryons Co Vuonna 1956 Pop pyysi häntä aloittamaan konttori yrityksen San Diego, jossa hän teki erittäin hyvin. Hän ja perhe asui Point Loma 8 vuotta, kadun päässä lahden, jossa he [http://www.iandlonline.com/services/miumiu/awards.asp?h=71-Canada-Goose-Takit-Halvalla Canada Goose Takit Halvalla] nauttivat purjehdus ja jäsenyys San Diego Yacht Club. <br><br>Amazon Prime Free TrialFREE Two Day Shipping on saatavilla Amazon Prime jäsentä. Liittymään, valitse 'Kyllä, haluan VAPAA kaksipäiväinen Shipping kanssa Amazon Prime' yllä Lisää ostoskoriin-painiketta ja vahvista Amazon Prime ilmainen kokeiluversio liity aikana checkout.Unlimited Vapaa kaksipäiväisen ShippingInstant streaming yli 40.000 elokuvia ja TV episodesA Kindle kirja lainata ilmaiseksi joka kuukausi ilman asianmukaisesti datesImportant: Luottokorttia ei veloiteta kun [http://www.gmmi-texchem.com/marketingshare/Ambu/aboutus.asp?id=7-Boutique-Longchamp-Helsinki Boutique Longchamp Helsinki] aloitat ilmaisen kokeiluversion tai jos perut koeaikana. Jos olet tyytyväinen Amazon Prime, älä tee mitään. Lopussa Free Trial, sinun jäsenyys automaattisesti päivittää koko vuoden 79 dollaria. 'Mitä tapahtuu, kun Jumala vastaa rukouksiin' tarkastellaan Jumalan näkökulmasta, mitä Hän odottaa tapahtumaan Hänen vastauksia, mitä tapahtuu meissä ja meidän kauttamme jälkeen hän vastauksia. Raamattu paljastaa monia erilaisia ​​vastauksia Jumalalle, kun Hän vastasi rukoukseen hyviä, jotkut huonoja, jotkut kapinallinen, jotkut iloinen. Evelyn muistuttaa, että vastaus rukoukseen ei ole itsetarkoitus, vaan Jumalan tapa avata vieressä elämäämme. Eteenpäin on Charles Colson. Kirja on 12 lukua, joten pääset kätevästi lukukauden opinto kirkossa tai kotona Raamattua.
Consider a typical [[rational number]] {{sfrac|415|93}}, which is around 4.4624.  
相关的主题文章：
<ul>
 
  <li>[http://sylhgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=123266&fromuid=51696 http://sylhgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=123266&fromuid=51696]</li>
 
  <li>[http://www.social.safealarmpr.com/index.php/blogs/99520/2769988/vuittonin-laukku-kykenem-tt-li http://www.social.safealarmpr.com/index.php/blogs/99520/2769988/vuittonin-laukku-kykenem-tt-li]</li>
 
  <li>[http://advertsbook.net/forum/read.php?52,201323 http://advertsbook.net/forum/read.php?52,201323]</li>
 
  <li>[http://www.wszqlt.com/home.php?mod=space&uid=30033&do=blog&quickforward=1&id=698810 http://www.wszqlt.com/home.php?mod=space&uid=30033&do=blog&quickforward=1&id=698810]</li>
 
  <li>[http://www.cpefound.org.php5-14.dfw1-1.websitetestlink.com/node/13#comment-81078 http://www.cpefound.org.php5-14.dfw1-1.websitetestlink.com/node/13#comment-81078]</li>
 
</ul>


As a first [[approximation]], start with 4, which is the [[Floor and ceiling functions|integer part]]; {{sfrac|415|93}}&nbsp;= 4&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|43|93}}.
== Nike Shox Shoes Coastal Bend ==


Note that the fractional part is the [[Multiplicative inverse|reciprocal]] of {{sfrac|93|43}} which is about 2.1628. Use the integer part, 2, as an approximation for the reciprocal, to get a second approximation of 4&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|2}}&nbsp;= 4.5; {{sfrac|93|43}}&nbsp;= 2&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|7|43}}.  
Tässä on vain yksi esimerkki siitä, miten sanoa ei voi poiketa sukupuolten välillä. Kaksi asiakasta, kollegat samassa toimistossa, yksi uros / yksi nainen, heittää kohtuuton pyyntö pomo jokaisen hakemuksen, että voitaisiin sanoa todella meni vastoin heidän koskemattomuutta ja [http://www.rajadarrylloh.com/management/includes/content.php?cid=28-Nike-Shox-Shoes Nike Shox Shoes] arvoja, mitkä olivat heidän vastauksensa ja tuloksista? No, miehen työpaikalla minulle, että ensimmäinen sana hänen suustaan ​​oli 'Ei, ei mahdollista, että hän osallistuu'. Toisaalta, naispuolinen työntekijä ei koskaan todella sanoi 'kyllä' tai 'ei', niin väistämättä 'kyllä' oletettiin. Tarpeetonta sanoa, hän laskeutui valitettava ja stressaava tilanne aiheuttaa paljon huolta, jos miespuolinen työntekijä oli jo laittaa sen levätä ajan puhuimme.<br><br>Coastal Bend: itäosassa piirin saanut merkittäviä sateita. Laitumet parani, mutta oli edelleen ole lähellä pre kuivuus kunnossa. Tuottajat olivat pysähdyksissä kanssa kenttätyö on riviviljelyn kunnes maaperä kuivua. [http://www.iandlonline.com/services/miumiu/awards.asp?h=55-Canada-Goose-Tallinn Canada Goose Tallinn] Talviviljelyn, kuten vehnä ja kaura, oli syntymässä jos ne oli istutettu ennen viimeisintä sateet. Pecan sato oli meneillään. Suihkut länsiosassa alueella olivat kevyt, mutta silti hyödyllinen. <br><br>Alkuperäinen leikepöydän (joissa pääsen nimitystä perintö leikepöydälle tai yksinkertaisesti leikepöydälle) on edelleen läsnä Windows 98 ja Windows 2000, mutta ohjelmoijat kannustetaan luopumaan käyttää sitä hyväksi uudempaan, joka pystyy leikepöydälle tunnetaan OLE leikepöydälle. OLE leikepöydälle on taaksepäin yhteensopiva legacy leikepöydälle, mikä tarkoittaa, että yksi hakemus voi kopioida tietoja OLE leikepöydälle ja toinen sovellus voi noutaa että tietoja perintö leikepöydälle, ja päinvastoin. Vielä tärkeämpää, OLE leikepöydän avulla ohjelmoijat tehdä muutamia asioita, että perintö leikepöydälle ei. Siirtää suuri tiedosto käyttäen perintö leikepöydälle, esimerkiksi, sinun täytyy käyttää riittävästi muisti tallentaa koko bittikartta. Siirtää sama bitmap kautta OLE leikepöydälle kuitenkin ja voit tallentaa bittikarttaan järkevämpää tallennusväline, kuten tiedoston kiintolevylle.<br><br>Aiemmin Stoke saisi palloa eteenpäin nopeasti ja aiheuttaa ongelmia [http://www.rajadarrylloh.com/management/includes/content.php?cid=11-Nike-Shox-Kengät Nike Shox Kengät] joukkueet kuten Chelsea. Ihmiset käyttää arvostella Tony Pulis pitkään pallo jalkapallo, mutta joskus se on ainoa tapa antaa joukkueen mahdollisuus. Nykyään he yrittävät pelata jalkapalloa, mikä on hyvä, mutta kun pelaat toinen jalkapalloilun puolella parempia pelaajia niin et [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=45-Nike-Free-5.0-V4 Nike Free 5.0 V4] tule voittamaan heidät. Kaikki hyvin vastaan ​​vähemmän joukkueita, mutta jos he yrittävät ulos siirtää Chelsea sitten siellä vain olemaan yksi voittaja. Näen Chelsea menossa sinne ja voittaa lauantaina.
相关的主题文章：
<ul>
 
  <li>[http://zirconcode.com/forum/viewtopic.php?f=13&t=270158 http://zirconcode.com/forum/viewtopic.php?f=13&t=270158]</li>
 
  <li>[http://erlangga.co.id/forum.html?view=topic&layout=reply&catid=3&id=24 http://erlangga.co.id/forum.html?view=topic&layout=reply&catid=3&id=24]</li>
 
  <li>[http://www.hbsdstny.com/news/html/?19918.html http://www.hbsdstny.com/news/html/?19918.html]</li>
 
  <li>[http://emr4u.net/index.php?option=com_blog&view=blog http://emr4u.net/index.php?option=com_blog&view=blog]</li>
 
  <li>[http://web.frf.cc/news/html/?124250.html http://web.frf.cc/news/html/?124250.html]</li>
 
</ul>


The fractional part of {{sfrac|93|43}} is the reciprocal of {{sfrac|43|7}} which is about 6.1429. Use 6 as an approximation for this to get 2&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|6}} as an approximation for {{sfrac|93|43}} and 4&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|2 + {{sfrac|1|6}} }}, about 4.4615, as the third approximation; {{sfrac|43|7}}&nbsp;= 6&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|7 }}.
== Louis Vuitton Outlet Uk  ja olen oppinut paljon tiedostamatt ==


Finally, the fractional part of {{sfrac|43|7}} is the reciprocal of 7, so its approximation in this scheme, 7, is exact ({{sfrac|7|1}}&nbsp;= 7&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|0|1}}) and produces the exact expression 4&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|2 + {{sfrac|1|6 + (1 / 7)}}}} for {{sfrac|415|93}}.  
Yritykset välillä $ 1000 ja 5000 dollaria Hyvä uutinen on, että on olemassa kirjaimellisesti satoja liiketoimintakonsepteja, jotka voidaan luoda 5000 dollaria tai vähemmän. Ilmoituksen mukaan edellä mainittujen online-lähde, 136 yritykset maksavat välillä $ 1000 ja $ 5000 perustamiskustannukset. Useimmat näistä käsitteistä ainoastaan ​​vaatia puhelin, kirjoituspöytä, ja muutamia muita työkaluja, kuten luettelon vakiintuneita yhteyksiä ja intohimoinen ajaa rakentaa tasaisesti putki. <br><br>Sponsored by Bentley Motors ja Stephen Silver Fine korut muun muassa näyttää odotetaan nostavan 500000 [http://www.evomediatech.com/editor6/cute_uploads/postinfo.asp?ie=47-Louis-Vuitton-Outlet-Uk Louis Vuitton Outlet Uk] dollaria kuin hyötyä ja Näkövammaisten. Syy on rakas pitkäaikainen hallituksen jäsen, joka menetti visio vuoden ikäinen [http://www.evomediatech.com/editor6/cute_uploads/postinfo.asp?ie=95-Louis-Vuitton-Suomessa Louis Vuitton Suomessa] uimari kun veli ystävä leikkisästi veti nenäänsä pistokkeet ja ne tiuskaisi takaisin hänen kasvonsa, lyödä häntä yksi silmä ja halkeamisen verkkokalvoa ja sarveiskalvon ja aiheuttaa sympaattinen sokeutta muiden, kunnes molemmat silmät lopulta parantunut.<br><br>Alue, jonka kautta he matkustivat on perinteinen koti Tuaregs, aavikon asukkaat jonka jäsenet asuvat kansat päittäin Saharan autiomaassa Mauritanian idässä, kautta Mali, Niger, Libya ja Tšad. Työryhmä katsoi, sukulaisuutta Gaddafi jotka kohottivat paimentolaisuutta Pituuskallistusliikkeellä telttansa pihoilla neljän tähden hotellia Euroopassa, ja satoja tuaregien nuorten sekä Malissa ja Nigerissä matkusti Libyaan taistella niin Gaddafi palkkasi aseet viimeisinä kuukausina konflikti.<br><br>'Olen siunattu, että en murehdi liikaa sitä, kun olin lapsi tai overthink asioita, ja olen oppinut paljon [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=8-Ugg-Australia-Helsinki Ugg Australia Helsinki] tiedostamatta, mutta nyt olen todella valmis ja innoissaan oppia niin paljon kuin voin ja tehdä niin paljon eri työtä kuin voin tehdä yhteisiä ponnisteluja ajatella itselleni, mitä haluan tehdä ja raivata tietä itselleni. '<br><br>Edit: Koska tämä [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=114-Buy-Ugg-Finland Buy Ugg Finland] viesti sai vähän huomiota, halusin vain sanoa, että lukemalla Pohjois-Korea on ollut yksi kaikkein silmien avautumista mitä olen koskaan tehnyt. Enemmän kuin, että se on sairaalloisen kiehtovaa ja kauhistuttavaa monia tapoja voit kuvitella, ja se vain pahenee syvemmälle kaivaa todellisuutta, joka on Pohjois-Korean. Jos sinulla on vapaa-aikaa, mutta menee töihin aamulla tai lounaalla, en todellakaan suosittele kokeilemaan ainakin yksi näistä kirjoista. Voitit katumaan sitä, ja se saattaa hyvinkin muuttaa tapaa hahmottaa maailmaa ja ennakkokäsityksiä hyvän ja pahan.<br><br>San Mateo Medical Centerin toimitusjohtaja, tohtori, kuvattu Toyota n menetelmä 'todella keskittynyt pieniä asioita. Se tekee miljoona pieniä muutoksia ja varmistaa kaikki tekevät näitä muutoksia ja kiinni niitä ajan myötä.' Jotta järjestelmä työ, tiimi työntekijää osoitetaan analysoida tietyllä alueella suunnattu parantamiseen. Ryhmä vie itse, mikä on tyypillisesti weeklong, kädet istunto, nimeltään kaizen, ja, ilmenee suunnitelma tehdä tiettyjä usein näennäisesti pieniä muutoksia, joiden tarkoituksena on suuri vaikutus kustannuksiin tai potilaan kokemus.
相关的主题文章：
<ul>
 
  <li>[http://www.oisex.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=558628 http://www.oisex.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=558628]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article453/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article453/]</li>
 
  <li>[http://radoslawsobik.pl/rybnik360/spip.php?article1&archives=2013-05-01/ http://radoslawsobik.pl/rybnik360/spip.php?article1&archives=2013-05-01/]</li>
 
  <li>[http://www.3y2.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=262102&fromuid=96560 http://www.3y2.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=262102&fromuid=96560]</li>
 
  <li>[http://coolcashcrew.com/activity/p/150530/ http://coolcashcrew.com/activity/p/150530/]</li>
 
