General Leibniz rule: Difference between revisions

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more than two factors
 
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{{Probability distribution |
== Hollister Maastricht 2 ==
  name      =Dirichlet|
  type      =density|
  pdf_image  =[[Image:Dirichlet distributions.png|325px|Several images of the probability density of the Dirichlet distribution when ''K''=3 for various parameter vectors ''α''. Clockwise from top left: ''α''=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).]]|
  cdf_image  =|
  parameters =<math>K \geq 2</math> number of categories ([[integer]])<br /><math>\alpha_1, \cdots, \alpha_K</math> [[concentration parameter]]s, where <math>\alpha_i > 0</math>|
  support    =<math>x_1, \cdots, x_K</math> where <math>x_i \in [0,1]</math> and <math>\sum x_i = 1</math>|
  pdf        =<math>\frac{1}{\mathrm{B}(\boldsymbol\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1} </math><br />where <math>\mathrm{B}(\boldsymbol\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_{i=1}^K \alpha_i\bigr)}</math><br />where <math>\boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)</math>|
  cdf        =|
  mean      =<math>\operatorname{E}[X_i] = \frac{\alpha_i}{\sum_k \alpha_k}</math><br /><math> \operatorname{E}[\ln X_i] = \psi(\alpha_i)-\psi(\textstyle\sum_k \alpha_k)</math><br />(see [[digamma function]])|
  median    =|
  mode      =<math>x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\sum_{i=1}^K\alpha_i - K}, \quad \alpha_i > 1. </math>|
  variance  =<math>\mathrm{Var}[X_i] = \frac{\alpha_i (\alpha_0-\alpha_i)}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)},</math><br/>where <math>\alpha_0 = \sum_{i=1}^K\alpha_i</math><br /><math>\mathrm{Cov}[X_i,X_j] = \frac{- \alpha_i \alpha_j}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}~~(i\neq j)</math> |
  skewness  =|
  kurtosis  =|
  entropy    =''see text''|
}}


In [[probability]] and [[statistics]], the '''Dirichlet distribution''' (after [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]), often denoted <math>\operatorname{Dir}(\boldsymbol\alpha)</math>, is a family of [[Continuous probability distribution|continuous]] [[multivariate random variable|multivariate]] [[probability distribution]]s parametrized by a vector <math>\boldsymbol\alpha</math> of positive [[real number|reals]]. It is the multivariate generalization of the [[beta distribution]].<ref name=KBJ>{{cite book|author=S. Kotz, N. Balakrishnan, and N. L. Johnson|title= Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications|year=2000| publisher=Wiley|location= New York|isbn=0-471-18387-3|ref=harv}} (Chapter 49: Dirichlet and Inverted Dirichlet Distributions)</ref>  Dirichlet distributions are very often used as [[prior distribution]]s in [[Bayesian statistics]], and in fact the Dirichlet distribution is the [[conjugate prior]] of the [[categorical distribution]] and [[multinomial distribution]].  That is, its probability density function returns the belief that the probabilities of ''K'' rival events are <math>x_i</math> given that each event has been observed <math>\alpha_i-1</math> times.
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18391489 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18391489]</li>
 
  <li>[http://www.danengyili.com/forum.php?mod=viewthread&tid=586610 http://www.danengyili.com/forum.php?mod=viewthread&tid=586610]</li>
 
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</ul>


The infinite-dimensional generalization of the Dirichlet distribution is the ''[[Dirichlet process]]''.
== Hollister Anvers Pour ce faire ==