</ul>


This expression is called the continued fraction representation of the number. Dropping some of the less essential parts of the expression 4&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|1|2 + {{sfrac|1|6 + (1 / 7)}}}} gives the abbreviated notation {{sfrac|415|93}}=[4;2,6,7]. Note that it is customary to replace only the ''first'' comma by a semicolon. Some older textbooks use all commas in the {{math|(''n''+1)}}-tuple, e.g. [4,2,6,7].<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=173}}</ref><ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=152}}</ref>
== Ugg Kengät Helsinki  yksinkertaisesti sanomalla 'Last One.' ==


If the starting number is rational then this process exactly parallels the [[Euclidean algorithm]]. In particular, it must terminate and produce a finite continued fraction representation of the number. If the starting number is [[Irrational number|irrational]] then the process continues indefinitely. This produces a sequence of approximations, all of which are rational numbers, and these converge to the starting number as a limit. This is the (infinite) continued fraction representation of the number. Examples of continued fraction representations of irrational numbers are:
Astartet Demon jolle on hallussaan Reiji sanoi, että sininen liekit olivat todiste Saatanan jälkeläisiä ja oli aikeissa ottaa Rin hänelle, mutta Shiro yhtäkkiä saapui ja manattiin Astaroth alkaen Reiji. Jälkeenpäin lauma Demons alkoi ilmestyä ja hyökkäsi Shiro ja Rin, johon Shiro totesi, että he eivät pysähdy minkään tuoda Rin Saatanalle. <br><br>Katsomme, että on hyvä idea. Joten tässä on muutamia poimintoja teidän newspaper.The Daily News on irronnut suuri 2013 ja olemme nouseva 2014. Näitä uusia kasvoja ja uusia ideoita tuovat tuoretta näkökulmaa ja energiaa, että olemme varmoja hyötyvät lukijat. Uuden osaamisen lisäämiseen laajentaa palkitun, hämmästyttävä henkilöstön nykyisten uutishuone [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=96-Ugg-Kengät-Helsinki Ugg Kengät Helsinki] ammattilaisten lupaa hyvää 2014.Our riimme on uuden johdon alaisuudessa ja on kukoistanut viime useita kuukausia. <br><br>Kruunu alkuunsa kasvin tulisi olla noin 2 tuumaa alle maaperän kanssa 36 tuumaa väli jokaisen root istutettu. Raparperi rivit pitäisi olla noin 3 metrin päässä toisistaan. Varmista, että tyhjennys on hyvä alueella, jossa aiot istuttaa raparperi, koska he eivät pidä märkä jalat. Ennen istutus juuret toimivat maaperän hyvin komposti lisätä raparperit tuotantoa.<br><br>Tämä voisi olla selitys ulkonäkö pussit täynnä eläinten ruumiiden alussa Mythos. Ainoa ongelma valikoiva näkyvyys, on se, että se on lähes mahdotonta havaita, joka on todella nähnyt Hoikka mies, ja joille voidaan tehdä jopa tarinoita huomiota. Vaikka tämä pidetään yleisesti totta, se ei vielä näy, eikä luultavasti se, todistettu totta. <br><br>Ihmettelen kuinka hyödyllinen standardin Lajittele päiväyksen weblog muoto on tällainen foorumi. Se tekee paljon järkevämpää [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=63-Nike-Free-Run-Stadium Nike Free Run Stadium] järjestää kysymyksiä aihealueittain ja aihe, eikä päivämäärää Kysymys esitettiin. Myönnän, että reconfiguring askme järjestämään sisältöä eri tavalla kuin MeFi tai meta vaatisi enemmän työtä Matt, ja ehkä se [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=32-Ugg-Netistä Ugg Netistä] ei ole mahdollista. Toisaalta, haluaisin nähdä askme järjesti vähän kuin Paul Fordin Ftrain. Huomaat, että Ftrain oli sivupalkin huomata viimeisimmät merkinnät, sivupalkissa navigoida hierarkia, ja alla jokainen merkintä on linkkejä navigoida [http://www.masmeyer.com.my/images/Photos/Press.asp?m=40-Timberland-Shoes-Kids Timberland Shoes Kids] sivuston ajan tai käyttöönottoa. Lisää hakukenttä ja sinulla ihanteellinen asennusohjelma askme.<br><br>Vuonna 1988, yksinäinen paneeli toimitettiin hiljaa nimiin Project Atlantassa. Toisin kuin muut paneelin joukossa kymmeniä tuhansia paneelit valmistetaan tuolloin, tämä erityinen paneeli saapui yksinkertaisesti käsinkirjoitettu muistio, jossa luki: 'Toivon, että tämä peitto löytää pysyvä paikka ja auttaa kunniaksi loppuun tämän tuhoisan sairauden.' Paneeli itsessään oli karu muotoilu, valkoisin kirjaimin mustalla taustalla, yksinkertaisesti sanomalla 'Last One.'
* {{math|1={{sqrt|19}} = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,…]}}. The pattern repeats indefinitely with a period of 6.
相关的主题文章：
* {{math|1=[[e (mathematical constant)|''e'']] = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,…]}} {{OEIS|A003417}}. The pattern repeats indefinitely with a period of 3 except that 2 is added to one of the terms in each cycle.
<ul>
* {{math|1=[[Pi|π]] = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,…]}} {{OEIS|A001203}}. The terms in this representation are apparently random.
 
  <li>[http://ln.duf.free.fr/spip.php?article39 http://ln.duf.free.fr/spip.php?article39]</li>
 
  <li>[http://support.ofz.com.cn/home.php?mod=space&uid=29149 http://support.ofz.com.cn/home.php?mod=space&uid=29149]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/]</li>
 
  <li>[http://www.pitidea.com/activity/p/38145/ http://www.pitidea.com/activity/p/38145/]</li>
 
  <li>[http://www.ash-online.com/spip.php?article3 http://www.ash-online.com/spip.php?article3]</li>
 
</ul>


Continued fractions are, in some ways, more "mathematically natural" representations of a [[real number]] than other representations such as [[decimal representation]]s, and they have several desirable properties:
== Nike Free Run 3 Women 49 9. ==
* The continued fraction representation for a rational number is finite and only rational numbers have finite representations. In contrast, the decimal representation of a rational number may be finite, for example {{sfrac|137|1600}}&nbsp;=&nbsp;0.085625, or infinite with a repeating cycle, for example {{sfrac|4|27}}&nbsp;=&nbsp;0.148148148148….
* Every rational number has an essentially unique continued fraction representation. Each rational can be represented in exactly two ways, since [{{mvar|a}}<sub>0</sub>;{{mvar|a}}<sub>1</sub>,…&nbsp;{{mvar|a}}<sub>{{mvar|n}}−1</sub>,{{mvar|a}}<sub>{{mvar|n}}</sub>] = [{{mvar|a}}<sub>0</sub>;{{mvar|a}}<sub>1</sub>,…&nbsp;{{mvar|a}}<sub>{{mvar|n}}−1</sub>,({{mvar|a}}<sub>{{mvar|n}}</sub>−1),1].  Usually the first, shorter one is chosen as the [[canonical form|canonical representation]].
* The continued fraction representation of an irrational number is unique.
* The real numbers whose continued fraction eventually repeats are precisely the [[quadratic irrational]]s.<ref>{{MathWorld|title=Periodic Continued Fraction|urlname=PeriodicContinuedFraction}}</ref> For example, the repeating continued fraction [1;1,1,1,…] is the [[golden ratio]], and the repeating continued fraction [1;2,2,2,…] is the [[square root of 2]]. In contrast, the decimal representations of quadratic irrationals are apparently random. The square roots of all (positive) integers, that are not perfect squares, are quadratic irrationals, hence are unique periodic continued fractions.
* The successive approximations generated in finding the continued fraction representation of a number, i.e. by truncating the continued fraction representation, are in a certain sense (described below) the "best possible".


== Basic formula ==
Syy ja seuraus ei ole vain tästä nykyisestä elämästä. Se menee ohi elämää. Reinkarnaatio on itse asiassa se on todellinen, ja koet entisten elää, vaikka et usko meillä on koskaan ollut mitään menneistä elämistä. Kuitenkin, jos PBS-asema oli air it aikana lupaus ajaa, heillä olisi paljon mahdollisuuksia tehdä vauhti kertoo tarinan paljon enemmän sietämätöntä. Löysin toistuvaa käyttöä tyhjä valkoinen koti hankala, koska osa vakiintunutta parjaajille Pine Ridge todettiin olevan puutetta käytettävissä asumiseen. Se on mestarillisesti luotu propagandaa. <br><br>Hän siis vaati Bill of Rights suojelemaan tiettyjä [http://www.mbc.org.my/modules/mod_login/router.php?id=73-Nike-Free-Run-3-Women Nike Free Run 3 Women] vapauksia ihmisiä, kuten vapaus ilmaista ajatuksia julkisesti, alkaen rikkomisesta hallitus. Jäsenenä valtuuskunnan edustajainhuoneen Madison ehdotti useita muutoksia perustuslakiin asettavat tietyt vapauksia ja oikeuksia ulottumattomissa hallituksen. Kongressi hyväksyi 12 näistä perustuslaillisia muutoksia ja lähetti heidät osavaltioiden hallitukset [http://www.rajadarrylloh.com/management/includes/content.php?cid=101-Nike-Shox-Uk Nike Shox Uk] ratifiointia. <br><br>Voin ymmärtää, että ihmiset, jotka nauttivat poistamalla Wikiversity sisältöä ylistävät minua häiritsevä kun työskentelen estää poistamisen Wikiversity sisältöä. Mielestäni ne, jotka yrittävät poistaa Wikiversity sisältö ovat häiritseviä niistä. On jyrkässä ristiriidassa tässä: olisi Wikiversity poistaa vilpittömässä mielessä maksuja tai ottaa aikaa parantaa niitä? 'JWS olisi voitu laillisesti estetty muokkaamalla Wikiversity' JWSchmidt 17:49 9. <br><br>Spectrum Elementary kindergartner Jonathan Watkins piti jäädä koulun jälkeen päivähoidon ohjelmaa, mutta väärinkäsityksiä ohjelman ja opettaja lähetti Jonathan kotiin bussilla. Kukaan ei odotti bussipysäkillä tai kotona poimia vähän Jonathan joka jäi omasta. Pelottaa, sekava, ja itku, Jonathan teki jotain hänen koskaan tarvinnut tehdä ennen: kävellä yli neljäsosa mailin yksin löytää tiensä kotiin.. <br><br>Kannettavia tietokoneita voidaan määritellä joko netbook tai kannettava tietokone / kannettava tietokone. Jos aikuinen opiskelija ei tarvitse tietokonetta mihinkään muuhun kuin perus tekstinkäsittely, se on luultavasti hienoa ostaa netbook tietokone, pienin sellainen kannettava tietokone käytettävissä. Netbook tietokone on riittävästi säilytystilaa, hyvä akunkesto, ja voidaan käyttää perus college tehtäviä. <br><br>Ja koska Jumalan Henki tuntee Jumalan mielen, Henki s rukous on aina sopusoinnussa tahdon FatherAdditionally, rukous on jotain uskovien pitäisi tehdä jatkuvasti (1 Tess 5:17). Luuk. 18:1, esimerkiksi meitä kehotetaan rukoilemaan [http://www.evomediatech.com/editor6/cute_uploads/postinfo.asp?ie=126-Louis-Vuitton-Laukun-Hinta Louis Vuitton Laukun Hinta] pysyvyys ja [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=76-Ugg-Tyylisiä-Kenkiä Ugg Tyylisiä Kenkiä] ei anna periksi.
A continued fraction is an expression of the form
相关的主题文章：
:<math>a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{ \ddots }}}</math>
<ul>
where a<sub>i</sub>, and b<sub>i</sub> are either rational numbers, real numbers, or complex numbers.
 
If b<sub>i</sub> = 1 for all ''i'' the expression is called a ''simple'' continued fraction.
  <li>[http://hero-hk.freebbs.com.tw/viewthread.php?tid=299191&extra= http://hero-hk.freebbs.com.tw/viewthread.php?tid=299191&extra=]</li>
If the expression contains a finite number of terms its is called a ''finite'' continued fraction.
 
If the expression contains an infinite number of terms its is called an ''infinite'' continued fraction.
  <li>[http://playmond.com/activity/p/50293/ http://playmond.com/activity/p/50293/]</li>
<ref>Darren C. Collins, Continued Fractions, MIT Undergraduate Journal of Mathematics,
 
[http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/COLLIN~1.PDF]</ref>
  <li>[http://www.realdao.cn/Library/forum.php?mod=viewthread&tid=366666 http://www.realdao.cn/Library/forum.php?mod=viewthread&tid=366666]</li>
 
  <li>[http://118.244.203.38/forum.php?mod=viewthread&tid=3545957&fromuid=454632 http://118.244.203.38/forum.php?mod=viewthread&tid=3545957&fromuid=454632]</li>
 
  <li>[http://test.zhanshinet.com/huanqiuenjia/forum.php?mod=viewthread&tid=4877 http://test.zhanshinet.com/huanqiuenjia/forum.php?mod=viewthread&tid=4877]</li>
 
</ul>


Thus, all of the following illustrate valid finite simple continued fractions:
== Oakley Silmälasit Netistä  joka ei edes näytä talo ==


{| class="wikitable"
Vesivahingot palauttaminen on yksi palvelu, joka sinun pitää käsitellä, kun talosi on tulossa altistetaan vesivahinkoja Portland. Tietenkin, et halua elää sisällä omaisuutta, joka ei edes näytä talo, eikö? Todennäköisesti looginen tapa tehdä tämä on mennä Portland katastrofi restaurointi ja nähdä todellinen miten se menee. Vaikka sinulla ei tahtonut ole mitään käsitystä siitä, kuinka Korjaaminen tehdään tämä ei tarkoita, et koskaan tee jotain kunnon talon. <br><br>Kontrasti ei olisi voinut olla enemmän karu. Kolmantena päivänä Englannissa lyönyt kylmällä sydämestä tehokkuutta jauhaa Australia lokaan, jossa 22-vuotias ihmelapsi Joe Root tietä. Vain 24 tuntia aikaisemmin [http://www.ntamachining.com.my/graphic/contact.asp?y=9-Oakley-Silmälasit-Netistä Oakley Silmälasit Netistä] toisena päivänä Australiassa heittäytyivät likaa ja istui jäännökset ennen niiden polttaminen ja valu ne tuuleen. <br><br>Nykyinen sosiaalinen maailma on [http://www.ntamachining.com.my/graphic/contact.asp?y=10-Oakley-Jawbone-Hinta Oakley Jawbone Hinta] perustettu siten, että on 'oppija' ei pidetä hip tai toivottavaa. Ajattele sanoja käytämme oppijoille: 'neophyte', 'märät korvat', 'plebe', 'aloittelija'. Tavoitteenamme aikuisina on tulla ammattitaitoista ja osaavaa menettää meidän Aloittelijan tila, jotta voimme saada sosiaali maine ja arvonanto. <br><br>Yksi johtavista kuolinsyistä [http://www.gmmi-texchem.com/marketingshare/Ambu/aboutus.asp?id=101-Longchamp-Outlet-Europe Longchamp Outlet Europe] San Diego on auto-onnettomuuksia. Joka vuosi joukko ihmisiä kuolee, koska auto-onnettomuuksia on kasvussa, kun taas miljoonia ihmisiä, jotka selviävät auto-onnettomuuksia kärsivät vakavia tai pysyviä vammoja. Jos joku teidän perhe on saanut surmansa tai loukkaantui auto-onnettomuudessa, saatat olla oikeutettu saamaan korvausta teidän tappioita ja kärsimystä. <br><br>Äitini ja askel isä eivät olleet kovin uskonnollinen, mutta teimme valo chanukkah kynttilät vuosittain ja opin heprean minun bar mitzvah ja meni Israeliin osana college-ohjelma. Sittemmin olen käynyt synagogaan vain korkean lomien ja eivät käytännössä paljon. Tulen aina itseäni juutalainen ja haluat kulkea tiettyjä perinteitä lapsilleni. <br><br>Garcia, kollegion puheenjohtaja hallituksen edunvalvojan, sanoi Martinez oli mestari institutionaalisille eheyden Rio Hondo College. 'Hän on auttanut vahvistamaan neljän vuoden college siirto prosessi takomalla uusia kumppanuuksia', Garcia sanoi. 'Hän on parantanut college asema ja maine paikallisesti, alueellisesti ja valtakunnallisesti. <br><br>Monet urheilutapahtumat lukea myös St. Patrick heille. Baseball joukkueet Yhdysvalloissa pikakäynnistys jokainen kausi tänä päivänä. Kovempi kuin [http://www.propertytalk.com.my/penang/Image/header.asp?b=22-Ray-Ban-Store Ray Ban Store] TILASTOT: Eagles saa enemmän metriä kulkee kuin mikään joukkue NFL ja sijoittui 29 yhteensä telakat, mutta luvut ovat harhaanjohtavia. Jotkut joukkueet kasataan metriä ilmaan vastaan ​​Philadelphia koska he olivat pelaamassa takaapäin. Myös Eagles viimeksi liigassa ajoissa ajasta, joten vastakkaiset rikoksia oli pallo paljon enemmän.
|+Examples of finite simple continued fractions
相关的主题文章：
!Formula
<ul>
!Numeric
 
!Remarks
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/]</li>
|-
 
|<math>\ a_0</math>
  <li>[http://www.duolaig.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6271&fromuid=4597 http://www.duolaig.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6271&fromuid=4597]</li>
|<math>\ 2</math>
 
|All integers are a [[degenerate case]]
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17544361 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17544361]</li>
|-
 
|<math>\ a_0 + \cfrac{1}{a_1}</math>
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/]</li>
|<math>\ 2 + \cfrac{1}{3}</math>
 
|Simplest possible fractional form
  <li>[http://www.xiangchoushan.com/news/html/?76473.html http://www.xiangchoushan.com/news/html/?76473.html]</li>
|-
 
|<math>\ a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2}}</math>
</ul>
|<math>\ -3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{18}}</math>
|First integer may be negative
|-
|<math>\ a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}</math>
|<math>\ \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{102}}}</math>
|First integer may be zero
|}


==Calculating continued fraction representations==
== Canada Goose Takki Hinta  jotka haluat tehdä ==
Consider a real number {{mvar|r}}.
Let {{mvar|i}} be the integer part and {{mvar|f}} the fractional part of {{mvar|r}}.
Then the continued fraction representation of {{mvar|r}} is [{{mvar|i}};{{mvar|a}}<sub>1</sub>,{{mvar|a}}<sub>2</sub>,…], where [{{mvar|a}}<sub>1</sub>;{{mvar|a}}<sub>2</sub>,…] is the continued fraction representation of 1/{{mvar|f}}.


To calculate a continued fraction representation of a number {{mvar|r}}, write down the integer part (technically the [[Floor function|floor]]) of {{mvar|r}}. Subtract this integer part from {{mvar|r}}. If the difference is 0, stop; otherwise find the [[multiplicative inverse|reciprocal]] of the difference and repeat. The procedure will halt if and only if {{mvar|r}} is rational. This process can be efficiently implemented using the [[Euclidean algorithm]] when the number is rational.
On olemassa useita päätöksiä, jotka haluat tehdä, kun aloitat ostoksia. Selvitä ensin, jos haluat ostaa uusi, tai jos haluat ostaa vintage malli. Joo, se varmasti mahdollista löytää 60 tai 70 vuotta vanha putki tyyppi amp, että kunnon pelikuntoon. Tietyt merkit käsken korkeat hinnat, kun taas muut merkit ovat suhteellisen löytöjä. Ehto vaikuttaa myös käypä hinta. Jos haluat säästää hieman rahaa ja olet hyvä juotin, voit löytää hyviä tarjouksia ei ole toiminnallinen vahvistimet, jotka tarvitsevat korjausta. Melko usein, kaikki sinun tarvitsee vain juottaa vuonna korvaavan virtajohto ja muutamia uusia kondensaattoreita, ja hyvää.<br><br>Vuonna 1914, ensimmäisen maailmansodan puhjetessa. Saat seuraavan neljän vuoden aikana taistelut riehuivat eri puolilla Eurooppaa, Lähi-idässä, Afrikassa ja Aasiassa. [1] Tammikuun 8. päivänä 1918 Yhdysvaltain presidentti Woodrow Wilson antoi lausunnon, että tuli tunnetuksi Neljätoista pistettä. Osittain tämä puhe [http://www.iandlonline.com/services/miumiu/awards.asp?h=91-Canada-Goose-Takki-Hinta Canada Goose Takki Hinta] vaati Saksan vetäytyä alueelta se oli miehitetty, luomaan Puolan valtion, redrawing Euroopan rajoista etnisin, ja muodostumista Kansainliiton. [2] [3] aikana syksyllä 1918, Keski-Powers alkoi romahtaa. [http://www.ntamachining.com.my/graphic/contact.asp?y=74-Oakley-Frogskins-Suomi Oakley Frogskins Suomi] [4] Saksan armeijan oli ratkaisevasti tappiolle Western Front, kun kotirintamalla laivasto kapinoi kehotukset kansannousut Saksassa, joka tuli tunnetuksi Saksan vallankumouksen. [5] [6] [7] Saksan hallitus yritti saada rauhansopimukseen perustuvat Neljätoista Points, ja ylläpitää se oli tällä perusteella, että he antautuivat. Neuvottelujen jälkeen Allied Powers ja Saksa allekirjoittivat aselevon, joka tuli voimaan 11. marraskuuta, kun Saksan joukot olivat vielä sijoitettu Ranskassa ja Belgiassa. [8] [9] [10]<br><br>Bekaan laakson, Libanon (CNN) Kun minusta tuli isä, löysin kattaa tarinoita pakolaisten enemmän sydämen wrenching kuin koskaan ennen. Tietenkin se on lapsille, että heti kiinnittää huomiota. Se on heidän silmät selällään kiehtoo kaikessa mitä teet. He haluavat koskettaa tuottajani Danielle hiukset ja [http://www.stellarnet.biz/Mini/images/main.asp?isbn=11-Ugg-Halvalla Ugg Halvalla] pelata vempaimia minun kameramies, Clayton. He vaihtavat ylävitosia, antaa rauhan merkki, ja urheasti [http://www.rajadarrylloh.com/management/includes/content.php?cid=49-Nike-Cortez-Red-Leather Nike Cortez Red Leather] harjoitella Englanti minua.<br><br>[31] 5. toukokuuta BROCKDORFF Rantzau ilmoitettiin, että olisi mitään neuvotteluja, kun Saksan valtuuskunta sai rauhan oloissa ne viisitoista päivää aikaa vastata. Seuraavat laatiminen sopimuksen, 7. toukokuuta Saksan ja liittoutuneiden valtuuskunnat tapasivat ja Versaillesin luovutettiin pois käännettävä ja vastaus annetaan. Tässä kokouksessa BROCKDORFF Rantzau totesi, että 'Tiedämme intensiteetti vihan, joka täyttää meidät, ja olemme kuulleet voittajien' intohimoinen kysyntää että voitettujen meidän on tehtävä maksaa, ja koska syyllisiä meidän on rangaistava '.
 
相关的主题文章：
:{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="none"
<ul>
|-
 
! colspan="7" |'''Find the continued fraction for 3.245 (= 3{{sfrac|49|200}})'''
  <li>[http://www.wxdemir.com/news/html/?716910.html http://www.wxdemir.com/news/html/?716910.html]</li>
|-
 
|'''Step'''
  <li>[http://bbs.711g.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2376807 http://bbs.711g.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2376807]</li>
|'''Real Number'''
 
|'''Integer part'''
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17550818 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17550818]</li>
|'''Fractional part'''
 
|'''Simplified'''
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17553978 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17553978]</li>
|'''Reciprocal of {{mvar|f}}'''
 
|'''Simplified'''
  <li>[http://www.713700.net/bbs/viewthread.php?tid=2428656&extra=page%3D1&frombbs=1 http://www.713700.net/bbs/viewthread.php?tid=2428656&extra=page%3D1&frombbs=1]</li>
|-
 
|1
</ul>
|{{mvar|r}} = 3{{sfrac|49|200}}
|{{mvar|i}} = 3
|{{mvar|f}} = 3{{sfrac|49|200}} − 3
|{{=}} {{sfrac|49|200}}
|1/{{mvar|f}} = {{sfrac|200|49}}
|{{=}} 4{{sfrac|4|49}}
|-
|2
|{{mvar|r}} = 4{{sfrac|4|49}}
|{{mvar|i}} = 4
|{{mvar|f}} = 4{{sfrac|4|49}} − 4
|{{=}} {{sfrac|4|49}}
|1/{{mvar|f}} = {{sfrac|49|4}}
|{{=}} 12{{sfrac|1|4}}
|-
|3
|{{mvar|r}} = 12{{sfrac|1|4}}
|{{mvar|i}} = 12
|{{mvar|f}} = 12{{sfrac|1|4}} − 12
|{{=}} {{sfrac|1|4}}
|1/{{mvar|f}} = {{sfrac|4|1}}
|{{=}} 4
|-
|4
|{{mvar|r}} = 4
|{{mvar|i}} = 4
|{{mvar|f}} = 4 − 4
|{{=}} 0
|'''STOP'''
||
|-
| colspan="7" | Continued fraction form for 3.245 or 3{{sfrac|49|200}} is [3; 4, 12, 4].
|-
| colspan="7" | <center>{{bigmath|3{{sfrac|49|200}} {{=}} 3 + {{sfrac|1|4 + {{sfrac|1|12 + 1/4}}}}}}</center>
|}
The number 3.245 can also be represented by the continued fraction expansion [3;4,12,3,1]; refer to [[Continued fraction#Finite continued fractions|Finite continued fractions]] below.
 
==Notations for continued fractions==
The integers ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub> etc., are called the ''coefficients'' or ''terms'' of the continued fraction.<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=150}}</ref> One can abbreviate the continued fraction
 
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}</math>
 
in the notation of [[Carl Friedrich Gauss]]
:<math>x = a_0 + \underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm K}} ~ \frac{1}{a_i} \;</math>
 
or as
 
:<math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;</math>,
 
or in the notation of [[Alfred Pringsheim|Pringsheim]] as
 
:<math>x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3},</math>
 
or in another related notation as
 
:<math>x = a_0 + {1 \over a_1 + {}} {1 \over a_2 + {}} {1 \over a_3 + {}}.</math>
 
Sometimes angle brackets are used, like this:
 
:<math>x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle.</math>
 
The semicolon in the square and angle bracket notations is sometimes replaced by a comma.<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=152}}</ref><ref>{{harvtxt|Long|1972|p=173}}</ref>
 
One may also define ''infinite simple continued fractions'' as [[limit of a sequence|limits]]:
 
:<math>[a_0; a_1, a_2, a_3, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_0; a_1, a_2, \,\ldots, a_n]. </math>
 
This limit exists for any choice of ''a''<sub>0</sub> and positive integers ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...&nbsp;.
 
==Finite continued fractions==<!-- This section is linked from [[Continued fraction]] -->
Every finite continued fraction represents a [[rational number]], and every rational number can be represented in precisely two different ways as a finite continued fraction. These two representations agree except in their final terms. In the longer representation the final term in the continued fraction is 1; the shorter  representation drops the final 1, but increases the new final term by 1. The final element in the short representation is therefore always greater than 1, if present. In symbols:
 
:{{math|[''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''n'' − 1}}, ''a''{{sub|''n''}}, 1] {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''n'' − 1}}, ''a''{{sub|''n''}} + 1]}}.
:{{math|[''a''{{sub|0}}; 1] {{=}} [''a''{{sub|0}} + 1]}}.
 
For example,
:{{math|2.25 {{=}} 2 + {{sfrac|1|4}} {{=}} [2; 4] {{=}} 2 + {{sfrac|1|3 + 1/1}} {{=}} [2; 3, 1]}}
:{{math|−4.2 {{=}} −5 + {{sfrac|4|5}} {{=}} −5 + {{sfrac|1|1 + 1/4}} {{=}} [−5; 1, 4] {{=}} −5 + {{sfrac|1|1 + {{sfrac|1|3 + 1/1}}}} {{=}} [−5; 1, 3, 1]}}.
 