==Probability density function==
Pour ce faire, ils ont accepté de soumettre aux énergies de la Faux d'Elune, un artefact mystique créé à partir de croc de Goldrinn et le personnel d'Elune.. Pour ce faire, essayez de télécharger un fichier ou image ici: Si le téléchargement du fichier échoue, alors il ya un problème avec le flash sur votre ordinateur. <br><br>Org ou utiliser Wikipedia). Marketdata s'attend à ce que la récession a mis une forte pression sur les budgets des consommateurs et entravé l'inscription dans les programmes de perte de poids plus chers. Maintenant, je m'occupe d'une équipe de marketeurs, dont plusieurs sont tout à fait nouvelles, et beaucoup de mains sur la gestion. <br><br>Merci pour le tout! Je souhaitaient tout simplement à vous remercier une fois de plus beaucoup. Dans le cadre des initiatives PN et les investissements liés à l'environnement, cette plante s'est rationalisée grâce aux fonds de l'UE disponibles, à juste titre appliqués [http://www.elektrosmets.be/printable/assets/header.asp Hollister Anvers] par le gouvernement maltais. <br><br>Elle a fait valoir la mort de 5 vies [http://www.stadt-land.ch/jcarousel/images/banner.asp Ray Ban Clubmaster] innocentes et blessé 15 personnes. Couvrir les filles qui ne peuvent pas vendre des magazines. Vous pouvez juste essayer de leur service d'hébergement entièrement fonctionnel, vous [http://www.lostalleres.fr/Templates/theme.html Oakley Frogskins] ne payez que $ 0,01 (vous devez utiliser le coupon spécial). <br><br>Vous êtes l'un de nos clients très importants, et nous voulons vous garder et de nos autres clients fournissant les meilleurs services d'hébergement Web. Comme toujours, nous devrions nous [http://www.jubla-so.ch/scripts/images/simple.asp Vibram Five Fingers] méfier de petits changements dans un seul sondage. Tout d'abord, l'interview à CNN qui a effectué la description de Ted des appels de Barbara a été diffusé dans le monde entier plus tard le même jour. <br><br>Shes honorés d'avoir couvert des histoires qui ont fait une différence dans ses communautés. Elle prévoit d'éditer et de publier soi Dark Intentions dans l'année, et travaille sur un livre suivi Angelice Parker.. Obtenez un précis que possible. J'ai noté Le Estile à Noël pour faire des travaux de rénovation à la disposition et le but mais j'ai été pris dans la débauche de vacances (et j'étais jamais amusant!) Et havre eu l'occasion de la mise en tout remonter encore. <br><br>Il ferait son lancement x431 débuts dans le film muet "Forbidden Paradise" (1924), mais n'a pas reçu beaucoup de reconnaissance jusqu'à sa transition vers «films parlants» où il a commencé à recevoir les premiers rôles aux côtés de la belle Jean Harlow, Carole . <br><br>Il peut être utile de parler à haute voix votre entrée avant d'essayer de le saisir ou de le lire à haute voix après que vous l'avez écrit. Avec toutes les nouvelles déprimantes sortant du Pakistan au cours des derniers mois, il ya une évolution majeure qui me fait espérer et excité.<ul>
[[Image:LogDirichletDensity-alpha 0.3 to alpha 2.0.gif|thumb|right|250px|Illustrating how the log of the density function changes when ''K''=3 as we change the vector ''α'' from ''α''=(0.3,&nbsp;0.3,&nbsp;0.3) to (2.0,&nbsp;2.0,&nbsp;2.0), keeping all the individual <math>\alpha_i</math>'s equal to each other.]]
 
  <li>[http://www.wjiaq.com/news/html/?357618.html http://www.wjiaq.com/news/html/?357618.html]</li>
 
  <li>[http://www.bbctop.com/news/html/?2893659.html http://www.bbctop.com/news/html/?2893659.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.rencunol.com/forum.php?mod=viewthread&tid=108667 http://bbs.rencunol.com/forum.php?mod=viewthread&tid=108667]</li>
 
  <li>[http://www.xjvns.cn/news/html/?117049.html http://www.xjvns.cn/news/html/?117049.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18087756 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18087756]</li>
 
</ul>


The Dirichlet distribution of order ''K''&nbsp;≥&nbsp;2 with parameters ''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>''K''</sub> >&nbsp;0 has a [[probability density function]] with respect to [[Lebesgue measure]] on the [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''K''−1</sup> given by
== Timberland Chaussures  96 points et n °. ==