==Continued fractions of reciprocals==
The continued fraction representations of a positive rational number and its [[multiplicative inverse|reciprocal]] are identical except for a shift one place left or right depending on whether the number is less than or greater than one respectively. In other words, the numbers represented by {{math|[''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''n''}}]}} and {{math|[0; ''a''{{sub|0}}, ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''n''}}]}} are reciprocals. This is because if {{mvar|a}} is an integer then if {{math|''x'' < 1}}  then {{math|''x'' {{=}} 0 + {{sfrac|1|''a'' + 1/''b''}}}} and {{math|{{sfrac|1|''x''}} {{=}} ''a'' + {{sfrac|1|''b''}}}} and if {{math|''x'' > 1}} then {{math|''x'' {{=}} ''a'' + {{sfrac|1|''b''}}}} and {{math|{{sfrac|1|''x''}} {{=}} 0 + {{sfrac|1|''a'' + 1/''b''}}}} with the last number that generates the remainder of the continued fraction being the same for both {{mvar|x}} and its reciprocal.
 
For example,
 
:{{math|2.25 {{=}} {{sfrac|9|4}} {{=}} [2; 4]}},
:{{math|{{sfrac|1|2.25}} {{=}} {{sfrac|4|9}} {{=}} [0; 2, 4]}}.
 
==Infinite continued fractions==
Every infinite continued fraction is [[irrational number|irrational]], and every irrational number can be represented in precisely one way as an infinite continued fraction.
 
An infinite continued fraction representation for an irrational number is mainly useful because its initial segments provide excellent rational approximations to the number. These rational numbers are called the ''[[convergent (continued fraction)|convergent]]s'' of the continued fraction. Even-numbered convergents are smaller than the original number, while odd-numbered ones are bigger.
 
For a continued fraction {{math|[''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;]}}, the first four convergents (numbered 0 through 3) are
 
:{{bigmath|{{sfrac|''a''{{sub|0}}|1}},  {{sfrac|''a''{{sub|1}}''a''{{sub|0}} + 1|''a''{{sub|1}}}},  {{sfrac|''a''{{sub|2}}(''a''{{sub|1}}''a''{{sub|0}} + 1) + ''a''{{sub|0}}|''a''{{sub|2}}''a''{{sub|1}} + 1}},  {{sfrac|''a''{{sub|3}}(''a''{{sub|2}}(''a''{{sub|1}}''a''{{sub|0}} + 1) + ''a''{{sub|0}}) + (''a''{{sub|1}}''a''{{sub|0}} + 1) | ''a''{{sub|3}}(''a''{{sub|2}}''a''{{sub|1}} + 1) + ''a''{{sub|1}}}}}}
 
In words, the numerator of the third convergent is formed by multiplying the numerator of the second convergent by the third quotient, and adding the  numerator of the first convergent.  The denominators are formed similarly. Therefore, each convergent can be expressed explicitly in terms of the continued fraction as the ratio of certain [[multivariate polynomial]]s called ''[[Continuant (mathematics)|continuants]]''.
 
If successive convergents are found, with numerators {{mvar|h}}{{sub|1}}, {{mvar|h}}{{sub|2}}, &hellip; and denominators {{mvar|k}}{{sub|1}}, {{mvar|k}}{{sub|2}}, &hellip; then the relevant recursive relation is:
 
:{{math|''h''{{sub|''n''}} {{=}} ''a''{{sub|''n''}}''h''{{sub|''n'' − 1}} + ''h''{{sub|''n'' − 2}}}},
:{{math|''k''{{sub|''n''}} {{=}} ''a''{{sub|''n''}}''k''{{sub|''n'' − 1}} + ''k''{{sub|''n'' − 2}}}}.
 
The successive convergents are given by the formula
 
:{{bigmath|{{sfrac|''h''{{sub|''n''}}|''k''{{sub|''n''}}}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sub|''n''}}''h''{{sub|''n'' − 1}} + ''h''{{sub|''n'' − 2}}|''a''{{sub|''n''}}''k''{{sub|''n'' − 1}} + ''k''{{sub|''n'' − 2}}}}}}
 
Thus to incorporate a new term into a rational approximation, only the two previous convergents are necessary. The initial "convergents" (required for the first two terms) are <sup>0</sup>⁄<sub>1</sub> and <sup>1</sup>⁄<sub>0</sub>. For example, here are the convergents for [0;1,5,2,2].
 
:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|- align="right"
| {{mvar|n}}                || −2|| −1|| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|- align="right"
| {{math|''a''{{sub|''n''}}}} || &nbsp; || &nbsp; || 0 || 1 || 5 || 2 || 2
|- align="right"
| {{math|''h''{{sub|''n''}}}} || 0 || 1 || 0 || 1 || 5 || 11 || 27
|- align="right"
| {{math|''k''{{sub|''n''}}}} || 1 || 0 || 1 || 1 || 6 || 13 || 32
|}
 
When using the [[Methods of computing square roots#Babylonian method|Babylonian method]] to generate successive approximations to the square root of an integer, if one starts with the lowest integer as first approximant, the rationals generated all appear in the list of convergents for the continued fraction. Specifically, the approximants will appear on the convergents list in positions 0, 1, 3, 7, 15, … , {{math|2<sup>''k''</sup>−1}}, ... For example, the continued fraction expansion for [[square root of 3|{{sqrt|3}}]] is [1;1,2,1,2,1,2,1,2,…]. Comparing the convergents with the approximants derived from the Babylonian method:
 
:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|- align="right"
| {{mvar|n}}                || −2|| −1|| '''0''' || '''1''' || 2 || '''3''' || 4 || 5 || 6 || '''7'''
|- align="right"
| {{math|''a''{{sub|''n''}}}} || &nbsp; || &nbsp; || 1 || 1 || 2 || 1 || 2 || 1 || 2 || 1
|- align="right"
| {{math|''h''{{sub|''n''}}}} || 0 || 1 || '''1''' || '''2''' || 5 || '''7''' || 19 || 26 || 71 || '''97'''
|- align="right"
| {{math|''k''{{sub|''n''}}}} || 1 || 0 || '''1''' || '''1''' || 3 || '''4''' || 11 || 15 || 41 || '''56'''
|}
 
:{{math|''x''{{sub|0}} {{=}} 1 {{=}} {{sfrac|1|1}}}}
:{{math|''x''{{sub|1}} {{=}} {{sfrac|1|2}}(1 + {{sfrac|3|1}}) {{=}} {{sfrac|2|1}} {{=}} 2}}
:{{math|''x''{{sub|2}} {{=}} {{sfrac|1|2}}(2 + {{sfrac|3|2}}) {{=}} {{sfrac|7|4}}}}
:{{math|''x''{{sub|3}} {{=}} {{sfrac|1|2}}({{sfrac|7|4}} + {{sfrac|3|7/4}}) {{=}} {{sfrac|97|56}}}}
 
==Some useful theorems==
If ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … is an infinite sequence of positive integers, define the sequences ''h<sub>n</sub>'' and ''k<sub>n</sub>'' recursively:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="10" align="none"
|-
|<math>h_{n}=a_nh_{n-1}+h_{n-2}\,</math>
|
|
|<math>h_{-1}=1\,</math>
|
|<math>h_{-2}=0\,</math>
|-
|<math>k_{n}=a_nk_{n-1}+k_{n-2}\,</math>
|
|
|<math>k_{-1}=0\,</math>
|
|<math>k_{-2}=1\,</math>
|}
 
<blockquote>'''Theorem 1.''' For any positive real number ''z''
 
:<math> \left[a_0; a_1, \,\dots, a_{n-1}, z \right]=\frac{z h_{n-1}+h_{n-2}}{z k_{n-1}+k_{n-2}}.</math>
</blockquote>
 
<blockquote>'''Theorem 2.''' The convergents of [''a''<sub>0</sub>; ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …] are given by
 
:<math>\left[a_0; a_1, \,\dots, a_n\right]=\frac{h_n}{k_n}.</math>
</blockquote>
 
<blockquote>'''Theorem 3.''' If the ''n''th convergent to a continued fraction is ''h<sub>n</sub>''/''k<sub>n</sub>'', then
 
:<math>k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n.</math>
</blockquote>
 
'''Corollary 1:''' Each convergent is in its lowest terms (for if ''h<sub>n</sub>'' and ''k<sub>n</sub>'' had a nontrivial common divisor it would divide ''k<sub>n</sub>h''<sub>''n''−1</sub> − ''k''<sub>''n''−1</sub>''h<sub>n</sub>'', which is impossible).
 
'''Corollary 2:''' The difference between successive convergents is a fraction whose numerator is unity:
 
:<math>\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} = \frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}= \frac{-(-1)^n}{k_nk_{n-1}}.</math>
 
'''Corollary 3:''' The continued fraction is equivalent to a series of alternating terms:
 
:<math>a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}.</math>
 
'''Corollary 4:''' The matrix
:<math>\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
k_n & k_{n-1}
\end{bmatrix}</math>
has [[determinant]] plus or minus one, and thus belongs to the group of 2×2 [[unimodular matrix|unimodular matrices]] SL*(2, '''Z''').
 
<blockquote>'''Theorem 4.''' Each (''s''-th) convergent is nearer to a subsequent (''n''-th) convergent than any preceding (''r''-th) convergent is.  In symbols, if the ''n''-th convergent is taken to be [''a''<sub>0</sub>;&nbsp;''a''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''a''<sub>''n''</sub>] = ''x<sub>n</sub>'', then
:<math>\left| x_r - x_n \right| > \left| x_s - x_n \right|</math>
for all ''r'' &lt; ''s'' &lt; ''n''.</blockquote>
 
'''Corollary 1:''' The even convergents (before the ''n''th) continually increase, but are always less than ''x<sub>n</sub>''.
 
'''Corollary 2:''' The odd convergents (before the ''n''th) continually decrease, but are always greater than ''x<sub>n</sub>''.
 
<blockquote>'''Theorem 5.'''
 
:<math>\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}< \left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|< \frac{1}{k_nk_{n+1}}. </math>
</blockquote>
 
'''Corollary 1:''' Any convergent is nearer to the continued fraction than any other fraction whose denominator is less than that of the convergent
 
'''Corollary 2:''' Any convergent which immediately precedes a large quotient is a near approximation to the continued fraction.
 
==Semiconvergents==<!-- This section is linked from [[Complete quotient]] -->
 
If
 
:{{bigmath|{{sfrac|''h''{{sub|''n'' − 1}}|''k''{{sub|''n'' − 1}}}}, {{sfrac|''h''{{sub|''n''}}|''k''{{sub|''n''}}}}}}
 
are successive convergents, then any fraction of the form
 
:{{bigmath|{{sfrac|''h''{{sub|''n'' − 1}} + ''ah''{{sub|''n''}}|''k''{{sub|''n'' − 1}} + ''ak''{{sub|''n''}}}}}}
 
where {{mvar|a}} is a nonnegative integer and the numerators and denominators are between the {{mvar|n}} and {{math|''n'' + 1}} terms inclusive are called ''semiconvergents'', secondary convergents, or intermediate fractions. Often the term is taken to mean that being a semiconvergent excludes the possibility of being a convergent, rather than that a convergent is a kind of semiconvergent.
 
The semiconvergents to the continued fraction expansion of a real number {{mvar|x}} include all the rational approximations which are better than any approximation with a smaller denominator. Another useful property is that consecutive semiconvergents {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} and {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} are such that {{math|1=''a'' ''d'' − ''b'' ''c'' = ±1}}.
 
==Best rational approximations==
{{See also|Diophantine approximation|Padé approximant}}
 
A ''best rational approximation'' to a real number {{mvar|x}} is a rational number {{sfrac|{{mvar|n}}|{{mvar|d}}}}, {{math|''d'' > 0}}, that is closer to {{mvar|x}} than any approximation with a smaller or equal denominator. The simple continued fraction for {{mvar|x}} generates ''all'' of the best rational approximations for {{mvar|x}} according to three rules:
 
#Truncate the continued fraction, and possibly decrement its last term.
#The decremented term cannot have less than half its original value.
#If the final term is even, half its value is admissible only if the corresponding semiconvergent is better than the previous convergent. (See below.)
 
For example, 0.84375 has continued fraction [0;1,5,2,2]. Here are all of its best rational approximations.
 
:{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|- align="center"
|  [0;1]  ||  [0;1,3]  ||  [0;1,4]  ||  [0;1,5]  ||  [0;1,5,2]  ||  [0;1,5,2,1]  ||  [0;1,5,2,2] 
|- align="center"
| 1 || {{sfrac|3|4}} || {{sfrac|4|5}} || {{sfrac|5|6}} || {{sfrac|11|13}} || {{sfrac|16|19}} || {{sfrac|27|32}}
|}
 
The strictly monotonic increase in the denominators as additional terms are included permits an algorithm to impose a limit, either on size of denominator or closeness of approximation.
 
The "half rule" mentioned above is that when {{mvar|a}}{{sub|{{mvar|k}}}} is even, the halved term {{mvar|a}}{{sub|{{mvar|k}}}}/2 is admissible if and only if {{math|{{!}}''x'' − [''a''{{sub|0}} ; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}]{{!}} > {{!}}''x'' − [''a''{{sub|0}} ; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}}/2]{{!}}}} <ref name=thill>{{citation|author=M. Thill | title=A more precise rounding algorithm for rational numbers | year=2008 | journal=Computing | volume=82 | pages=189–198 | doi=10.1007/s00607-008-0006-7}}</ref> This is equivalent<ref name=thill/> to:<ref>{{Cite book | last = Paeth | first = Alan W. | title = Graphic Gems V | url = http://books.google.com/books?id=8CGj9_ZlFKoC&pg=PA25 | place= | publisher = Academic Press | year = 1995 | location = San Diego. California| volume = | edition =  | isbn = 0-12-543455-3}}</ref>
 
:{{math|[''a''{{sub|''k''}}; ''a''{{sub|''k'' − 1}}, &hellip;, ''a''{{sub|1}}] > [''a''{{sub|k}}; ''a''{{sub|''k'' + 1}}, &hellip;]}}.
 
The convergents to {{mvar|x}} are best approximations in an even stronger sense: {{mvar|n}}/{{mvar|d}} is a convergent for {{mvar|x}} if and only if {{math|{{!}}''dx'' − ''n''{{!}}}} is the least ''relative'' error among all approximations {{mvar|m}}/{{mvar|c}} with {{math|''c'' ≤ ''d''}}; that is, we have {{math|{{!}}''dx'' − ''n''{{!}} < {{!}}''cx'' − ''m''{{!}}}} so long as {{math|''c'' < ''d''}}.  (Note also that {{math|{{!}}''d<sub>k</sub>x'' − ''n<sub>k</sub>''{{!}} → 0}} as {{math|''k'' → ∞}}.)
 
=== Best rational within an interval ===
A rational that falls within the interval {{open-open|''x'', ''y''}}, for {{math|0 < {{mvar|x}} < {{mvar|y}}}}, can be found with the continued fractions for {{mvar|x}} and {{mvar|y}}. When both {{mvar|x}} and {{mvar|y}} are irrational and
:{{math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}}, ''a''{{sub|''k'' + 1}}, &hellip;]}}
:{{math|''y'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''b''{{sub|''k''}}, ''b''{{sub|''k'' + 1}}, &hellip;]}}
where {{mvar|x}} and {{mvar|y}} have identical continued fraction expansions up through {{math|''a''<sub>''k''−1</sub>}}, a rational that falls within the interval {{open-open|''x'', ''y''}} is given by the finite continued fraction,
:{{math|''z''(''x'',''y'') {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, min(''a''{{sub|''k''}}, ''b''{{sub|''k''}}) + 1]}}
This rational will be best in that no other rational in {{open-open|''x'', ''y''}} will have a smaller numerator or a smaller denominator.
 
If {{mvar|x}} is rational, it will have ''two'' continued fraction representations that are ''finite'', {{math|''x''<sub>1</sub>}} and {{math|''x''<sub>2</sub>}}, and similarly a rational&nbsp;{{mvar|y}} will have two representations, {{math|''y''<sub>1</sub>}} and {{math|''y''<sub>2</sub>}}.  The coefficients beyond the last in any of these representations should be interpreted as {{math|+∞}}; and the best rational will be one of {{math|''z''(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}, {{math|''z''(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}}, {{math|''z''(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}, or {{math|''z''(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}}.
 
For example, the decimal representation 3.1416 could be rounded from any number in the interval {{closed-closed|3.14155, 3.14165}}.  The continued fraction representations of 3.14155 and 3.14165 are
:{{math|3.14155 {{=}} [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] {{=}} [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]}}
:{{math|3.14165 {{=}} [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] {{=}} [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]}}
and the best rational between these two is
:{{math|[3; 7, 16] {{=}} {{sfrac|355|113}} {{=}} 3.1415929....}}
Thus, in some sense, {{sfrac|355|113}} is the best rational number corresponding to the rounded decimal number 3.1416.
 
=== Interval for a convergent ===
A rational number, which can be expressed as finite continued fraction in two ways,
:{{math|''z'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}}, 1] {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}} + 1]}}
will be one of the convergents for the continued fraction expansion of a number, if and only if the number is strictly between
:{{math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}}, 2]}} and
:{{math|''y'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}} + 2]}}
Note that the numbers {{mvar|x}} and {{mvar|y}} are formed by incrementing the last coefficient in the two representations for {{mvar|z}}, and that {{math|''x'' < ''y''}} when {{mvar|k}} is even, and {{math|''x'' > ''y''}} when {{mvar|k}} is odd.
 
For example, the number {{sfrac|355|113}} has the continued fraction representations
:{{sfrac|355|113}} = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]
and thus {{sfrac|355|113}} is a convergent of any number strictly between
:{| cellpadding="2" cellspacing="0"
| align="right" | {{math|[3; 7, 15, 2]}} ||{{=}}|| {{math|{{sfrac|688|219}} ≈ 3.1415525}}
|-
| align="right" | {{math|[3; 7, 17]}} ||{{=}}|| {{math|{{sfrac|377|120}} ≈ 3.1416667}}
|}
 
==Comparison of continued fractions==
Consider {{math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;]}} and {{math|''y'' {{=}} [''b''{{sub|0}}; ''b''{{sub|1}}, &hellip;]}}. If {{mvar|k}} is the smallest index for which {{math|''a''{{sub|''k''}}}} is unequal to {{math|''b''{{sub|''k''}}}}  then {{math|''x'' < ''y''}} if {{math|(−1){{sup|''k''}}(''a''{{sub|''k''}} − ''b''{{sub|''k''}}) < 0}} and {{math|''y'' < ''x''}} otherwise.
 
If there is no such {{mvar|k}}, but one expansion is shorter than the other, say {{math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, &hellip;, ''a''{{sub|''n''}}]}} and {{math|''y'' {{=}} [''b''{{sub|0}}; ''b''{{sub|1}}, &hellip;, ''b''{{sub|''n''}}, ''b''{{sub|''n'' + 1}}, &hellip;]}} with {{math|''a''{{sub|''i''}} {{=}} ''b''{{sub|''i''}}}} for {{math|0 ≤ ''i'' ≤ ''n''}}, then {{math|''x'' < ''y''}} if {{mvar|n}} is even and {{math|''y'' < ''x''}} if {{mvar|n}} is odd.
 
==Continued fraction expansions of {{pi}}==
To calculate the convergents of [[pi|{{pi}}]] we may set {{math|''a''{{sub|0}} {{=}} ⌊{{pi}}⌋ {{=}} 3}}, define {{math|''u''{{sub|1}} {{=}} {{sfrac|1|{{pi}} − 3}} ≈ 7.0625}} and {{math|''a''{{sub|1}} {{=}} ⌊''u''{{sub|1}}⌋ {{=}} 7}}, {{math|''u''{{sub|2}} {{=}} {{sfrac|1|''u''{{sub|1}} − 7}} ≈ 15.9665}} and {{math|''a''{{sub|2}} {{=}} ⌊''u''{{sub|2}}⌋ {{=}} 15}}, {{math|''u''{{sub|3}} {{=}} {{sfrac|1|''u''{{sub|2}} − 15}} ≈ 1.003}}. Continuing like this, one can determine the infinite continued fraction of {{pi}} as
:[3;7,15,1,292,1,1,…] {{OEIS|A001203}}.
The third convergent of {{pi}} is [3;7,15,1] = {{sfrac|355|113}} = 3.14159292035..., sometimes called [[Milü]], which is fairly close to the true value of {{pi}}.
 
Let us suppose that the quotients found are, as above, [3;7,15,1].  The following is a rule by which we can write down at once the convergent fractions which result from these quotients without developing the continued fraction.
 
The first quotient, supposed divided by unity, will give the first fraction, which will be too small, namely, {{sfrac|3|1}}. Then, multiplying the numerator and denominator of this fraction by the second quotient and adding unity to the numerator, we shall have the second fraction, {{sfrac|22|7}}, which will be too large.  Multiplying in like manner the numerator and denominator of this fraction by the third quotient, and adding to the numerator the numerator of the preceding fraction, and to the denominator the denominator of the preceding fraction, we shall have the third fraction, which will be too small.  Thus, the third quotient being 15, we have for our numerator {{j|(22 × 15 {{=}} 330) + 3 {{=}} 333}}, and for our denominator, {{j|(7 × 15 {{=}} 105) + 1 {{=}} 106}}. The third convergent, therefore, is {{sfrac|333|106}}.  We proceed in the same manner for the fourth convergent.  The fourth quotient being 1, we say 333 times 1 is 333, and this plus 22, the numerator of the fraction preceding, is 355; similarly, 106 times 1 is 106, and this plus 7 is 113.
 
In this manner, by employing the four quotients [3;7,15,1], we obtain the four fractions:
 
:{{sfrac|3|1}}, {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, &hellip;.
 
These convergents are alternately smaller and larger than the true value of {{pi}}, and approach nearer and nearer to {{pi}}. The difference between a given convergent and {{pi}} is less than the reciprocal of the product of the denominators of that convergent and the next convergent.  For example, the fraction {{sfrac|22|7}} is greater than {{pi}}, but {{sfrac|22|7}} − {{pi}} is less than {{sfrac|1|7 × 106}}&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|1|742}} (in fact, {{sfrac|22|7}} − {{pi}} is just less than {{sfrac|1|790}}).
 
The demonstration of the foregoing properties is deduced from the fact that if we seek the difference between one of the convergent fractions and the next adjacent to it we shall obtain a fraction of which the numerator is always unity and the denominator the product of the two denominators.  Thus the difference between {{sfrac|22|7}} and {{sfrac|3|1}} is {{sfrac|1|7}}, in excess; between {{sfrac|333|106}} and {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|1|742}}, in deficit; between {{sfrac|355|113}} and {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|1|11978}}, in excess; and so on.  The result being, that by employing this series of differences we can express in another and very simple manner the fractions with which we are here concerned, by means of a second series of fractions of which the numerators are all unity and the denominators successively be the product of every two adjacent denominators. Instead of the fractions written above, we have thus the series:
 
:{{sfrac|3|1}} + {{sfrac|1|1 × 7}} − {{sfrac|1|7 × 106}} + {{sfrac|1|106 × 113}} − &hellip;
 
The first term, as we see, is the first fraction; the first and second together give the second fraction, {{sfrac|22|7}}; the first, the second and the third give the third fraction {{sfrac|333|106}}, and so on with the rest; the result being that the series entire is equivalent to the original value.
 
==Generalized continued fraction==
{{main|Generalized continued fraction}}
 
A generalized continued fraction is an expression of the form
 
:<math>x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}</math>
 
where the ''a''<sub>''n''</sub> (''n'' &gt; 0) are the partial numerators, the ''b''<sub>''n''</sub> are the partial denominators, and the leading term ''b''<sub>0</sub> is called the ''integer'' part of the continued fraction.
 
To illustrate the use of generalized continued fractions, consider the following example. The sequence of partial denominators of the simple continued fraction of {{pi}} does not show any obvious pattern:
 
:<math>\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots]</math>
 
or
 
:<math>\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}</math>
 
However, several generalized continued fractions for {{pi}} have a perfectly regular structure, such as:
 
:<math>
\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}
</math>
 
:<math>\displaystyle \pi=2+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\ddots}}}}=2+\cfrac{2}{1+\cfrac{1\cdot2}{1+\cfrac{2\cdot3}{1+\cfrac{3\cdot4}{1+\ddots}}}}</math>
 
:<math> \displaystyle \pi=2+\cfrac{4}{3+\cfrac{1\cdot3}{4+\cfrac{3\cdot5}{4+\cfrac{5\cdot7}{4+\ddots}}}}</math>
 
The first two of these are special cases of the [[Inverse trigonometric functions#Continued fractions for arctangent|arctangent]] function with {{pi}} = 4 arctan (1).
 
==Other continued fraction expansions==
 
===Periodic continued fractions===
{{main|Periodic continued fraction}}
The numbers with periodic continued fraction expansion are precisely the [[quadratic irrational|irrational solutions]] of [[quadratic equation]]s with rational coefficients (rational solutions have finite continued fraction expansions as previously stated). The simplest examples are the [[golden ratio]] φ = [1;1,1,1,1,1,…] and {{sqrt|2}} = [1;2,2,2,2,…]; while {{sqrt|14}} = [3;1,2,1,6,1,2,1,6…] and {{sqrt|42}} = [6;2,12,2,12,2,12…]. All irrational square roots of integers have a special form for the period; a symmetrical string, like the empty string (for {{sqrt|2}}) or 1,2,1 (for {{sqrt|14}}), followed by the double of the leading integer.
 
===A property of the golden ratio φ===
Because the continued fraction expansion for [[golden ratio|φ]] doesn't use any integers greater than 1, φ is one of the most "difficult" real numbers to approximate with rational numbers.  [[Hurwitz's theorem (number theory)|Hurwitz's theorem]]<ref>Theorem 193: {{Cite book  | last = Hardy  | first = G.H.  | last2 = Wright  | first2 = E.M.  | title = An Introduction to the Theory of Numbers  | publisher = Oxford  | year = 1979 | edition = Fifth}}</ref> states that any real number {{mvar|k}} can be approximated by infinitely many rational {{sfrac|''m''|''n''}} with
 
:<math>\left| k - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.</math>
 
While virtually all real numbers {{mvar|k}} will eventually have infinitely many convergents {{sfrac|''m''|''n''}} whose distance from {{mvar|k}} is significantly smaller than this limit, the convergents for φ (i.e., the numbers {{sfrac|5|3}}, {{sfrac|8|5}}, {{sfrac|13|8}}, {{sfrac|21|13}}, etc.) consistently "toe the boundary", keeping a distance of almost exactly <math>{\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}}</math> away from φ, thus never producing an approximation nearly as impressive as, for example, {{sfrac|355|113}} for {{pi}}. It can also be shown that every real number of the form {{sfrac|''a'' + ''b''φ|''c'' + ''d''φ}}, where {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, and {{mvar|d}} are integers such that {{math|1=''a'' ''d'' − ''b'' ''c'' = ±1}}, shares this property with the golden ratio φ; and that all other real numbers can be more closely approximated.
 
===Regular patterns in continued fractions===
While there is no discernable pattern in the simple continued fraction expansion of {{pi}}, there is one for {{math|''e''}}, the [[e (mathematical constant)|base of the natural logarithm]]:
 
:<math>e = e^1 = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \dots],</math>
 
which is a special case of this general expression for positive integer {{mvar|n}}:
 
:<math>e^{1/n} = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, \dots] \,\!.</math>
 
Another, more complex pattern appears in this continued fraction expansion for positive odd {{mvar|n}}:
 
:<math>e^{2/n} = \left[1; \frac{n-1}{2}, 6n, \frac{5n-1}{2}, 1, 1, \frac{7n-1}{2}, 18n, \frac{11n-1}{2}, 1, 1, \frac{13n-1}{2}, 30n, \frac{17n-1}{2}, 1, 1, \dots \right] \,\!,</math>
 
with a special case for {{math|1=''n'' = 1}}:
 
:<math>e^2 = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, 14, 1, 1 \dots, 3k, 12k+6, 3k+2, 1, 1 \dots] \,\!.</math>
 
Other continued fractions of this sort are
 
:<math>\tanh(1/n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \dots] \,\!</math>
 
where {{mvar|n}} is a positive integer; also, for integral {{mvar|n}}:
 
:<math>\tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, 1, 9n-2, 1, \dots]\,\!,</math>
 
with a special case for {{math|1=''n'' = 1}}:
 
:<math>\tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, \dots]\,\!.</math>
 
If {{math|''I''<sub>''n''</sub>(''x'')}} is the modified, or hyperbolic, [[Bessel function]] of the first kind, we may define a function on the rationals {{sfrac|''p''|''q''}} by
 
:<math>S(p/q) = \frac{I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)},</math>
 
which is defined for all rational numbers, with {{mvar|p}} and {{mvar|q}} in lowest terms. Then for all nonnegative rationals, we have
 
:<math>S(p/q) = [p+q; p+2q, p+3q, p+4q, \dots],</math>
 
with similar formulas for negative rationals; in particular we have
 
:<math>S(0) = S(0/1) = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots].</math>
 
Many of the formulas can be proved using [[Gauss's continued fraction]].
 
===Typical continued fractions===
Most irrational numbers do not have any periodic or regular behavior in their continued fraction expansion.  Nevertheless [[Aleksandr Khinchin|Khinchin]] proved that for [[almost all]] real numbers {{mvar|x}}, the {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} (for {{math|1=''i'' = 1, 2, 3, …}}) have an astonishing property: their [[geometric mean]] is a constant (known as [[Khinchin's constant]], {{math|''K'' ≈ 2.6854520010…}}) independent of the value of {{mvar|x}}. [[Paul Lévy (mathematician)|Paul Lévy]] showed that the {{mvar|n}}th root of the denominator of the {{mvar|n}}th convergent of the continued fraction expansion of almost all real numbers approaches an asymptotic limit, which is known as [[Lévy's constant]]. [[Lochs' theorem]] states that {{mvar|n}}th convergent of the continued fraction expansion of almost all real numbers determines the number to an average accuracy of just over {{mvar|n}} decimal places.
 
==Generalized continued fraction for square roots==
The identity
{{NumBlk|:|<math>\sqrt{x} = 1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}</math>|{{EquationRef|1}}}}
leads via recursion to the generalized continued fraction for any square root:<ref>Ben Thurston, [http://benpaulthurstonblog.blogspot.com/2012/05/estimating-square-roots.html "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root"], ''The Ben Paul Thurston Blog''</ref>
{{NumBlk|:|<math>\sqrt{x}=1+\cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2+{\ddots}}}}</math>|{{EquationRef|2}}}}'''
 
==Pell's equation==
Continued fractions play an essential role in the solution of [[Pell's equation]].  For example, for positive integers {{mvar|p}} and {{mvar|q}}, {{math|1=''p''<sup>2</sup> − 2''q''<sup>2</sup> = ±1}} [[if and only if]] {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} is a convergent of {{sqrt|2}}.
 
==Continued fractions and dynamical systems==
Continued fractions also play a role in the study of [[dynamical system]]s, where they tie together the [[Farey sequence|Farey fractions]] which are seen in the [[Mandelbrot set]] with [[Minkowski's question mark function]] and the [[modular group]] Gamma.
 
The backwards [[shift operator]] for continued fractions is the [[map (mathematics)|map]] {{math|''h''(''x'') {{=}} 1/{{mvar|x}} − ⌊1/{{mvar|x}}⌋}} called the '''Gauss map''', which lops off digits of a continued fraction expansion: {{math|''h''([0; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}, &hellip;]) {{=}} [0; ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}, &hellip;]}}.  The [[transfer operator]] of this map is called the [[Gauss–Kuzmin–Wirsing operator]]. The distribution of the digits in continued fractions is given by the zero'th [[eigenvector]] of this operator, and is called the [[Gauss–Kuzmin distribution]].
 
==Eigenvalues and eigenvectors==
The [[Lanczos algorithm]] uses a continued fraction expansion to iteratively approximate the eigenvalues and eigenvectors of a large sparse matrix.
 
==History of continued fractions==
* 300 BC  ''[[Euclid's Elements]]'' contains an algorithm for the [[greatest common divisor]] which generates a continued fraction as a by-product
* 499 The ''[[Aryabhatiya]]'' contains the solution of indeterminate equations using continued fractions
* 1579 [[Rafael Bombelli]], ''L'Algebra Opera'' – method for the extraction of square roots which is related to continued fractions
* 1613 [[Pietro Cataldi]], ''Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri'' – first notation for continued fractions
:Cataldi represented a continued fraction as {{math|''a''{{sub|0}} & {{sfrac|''n''{{sub|1}}|''d''{{sub|1}}.}} & {{sfrac|''n''{{sub|2}}|''d''{{sub|2}}.}} & {{sfrac|''n''{{sub|3}}|''d''{{sub|3}}}}}} with the dots indicating where the following fractions went.
* 1695 [[John Wallis]], ''Opera Mathematica'' – introduction of the term "continued fraction"
* 1737 [[Leonhard Euler]], ''De fractionibus continuis dissertatio'' – Provided the first then-comprehensive account of the properties of continued fractions, and included the first proof that the number [[e (mathematical constant)|e]] is irrational.<ref name=sandifer>{{cite journal | last = Sandifer | first = Ed | title = How Euler Did It: Who proved e is irrational? | journal = MAA Online |date=February 2006 | url = http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf|format=PDF}}</ref>
* 1748 Euler, ''[[List of important publications in mathematics#Introductio in analysin infinitorum|Introductio in analysin infinitorum]]''. Vol. I, Chapter 18 – proved the equivalence of a certain form of continued fraction and a generalized [[infinite series]], proved that every rational number can be written as a finite continued fraction, and proved that the continued fraction of an irrational number is infinite.<ref name=IntroductioI>{{cite web | title=E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E101.html| accessdate=2008-03-16}}</ref>
* 1761 [[Johann Lambert]] – gave the first proof of the irrationality of [[Pi|{{pi}}]] using a continued fraction for [[Trigonometric functions|tan(x)]].
* 1768 [[Joseph Louis Lagrange]] – provided the general solution to Pell's equation using continued fractions similar to Bombelli's
* 1770 Lagrange – proved that [[quadratic irrational number|quadratic irrationals]] have a periodic continued fraction expansion
* 1813  [[Carl Friedrich Gauss]], ''Werke'', Vol. 3, pp.&nbsp;134–138 – derived a very general [[Gauss's continued fraction|complex-valued continued fraction]] via a clever identity involving the [[hypergeometric function]]
* 1892 [[Henri Padé]] defined [[Padé approximant]]
* 1972  [[Bill Gosper]] – First exact algorithms for continued fraction arithmetic.
 
==See also==
*[[Stern–Brocot tree]]
*[[Methods of computing square roots#Example.2C_square_root_of_114_as_a_continued_fraction|Computing continued fractions of square roots]]
*[[Complete quotient]]
*[[Engel expansion]]
*[[Generalized continued fraction]]
*[[Mathematical constants (sorted by continued fraction representation)]]
*[[Restricted partial quotients]]
*[[Infinite series]]
*[[Infinite product]]
*[[Iterated binary operation]]
*[[Euler's continued fraction formula]]
*[[Śleszyński–Pringsheim theorem]]
*[[Infinite compositions of analytic functions]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
==References==
*{{Cite book | last = Jones | first = William B. | last2 = Thron | first2 = W. J. | title = Continued Fractions: Analytic Theory and Applications.  Encyclopedia of Mathematics and its Applications. | place= | publisher = Addison-Wesley Publishing Company | year = 1980 | location = Reading. Massachusetts | volume = 11 | edition = | isbn = 0-201-13510-8}}
*{{cite book |title = Continued Fractions | year = 1964 | last1 = Khinchin | first1 = A. Ya. | authorlink = Aleksandr Khinchin | origyear = Originally published in Russian, 1935 | publisher = [[University of Chicago Press]] | ISBN= 0-486-69630-8 }}
* {{citation | first1 = Calvin T. | last1 = Long | year = 1972 | title = Elementary Introduction to Number Theory | edition = 2nd | publisher = [[D. C. Heath and Company]] | location = Lexington | lccn = 77-171950 }}
* [[Oskar Perron]], ''Die Lehre von den Kettenbrüchen'', Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
* {{citation | first1 = Anthony J. | last1 = Pettofrezzo | first2 = Donald R. | last2 = Byrkit | year = 1970 | title = Elements of Number Theory | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Englewood Cliffs | lccn = 77-81766 }}
*{{cite book | title = Continued Fractions | last1 = Rockett | first1 = Andrew M. | last2 = Szüsz | first2 = Peter| year = 1992 | publisher = World Scientific  Press | ISBN = 981-02-1047-7 }}
*H. S. Wall, ''Analytic Theory of Continued Fractions'', D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8
*A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, ''Handbook of Continued fractions for Special functions'', Springer Verlag, 2008 ISBN 978-1-4020-6948-2
*Rieger, G. J. A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions). Abh. Braunschweig.Wiss. Ges. 33 (1982), 205–217
 
==External links==
* {{springer|title=Continued fraction|id=p/c025540}}
* [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html An Introduction to the Continued Fraction]
* Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/chap-gap/chap-gap.html Continued Fractions and Gaps] (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/ContinuedFractions.shtml Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/antikytheraI-0400/kyth3.html The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions]
* [http://web.archive.org/web/20030202011209/www.tweedledum.com/rwg/cfup.htm Continued Fraction Arithmetic] Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the [[Internet Archive]]'s [[Internet Archive#Wayback_Machine|Wayback Machine]]
* {{MathWorld |title=Continued Fraction |urlname=ContinuedFraction}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractions/ Continued Fractions] by [[Stephen Wolfram]] and [http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractionApproximationsOfTheTangentFunction/ Continued Fraction Approximations of the Tangent Function] by Michael Trott, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{OEIS2C|A133593}} Exact Continued Fraction for Pi
* [http://go.helms-net.de/math/tetdocs/FracIterAltGeom.htm A view into "fractional interpolation" of a continued fraction {1;&nbsp;1,&nbsp;1,&nbsp;1,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.}  ]
 
{{DEFAULTSORT:Continued Fraction}}
[[Category:Continued fractions|*]]
[[Category:Mathematical analysis]]
 
{{Link GA|de}}
{{Link GA|fr}}

Revision as of 22:14, 25 February 2014

Nike Air Force jos kaikki tämä tieto kuuluu vääriin käsiin

Jos haluat ystäviä käsityksiä mitään häät liittyviä, se on okei sen avaaminen keskustelulle sosiaalisen median sivustoja, mutta varo saatat saada erilaisia ​​mielipiteitä. Jos sinulla on tapana olla ihmisiä miellyttäjä, tämä ei välttämättä ole paras vaihtoehto sinulle, Nike Air Force varsinkin jos voit tarjota idea todella haluat toteuttaa ja ystävät sanovat, että he eivät välitä siitä.

16 Gt Pen Drive on erittäin hyvä vaihtoehto tallentaa raskaan tietojen ja parhaiden kynä ajaa kohtuuhintaan mukaan kuluttajien tarpeita. Se auttaa myös paljon viettää tärkeää aikaa toimintaan ja saatavuuteen halpaa aitaus ajaa markkinoilla. Siksi ostaa halpa ja paras aitaus ajaa on suuri mahdollisuus tulla halpa ja paras käyttäjiä tallentamaan erilaisia ​​tietokantoja. Se voi olla mahdollista verkossa vain tarjoamalla laadukkaampia tuotteita kohtuulliseen hintaan mukaan kuluttajien tarpeita.

'Jotkut vaikea sovittaa Michael Kors Tote Bag yhteen sadismi käsitteen kanssa psyykkisen toimintakyvyn, mutta tulokset osoittavat, että sadistinen taipumuksia joukossa muuten tasapainoisiksi ihmiset on tunnustettava,' tutkimuksessa tutkija Erin buckels, University of British Columbia, sanoi lehdistötiedotteessa . 'Nämä ihmiset Aren välttämättä sarjamurhaajia tai sukupuoliseen deviants mutta he saavat jonkin verran emotionaalista hyötyä aiheuttaa tai yksinkertaisesti tarkkailemalla muiden kärsimystä.'

'Sen avulla voit saada enemmän irti Nike Free Run 3 Women samasta pääomasta tai saman pois vähemmän pääomaa, vähemmän, vähemmän työvoimaa', sanoi Sundararajan, joka opettaa ja on ensimmäisten joukossa aloittaa opiskelun ns jakaminen talouteen. talouskasvu on pysähtynyt. vuosittain 0,7 prosentin kasvun tahdissa 2005 2011, verrattuna keskimäärin vuodesta 1985 on 1 prosenttia, mukaan Taloudellisen yhteistyön ja kehityksen tiedot.

Lyhyemmät todennäköisesti ei kata kaikkea ja enää taipumus menettää joitakin ihmisiä. Tämän vuoksi minä siirryn osaan kolme (testaus artikkeli) pitää asiat concise.Admittedly Minulla ei ole ton sanottavaa tästä aiheesta. Saada ihmiset todiste lukea artikkeli. Ihannetapauksessa löydät ihmisiä ja sen ulkopuolella teollisuuden todiste artikkelin varmista, että se järkevää asiantuntijoita sekä laymen.Also, katsella noutomaksu teidän eri artikkeleita etsimällä se lähettämisen jälkeen.

Mitä tapahtuu, jos kaikki tämä tieto kuuluu vääriin käsiin? Disaster. Mutta miten tämä voisi tapahtua? Tiedot tietokoneen ja et koskaan lähetä henkilökohtaisia ​​tietoja Internetin välityksellä. Tumma Totuus on, että on olemassa lukemattomia tapoja ihmisten ilkeä aikeita hyökätä yksityisyyttä. Kaikki ne on tehtävä on sijoittaa pieni ohjelma (malware, troijalainen tai virus) tietokoneeseen. Haittaohjelmia kuin etsii arvokasta tietoa ja lähettää se sen luojat. Sen jälkeen he todennäköisesti käyttää tietokonetta välineenä tartuttaa muita tietokoneita, Silmälasit Ray Ban hyökätä Internet-sivustoja voittoa ja lähettää roskapostia viestejä. 相关的主题文章：

Oakley Tampere iän mukaan johtaa ja Floodtide väri

Koska Yhdysvallat otti kollektiivinen lupauksen lopettaa yhä tapauksia ase väkivaltaa, yli 8000 miestä, naista ja lasta on kuollut aseita. Onko 6-vuotiaan Newtown, 26-vuotias LaChristopher Pettway Bridgeport tai 62-vuotias Kathy Gaarde Navy Yard, nämä ovat ihmisiä, joiden elämä on tarpeettoman ja traagisesti. Ja on olemassa tuhansia muita Jesses, LaChristophers ja Kathys. Silti, kongressi ei ole tehnyt mitään parantaa tätä kansallinen epidemia. Se on häpeällistä ja häpeällistä.

Tämän kuvan mielessä ymmärrämme johtaminen perinteisen astrologisen termejä 'palavat' ja 'alla auringon säteet' tarkoittavan suurin Oakley Tampere pelko, vankeutta, impotenssi tai kuolema. Planeetta palavat oli piilotettu, voi myöskään millään tavalla vaikuttaa ja meneillään muutostilassa. Vuonna 13. vuosisadalla teksti Guido Bonatus näemme samankaltaisuutta mytologisia näkökulmasta egyptiläiset ja perinteisen tulkinnan palamisen. Hän kertoo, että planeetta palavat ei ole voimaa signification:

Suoritetaan yleensä pienemmissä teattereissa paljas tai minimaalisesti sisustettu vaiheissa 'Pioni Pavilion' on uudelleen suunniteltu sekä maksimaalisen romanttinen ja silmä häikäisevä valittaa. Pai, taiwanilainen kirjailija ja professori emeritus UC Santa Barbara, lavished huomiota rakkautta kohtauksia ja supistettu sotilaalliset ja poliittiset plotlines. Aistillisuus tehostettiin ja laajennettiin houkutteleva, iän mukaan johtaa ja Floodtide väri, rakenne ja visuaalista kontrastia. 200 plus pukuja, alkaen gaudily kullattu ja ylenpalttisesti plumed tiheään kirjailtu ja hienovaraisesti yhdenmukaistettu, luotu kerronta spektaakkeli itsenäisesti. Niin teki maalauksellista taustoja, jotka vaihtelivat vuori järvi kohtauksia ja sumuinen metsien puhdas abstraktio. Kaikki oli perusteellisesti, romanttisesti moderni, joita Kunqu standardeja.

Ensinnäkin suurin osa, WSF (22 alusta ja 20 terminaalit) toimii lähiliikenteen pohjainen palvelu, jossa suurempien alusten purjehdus Timberland Shoes Uk yli paljon lyhyempiä matkoja. BCF (35 aluksia ja 47 terminaalit) tarjoaa eniten monimuotoisuutta mitään palvelua lauttaoperaattori maailmassa, jossa suurten alusten yhdistää Vancouver Island ja Sunshine Coast Ala Manner, pienille ja keskisuurille alusten palvelutarjonnan välillä Gulf Islands ja Vancouver saari ja iso mökki lautoilla välillä Pohjois Vancouver Island, Prince Rupert ja Haida Gwaii.

23-vuotias aikaisemmin oli sijoitettu Fort Benningissä vuonna 2006 ja, lukuun ottamatta lähellä Columbus Cottonmouths of Southern Professional Hockey League, ei muistaa paljon jääkiekkoa pelataan. Hän oli iloisesti yllättynyt, kun hän palasi vuonna 2011. 'Joten en todellakaan Oakley Lasit ollut yllättynyt siellä oli paljon sotilashenkilöitä täällä jotka pelaavat jääkiekkoa. Se ei ole jotain, että olet joutunut sotilastukikohdassa. Paljon tyyppejä, jotka Pjs Takki puhut don ' t edes tiedä, mitä jääkiekko on. On noin 35 meistä on Fort Benning joukkue yksin. ' 相关的主题文章：

Nike Free Run 3 Women valitse 'Kyllä

Mukaan eurooppalaisen perinteen, häät päättyy morsian heittää hänen kimpussa yli päätään kaikki naimattomat tytöt väkijoukkoon. Kuka nappaa sen tulee seuraava morsian. Seremonian jälkeen on päättynyt, nuoripari menee pois heidän uuden talon tai hotellin. Tässä vaiheessa sulhanen on otettava morsiamen syliinsä ja kantaa hänet yli raja-arvon; rituaali, joka symboloi vahvuutta heidän liittonsa. Kuitenkin joitain muunnelmia olemassa.

Aamulla aamiainen, ruokavalio kaavio ehdottaa teetä tai kahvia maidon vastaa yksi Nike Free Run 3 Women ruokalusikallinen. Vain näin paljon maitoa saanti on sallittu 24 tunnin kestoisia. Tämän lisäksi voit lisätä makeutusaineita erityisen keinotekoisia makeutusaineita, kuten sokerinen. Voit myös lisätä yrttejä, kuten stevia teetä tai kahvia. Iltapäivällä lounas ruokavalio suunnitelma ehdottaa 100 grammaa valon proteiineja. Tätä varten voit ottaa erittäin vähärasvaista naudanlihaa, broileria, siikaa, vasikanliha, katkarapuja tai hummeria. Ennen keittämistä, sinun tulee poistaa kaikki rasvaa lihaa. Myös rasvaa tulisi lisätä ja ruoanlaitto tätä. Lounas voi myös olla mikä tahansa vihannesten ja Nike Free 3.0 V4 M hedelmien, kuten omena, osa greippi, tai muutaman mansikoita.

Toisen maailmansodan jälkeen Don sai BA UCLA. Hutton Los Angeles. Pian tämän jälkeen hän meni töihin 'Pop' Lester klo pankkiiriliikkeen Lester, Ryons Co Vuonna 1956 Pop pyysi häntä aloittamaan konttori yrityksen San Diego, jossa hän teki erittäin hyvin. Hän ja perhe asui Point Loma 8 vuotta, kadun päässä lahden, jossa he Canada Goose Takit Halvalla nauttivat purjehdus ja jäsenyys San Diego Yacht Club.

Amazon Prime Free TrialFREE Two Day Shipping on saatavilla Amazon Prime jäsentä. Liittymään, valitse 'Kyllä, haluan VAPAA kaksipäiväinen Shipping kanssa Amazon Prime' yllä Lisää ostoskoriin-painiketta ja vahvista Amazon Prime ilmainen kokeiluversio liity aikana checkout.Unlimited Vapaa kaksipäiväisen ShippingInstant streaming yli 40.000 elokuvia ja TV episodesA Kindle kirja lainata ilmaiseksi joka kuukausi ilman asianmukaisesti datesImportant: Luottokorttia ei veloiteta kun Boutique Longchamp Helsinki aloitat ilmaisen kokeiluversion tai jos perut koeaikana. Jos olet tyytyväinen Amazon Prime, älä tee mitään. Lopussa Free Trial, sinun jäsenyys automaattisesti päivittää koko vuoden 79 dollaria. 'Mitä tapahtuu, kun Jumala vastaa rukouksiin' tarkastellaan Jumalan näkökulmasta, mitä Hän odottaa tapahtumaan Hänen vastauksia, mitä tapahtuu meissä ja meidän kauttamme jälkeen hän vastauksia. Raamattu paljastaa monia erilaisia ​​vastauksia Jumalalle, kun Hän vastasi rukoukseen hyviä, jotkut huonoja, jotkut kapinallinen, jotkut iloinen. Evelyn muistuttaa, että vastaus rukoukseen ei ole itsetarkoitus, vaan Jumalan tapa avata vieressä elämäämme. Eteenpäin on Charles Colson. Kirja on 12 lukua, joten pääset kätevästi lukukauden opinto kirkossa tai kotona Raamattua. 相关的主题文章：

Nike Shox Shoes Coastal Bend

Tässä on vain yksi esimerkki siitä, miten sanoa ei voi poiketa sukupuolten välillä. Kaksi asiakasta, kollegat samassa toimistossa, yksi uros / yksi nainen, heittää kohtuuton pyyntö pomo jokaisen hakemuksen, että voitaisiin sanoa todella meni vastoin heidän koskemattomuutta ja Nike Shox Shoes arvoja, mitkä olivat heidän vastauksensa ja tuloksista? No, miehen työpaikalla minulle, että ensimmäinen sana hänen suustaan ​​oli 'Ei, ei mahdollista, että hän osallistuu'. Toisaalta, naispuolinen työntekijä ei koskaan todella sanoi 'kyllä' tai 'ei', niin väistämättä 'kyllä' oletettiin. Tarpeetonta sanoa, hän laskeutui valitettava ja stressaava tilanne aiheuttaa paljon huolta, jos miespuolinen työntekijä oli jo laittaa sen levätä ajan puhuimme.

Coastal Bend: itäosassa piirin saanut merkittäviä sateita. Laitumet parani, mutta oli edelleen ole lähellä pre kuivuus kunnossa. Tuottajat olivat pysähdyksissä kanssa kenttätyö on riviviljelyn kunnes maaperä kuivua. Canada Goose Tallinn Talviviljelyn, kuten vehnä ja kaura, oli syntymässä jos ne oli istutettu ennen viimeisintä sateet. Pecan sato oli meneillään. Suihkut länsiosassa alueella olivat kevyt, mutta silti hyödyllinen.

Alkuperäinen leikepöydän (joissa pääsen nimitystä perintö leikepöydälle tai yksinkertaisesti leikepöydälle) on edelleen läsnä Windows 98 ja Windows 2000, mutta ohjelmoijat kannustetaan luopumaan käyttää sitä hyväksi uudempaan, joka pystyy leikepöydälle tunnetaan OLE leikepöydälle. OLE leikepöydälle on taaksepäin yhteensopiva legacy leikepöydälle, mikä tarkoittaa, että yksi hakemus voi kopioida tietoja OLE leikepöydälle ja toinen sovellus voi noutaa että tietoja perintö leikepöydälle, ja päinvastoin. Vielä tärkeämpää, OLE leikepöydän avulla ohjelmoijat tehdä muutamia asioita, että perintö leikepöydälle ei. Siirtää suuri tiedosto käyttäen perintö leikepöydälle, esimerkiksi, sinun täytyy käyttää riittävästi muisti tallentaa koko bittikartta. Siirtää sama bitmap kautta OLE leikepöydälle kuitenkin ja voit tallentaa bittikarttaan järkevämpää tallennusväline, kuten tiedoston kiintolevylle.

Aiemmin Stoke saisi palloa eteenpäin nopeasti ja aiheuttaa ongelmia Nike Shox Kengät joukkueet kuten Chelsea. Ihmiset käyttää arvostella Tony Pulis pitkään pallo jalkapallo, mutta joskus se on ainoa tapa antaa joukkueen mahdollisuus. Nykyään he yrittävät pelata jalkapalloa, mikä on hyvä, mutta kun pelaat toinen jalkapalloilun puolella parempia pelaajia niin et Nike Free 5.0 V4 tule voittamaan heidät. Kaikki hyvin vastaan ​​vähemmän joukkueita, mutta jos he yrittävät ulos siirtää Chelsea sitten siellä vain olemaan yksi voittaja. Näen Chelsea menossa sinne ja voittaa lauantaina. 相关的主题文章：

Louis Vuitton Outlet Uk ja olen oppinut paljon tiedostamatt

Yritykset välillä $ 1000 ja 5000 dollaria Hyvä uutinen on, että on olemassa kirjaimellisesti satoja liiketoimintakonsepteja, jotka voidaan luoda 5000 dollaria tai vähemmän. Ilmoituksen mukaan edellä mainittujen online-lähde, 136 yritykset maksavat välillä $ 1000 ja $ 5000 perustamiskustannukset. Useimmat näistä käsitteistä ainoastaan ​​vaatia puhelin, kirjoituspöytä, ja muutamia muita työkaluja, kuten luettelon vakiintuneita yhteyksiä ja intohimoinen ajaa rakentaa tasaisesti putki.

Sponsored by Bentley Motors ja Stephen Silver Fine korut muun muassa näyttää odotetaan nostavan 500000 Louis Vuitton Outlet Uk dollaria kuin hyötyä ja Näkövammaisten. Syy on rakas pitkäaikainen hallituksen jäsen, joka menetti visio vuoden ikäinen Louis Vuitton Suomessa uimari kun veli ystävä leikkisästi veti nenäänsä pistokkeet ja ne tiuskaisi takaisin hänen kasvonsa, lyödä häntä yksi silmä ja halkeamisen verkkokalvoa ja sarveiskalvon ja aiheuttaa sympaattinen sokeutta muiden, kunnes molemmat silmät lopulta parantunut.

Alue, jonka kautta he matkustivat on perinteinen koti Tuaregs, aavikon asukkaat jonka jäsenet asuvat kansat päittäin Saharan autiomaassa Mauritanian idässä, kautta Mali, Niger, Libya ja Tšad. Työryhmä katsoi, sukulaisuutta Gaddafi jotka kohottivat paimentolaisuutta Pituuskallistusliikkeellä telttansa pihoilla neljän tähden hotellia Euroopassa, ja satoja tuaregien nuorten sekä Malissa ja Nigerissä matkusti Libyaan taistella niin Gaddafi palkkasi aseet viimeisinä kuukausina konflikti.

'Olen siunattu, että en murehdi liikaa sitä, kun olin lapsi tai overthink asioita, ja olen oppinut paljon Ugg Australia Helsinki tiedostamatta, mutta nyt olen todella valmis ja innoissaan oppia niin paljon kuin voin ja tehdä niin paljon eri työtä kuin voin tehdä yhteisiä ponnisteluja ajatella itselleni, mitä haluan tehdä ja raivata tietä itselleni. '

Edit: Koska tämä Buy Ugg Finland viesti sai vähän huomiota, halusin vain sanoa, että lukemalla Pohjois-Korea on ollut yksi kaikkein silmien avautumista mitä olen koskaan tehnyt. Enemmän kuin, että se on sairaalloisen kiehtovaa ja kauhistuttavaa monia tapoja voit kuvitella, ja se vain pahenee syvemmälle kaivaa todellisuutta, joka on Pohjois-Korean. Jos sinulla on vapaa-aikaa, mutta menee töihin aamulla tai lounaalla, en todellakaan suosittele kokeilemaan ainakin yksi näistä kirjoista. Voitit katumaan sitä, ja se saattaa hyvinkin muuttaa tapaa hahmottaa maailmaa ja ennakkokäsityksiä hyvän ja pahan.

San Mateo Medical Centerin toimitusjohtaja, tohtori, kuvattu Toyota n menetelmä 'todella keskittynyt pieniä asioita. Se tekee miljoona pieniä muutoksia ja varmistaa kaikki tekevät näitä muutoksia ja kiinni niitä ajan myötä.' Jotta järjestelmä työ, tiimi työntekijää osoitetaan analysoida tietyllä alueella suunnattu parantamiseen. Ryhmä vie itse, mikä on tyypillisesti weeklong, kädet istunto, nimeltään kaizen, ja, ilmenee suunnitelma tehdä tiettyjä usein näennäisesti pieniä muutoksia, joiden tarkoituksena on suuri vaikutus kustannuksiin tai potilaan kokemus. 相关的主题文章：

Ugg Kengät Helsinki yksinkertaisesti sanomalla 'Last One.'

Astartet Demon jolle on hallussaan Reiji sanoi, että sininen liekit olivat todiste Saatanan jälkeläisiä ja oli aikeissa ottaa Rin hänelle, mutta Shiro yhtäkkiä saapui ja manattiin Astaroth alkaen Reiji. Jälkeenpäin lauma Demons alkoi ilmestyä ja hyökkäsi Shiro ja Rin, johon Shiro totesi, että he eivät pysähdy minkään tuoda Rin Saatanalle.

Katsomme, että on hyvä idea. Joten tässä on muutamia poimintoja teidän newspaper.The Daily News on irronnut suuri 2013 ja olemme nouseva 2014. Näitä uusia kasvoja ja uusia ideoita tuovat tuoretta näkökulmaa ja energiaa, että olemme varmoja hyötyvät lukijat. Uuden osaamisen lisäämiseen laajentaa palkitun, hämmästyttävä henkilöstön nykyisten uutishuone Ugg Kengät Helsinki ammattilaisten lupaa hyvää 2014.Our riimme on uuden johdon alaisuudessa ja on kukoistanut viime useita kuukausia.

Kruunu alkuunsa kasvin tulisi olla noin 2 tuumaa alle maaperän kanssa 36 tuumaa väli jokaisen root istutettu. Raparperi rivit pitäisi olla noin 3 metrin päässä toisistaan. Varmista, että tyhjennys on hyvä alueella, jossa aiot istuttaa raparperi, koska he eivät pidä märkä jalat. Ennen istutus juuret toimivat maaperän hyvin komposti lisätä raparperit tuotantoa.

Tämä voisi olla selitys ulkonäkö pussit täynnä eläinten ruumiiden alussa Mythos. Ainoa ongelma valikoiva näkyvyys, on se, että se on lähes mahdotonta havaita, joka on todella nähnyt Hoikka mies, ja joille voidaan tehdä jopa tarinoita huomiota. Vaikka tämä pidetään yleisesti totta, se ei vielä näy, eikä luultavasti se, todistettu totta.

Ihmettelen kuinka hyödyllinen standardin Lajittele päiväyksen weblog muoto on tällainen foorumi. Se tekee paljon järkevämpää Nike Free Run Stadium järjestää kysymyksiä aihealueittain ja aihe, eikä päivämäärää Kysymys esitettiin. Myönnän, että reconfiguring askme järjestämään sisältöä eri tavalla kuin MeFi tai meta vaatisi enemmän työtä Matt, ja ehkä se Ugg Netistä ei ole mahdollista. Toisaalta, haluaisin nähdä askme järjesti vähän kuin Paul Fordin Ftrain. Huomaat, että Ftrain oli sivupalkin huomata viimeisimmät merkinnät, sivupalkissa navigoida hierarkia, ja alla jokainen merkintä on linkkejä navigoida Timberland Shoes Kids sivuston ajan tai käyttöönottoa. Lisää hakukenttä ja sinulla ihanteellinen asennusohjelma askme.

Vuonna 1988, yksinäinen paneeli toimitettiin hiljaa nimiin Project Atlantassa. Toisin kuin muut paneelin joukossa kymmeniä tuhansia paneelit valmistetaan tuolloin, tämä erityinen paneeli saapui yksinkertaisesti käsinkirjoitettu muistio, jossa luki: 'Toivon, että tämä peitto löytää pysyvä paikka ja auttaa kunniaksi loppuun tämän tuhoisan sairauden.' Paneeli itsessään oli karu muotoilu, valkoisin kirjaimin mustalla taustalla, yksinkertaisesti sanomalla 'Last One.' 相关的主题文章：

Nike Free Run 3 Women 49 9.

Syy ja seuraus ei ole vain tästä nykyisestä elämästä. Se menee ohi elämää. Reinkarnaatio on itse asiassa se on todellinen, ja koet entisten elää, vaikka et usko meillä on koskaan ollut mitään menneistä elämistä. Kuitenkin, jos PBS-asema oli air it aikana lupaus ajaa, heillä olisi paljon mahdollisuuksia tehdä vauhti kertoo tarinan paljon enemmän sietämätöntä. Löysin toistuvaa käyttöä tyhjä valkoinen koti hankala, koska osa vakiintunutta parjaajille Pine Ridge todettiin olevan puutetta käytettävissä asumiseen. Se on mestarillisesti luotu propagandaa.

Hän siis vaati Bill of Rights suojelemaan tiettyjä Nike Free Run 3 Women vapauksia ihmisiä, kuten vapaus ilmaista ajatuksia julkisesti, alkaen rikkomisesta hallitus. Jäsenenä valtuuskunnan edustajainhuoneen Madison ehdotti useita muutoksia perustuslakiin asettavat tietyt vapauksia ja oikeuksia ulottumattomissa hallituksen. Kongressi hyväksyi 12 näistä perustuslaillisia muutoksia ja lähetti heidät osavaltioiden hallitukset Nike Shox Uk ratifiointia.

Voin ymmärtää, että ihmiset, jotka nauttivat poistamalla Wikiversity sisältöä ylistävät minua häiritsevä kun työskentelen estää poistamisen Wikiversity sisältöä. Mielestäni ne, jotka yrittävät poistaa Wikiversity sisältö ovat häiritseviä niistä. On jyrkässä ristiriidassa tässä: olisi Wikiversity poistaa vilpittömässä mielessä maksuja tai ottaa aikaa parantaa niitä? 'JWS olisi voitu laillisesti estetty muokkaamalla Wikiversity' JWSchmidt 17:49 9.

Spectrum Elementary kindergartner Jonathan Watkins piti jäädä koulun jälkeen päivähoidon ohjelmaa, mutta väärinkäsityksiä ohjelman ja opettaja lähetti Jonathan kotiin bussilla. Kukaan ei odotti bussipysäkillä tai kotona poimia vähän Jonathan joka jäi omasta. Pelottaa, sekava, ja itku, Jonathan teki jotain hänen koskaan tarvinnut tehdä ennen: kävellä yli neljäsosa mailin yksin löytää tiensä kotiin..

Kannettavia tietokoneita voidaan määritellä joko netbook tai kannettava tietokone / kannettava tietokone. Jos aikuinen opiskelija ei tarvitse tietokonetta mihinkään muuhun kuin perus tekstinkäsittely, se on luultavasti hienoa ostaa netbook tietokone, pienin sellainen kannettava tietokone käytettävissä. Netbook tietokone on riittävästi säilytystilaa, hyvä akunkesto, ja voidaan käyttää perus college tehtäviä.

Ja koska Jumalan Henki tuntee Jumalan mielen, Henki s rukous on aina sopusoinnussa tahdon FatherAdditionally, rukous on jotain uskovien pitäisi tehdä jatkuvasti (1 Tess 5:17). Luuk. 18:1, esimerkiksi meitä kehotetaan rukoilemaan Louis Vuitton Laukun Hinta pysyvyys ja Ugg Tyylisiä Kenkiä ei anna periksi. 相关的主题文章：

Oakley Silmälasit Netistä joka ei edes näytä talo

Vesivahingot palauttaminen on yksi palvelu, joka sinun pitää käsitellä, kun talosi on tulossa altistetaan vesivahinkoja Portland. Tietenkin, et halua elää sisällä omaisuutta, joka ei edes näytä talo, eikö? Todennäköisesti looginen tapa tehdä tämä on mennä Portland katastrofi restaurointi ja nähdä todellinen miten se menee. Vaikka sinulla ei tahtonut ole mitään käsitystä siitä, kuinka Korjaaminen tehdään tämä ei tarkoita, et koskaan tee jotain kunnon talon.

Kontrasti ei olisi voinut olla enemmän karu. Kolmantena päivänä Englannissa lyönyt kylmällä sydämestä tehokkuutta jauhaa Australia lokaan, jossa 22-vuotias ihmelapsi Joe Root tietä. Vain 24 tuntia aikaisemmin Oakley Silmälasit Netistä toisena päivänä Australiassa heittäytyivät likaa ja istui jäännökset ennen niiden polttaminen ja valu ne tuuleen.

Nykyinen sosiaalinen maailma on Oakley Jawbone Hinta perustettu siten, että on 'oppija' ei pidetä hip tai toivottavaa. Ajattele sanoja käytämme oppijoille: 'neophyte', 'märät korvat', 'plebe', 'aloittelija'. Tavoitteenamme aikuisina on tulla ammattitaitoista ja osaavaa menettää meidän Aloittelijan tila, jotta voimme saada sosiaali maine ja arvonanto.

Yksi johtavista kuolinsyistä Longchamp Outlet Europe San Diego on auto-onnettomuuksia. Joka vuosi joukko ihmisiä kuolee, koska auto-onnettomuuksia on kasvussa, kun taas miljoonia ihmisiä, jotka selviävät auto-onnettomuuksia kärsivät vakavia tai pysyviä vammoja. Jos joku teidän perhe on saanut surmansa tai loukkaantui auto-onnettomuudessa, saatat olla oikeutettu saamaan korvausta teidän tappioita ja kärsimystä.

Äitini ja askel isä eivät olleet kovin uskonnollinen, mutta teimme valo chanukkah kynttilät vuosittain ja opin heprean minun bar mitzvah ja meni Israeliin osana college-ohjelma. Sittemmin olen käynyt synagogaan vain korkean lomien ja eivät käytännössä paljon. Tulen aina itseäni juutalainen ja haluat kulkea tiettyjä perinteitä lapsilleni.

Garcia, kollegion puheenjohtaja hallituksen edunvalvojan, sanoi Martinez oli mestari institutionaalisille eheyden Rio Hondo College. 'Hän on auttanut vahvistamaan neljän vuoden college siirto prosessi takomalla uusia kumppanuuksia', Garcia sanoi. 'Hän on parantanut college asema ja maine paikallisesti, alueellisesti ja valtakunnallisesti.

Monet urheilutapahtumat lukea myös St. Patrick heille. Baseball joukkueet Yhdysvalloissa pikakäynnistys jokainen kausi tänä päivänä. Kovempi kuin Ray Ban Store TILASTOT: Eagles saa enemmän metriä kulkee kuin mikään joukkue NFL ja sijoittui 29 yhteensä telakat, mutta luvut ovat harhaanjohtavia. Jotkut joukkueet kasataan metriä ilmaan vastaan ​​Philadelphia koska he olivat pelaamassa takaapäin. Myös Eagles viimeksi liigassa ajoissa ajasta, joten vastakkaiset rikoksia oli pallo paljon enemmän. 相关的主题文章：

Canada Goose Takki Hinta jotka haluat tehdä

On olemassa useita päätöksiä, jotka haluat tehdä, kun aloitat ostoksia. Selvitä ensin, jos haluat ostaa uusi, tai jos haluat ostaa vintage malli. Joo, se varmasti mahdollista löytää 60 tai 70 vuotta vanha putki tyyppi amp, että kunnon pelikuntoon. Tietyt merkit käsken korkeat hinnat, kun taas muut merkit ovat suhteellisen löytöjä. Ehto vaikuttaa myös käypä hinta. Jos haluat säästää hieman rahaa ja olet hyvä juotin, voit löytää hyviä tarjouksia ei ole toiminnallinen vahvistimet, jotka tarvitsevat korjausta. Melko usein, kaikki sinun tarvitsee vain juottaa vuonna korvaavan virtajohto ja muutamia uusia kondensaattoreita, ja hyvää.

Vuonna 1914, ensimmäisen maailmansodan puhjetessa. Saat seuraavan neljän vuoden aikana taistelut riehuivat eri puolilla Eurooppaa, Lähi-idässä, Afrikassa ja Aasiassa. [1] Tammikuun 8. päivänä 1918 Yhdysvaltain presidentti Woodrow Wilson antoi lausunnon, että tuli tunnetuksi Neljätoista pistettä. Osittain tämä puhe Canada Goose Takki Hinta vaati Saksan vetäytyä alueelta se oli miehitetty, luomaan Puolan valtion, redrawing Euroopan rajoista etnisin, ja muodostumista Kansainliiton. [2] [3] aikana syksyllä 1918, Keski-Powers alkoi romahtaa. Oakley Frogskins Suomi [4] Saksan armeijan oli ratkaisevasti tappiolle Western Front, kun kotirintamalla laivasto kapinoi kehotukset kansannousut Saksassa, joka tuli tunnetuksi Saksan vallankumouksen. [5] [6] [7] Saksan hallitus yritti saada rauhansopimukseen perustuvat Neljätoista Points, ja ylläpitää se oli tällä perusteella, että he antautuivat. Neuvottelujen jälkeen Allied Powers ja Saksa allekirjoittivat aselevon, joka tuli voimaan 11. marraskuuta, kun Saksan joukot olivat vielä sijoitettu Ranskassa ja Belgiassa. [8] [9] [10]

Bekaan laakson, Libanon (CNN) Kun minusta tuli isä, löysin kattaa tarinoita pakolaisten enemmän sydämen wrenching kuin koskaan ennen. Tietenkin se on lapsille, että heti kiinnittää huomiota. Se on heidän silmät selällään kiehtoo kaikessa mitä teet. He haluavat koskettaa tuottajani Danielle hiukset ja Ugg Halvalla pelata vempaimia minun kameramies, Clayton. He vaihtavat ylävitosia, antaa rauhan merkki, ja urheasti Nike Cortez Red Leather harjoitella Englanti minua.

[31] 5. toukokuuta BROCKDORFF Rantzau ilmoitettiin, että olisi mitään neuvotteluja, kun Saksan valtuuskunta sai rauhan oloissa ne viisitoista päivää aikaa vastata. Seuraavat laatiminen sopimuksen, 7. toukokuuta Saksan ja liittoutuneiden valtuuskunnat tapasivat ja Versaillesin luovutettiin pois käännettävä ja vastaus annetaan. Tässä kokouksessa BROCKDORFF Rantzau totesi, että 'Tiedämme intensiteetti vihan, joka täyttää meidät, ja olemme kuulleet voittajien' intohimoinen kysyntää että voitettujen meidän on tehtävä maksaa, ja koska syyllisiä meidän on rangaistava '. 相关的主题文章：

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Euler%27s_identity&oldid=222354"