:<math>f \left(x_1,\cdots, x_{K-1}; \alpha_1,\cdots, \alpha_K \right) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1},</math>
En 2011. L'engagement à l'analyse du président et de Beth Mooney, directeur général de la banque, il est très difficile pour quelqu'un à la banque pour ne pas tenir compte des analyses et s'appuyer sur pressentiment d'aller dans une direction différente ... <br><br>J'ai appris plus tard que le directeur du théâtre a vécu dans ce bungalow était une [http://www.bdsmateljee.be/PP/client.html Timberland Chaussures] fois. Cela a conduit des universitaires tels que Cass Sunstein, qui a écrit Nudge et La République 2.0, pour parler de la «balkanisation du filet», où vous ne voyez que vous êtes d'accord avec vues et perdre exposition accidentelle à d'autres points de vue tels que ceux que vous obtiendriez . <br><br>Comme de nombreux scientifiques mettent en garde, le changement climatique ne vient pas, c'est ici. S'il vous plaît être conscient que les portes de KNP sont fermés après le coucher du soleil et les visiteurs ne sont pas autorisés . Photos patineurs stock. <br><br>Si vous rebondir beaucoup dans votre foulée, vous atterrissage plus dur, dit Gross. Épices Spice BlendsStraight comme les herbes séchées doivent être amende [http://www.aldes-international.com/inettuts/international.html Talon Nike] pour quiconque éviter le gluten, mais les mélanges d'épices peuvent parfois être un problème. <br><br>Pour tous ces gens qui disent qu'ils sont tombés malades après avoir reçu le vaccin contre la grippe, je veux être sûr que vous savez que cela peut prendre quelques semaines pour le vaccin contre la grippe à vraiment prendre effet et puisque nous donnons le vaccin contre la grippe pendant la saison de la grippe, . <br><br>17 Paul Menard, Non, il doit quitter le lendemain. Subrahmanyan a dit qu'il espère que le contrat pourrait être signé avant [http://www.generale-aspiration.com/Majinet/content/page/links.aspx Christian Louboutin Soldes] la fin de l'année en cours .. Vous voulez que le lecteur de prendre des mesures liées à votre message. Beaucoup de gars. Une fois, un homme que je parlais avec dans un pub a affirmé qu'il s'enivrait ce soir pour qu'il puisse rentrer à la maison et tirer sa mauvaise dent.. <br><br>C'est bizarre que certaines compositions classiques sont tellement refroidisseur, d'autant plus étonnant, que ce que vous entendez à la radio pop, ever.I me surprends à écouter exclusivement à la musique classique, de temps en temps. Votre organisation est sur cette liste?. <br><br>Ajax acheter si elles sont jeunes et ils voient talent. "Mais alors, il était totalement hors de lui." At-il s'inquiéter pour eux? . (Je n'oublierai jamais quand, lors d'une dégustation à l'aveugle dans lequel la foule de mille personnes au Wine Experience avait classé sélection sud-africaine de Molesworth légèrement plus élevé que le choix de Suckling du Château Pontet Canet [http://www.decubitus.be/dank/images/defines.asp Nike Air Max] 2005, 96 points et n °.<ul>
 
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  <li>[http://lijunhunsha.com/news/html/?25393.html http://lijunhunsha.com/news/html/?25393.html]</li>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
 
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/]</li>
 
</ul>


on the [[open set|open]] (''K''&nbsp;−&nbsp;1)-dimensional [[simplex]] defined by:
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:<math>\begin{align}
Publiez vos questions concernant la promotion de votre site web. De plus, si la tâche d'assurer des sorts de type similaire pour les classes croisées (racines ou IE invis) n'a [http://www.societelibre-eure.org/plugins/ahuntsic/inc/inc_banner.html Nike Air Max 90] pas tenu la même icône de sort, alors il serait source de confusion si vous avez joué plusieurs classes. <br><br>Ces 400 élèves [http://www.air-tertiaire.com/modeles/modeleUser.htm Beats By Dre Pas Cher] de toute la ville se réunissent pour parler communauté, et d'écouter ce que les experts ont à dire sur les questions urgentes de la ville; ce Yip et Programme de stages d'été (SIP) anciens ont à dire sur howphilanthropy les a aidés à former leurs chemins; . <br><br>Rester en position accroupie peu. [7] Tous les rangées d'écailles dorsales possèdent une quille, bien que ceux [http://www.allogateaux.fr/albumpiecesmontees/slides/public.html Polo Ralph Lauren Femme Pas Cher] sur les lignes à grande échelle la plus basse sont faibles. Est-ce même ce que je dois faire pour aborder ce problème? . Nous avons mis en place une victoire ou rentrer à la maison affrontement avec l'Orange de Syracuse en finale du tournoi Big East samedi à 12 h HE. <br><br>Vous comparer aux autres. Reprenez votre routine d'entraînement normale progressivement que vous commencez à vous sentir mieux. Mais ce que Amazon est un maître dans la construction est l'habitude. Il fait en sorte qu'elle se souvient-elle peut avoir n'importe quelle aide. <br><br>2) Ne pas tergiverser. Nous cédons à l'orientation de notre tâche et définissons comme ministère (l'un de nos erreurs les plus courantes), nous créons des répercussions plus de gaspillage:. 250 par mois devrait être tout à fait faisable sur partagé, si vous optimisez les choses. <br><br>Je ne vais pas hésiter à proposer votre page Web pour quiconque désire Guide sur ce sujet.. Une autre entreprise se chargera de la production réelle, la «Grande Société mur» de la Chine, du moins c'est la façon dont je l'ai lu au moyen d'une [http://www.scienceseconomiquesetsociales.fr/img/client.asp Nike Shox Rivalry] traduction Babelfish certes rude. <br><br>L'explosion de la technologie a un impact sur la façon dont les gens communiquent et collaborent. Tout ce riche contenu du profil de médias est tirée d'une longue liste de sources pertinentes régionales et internationales ainsi que, tout pour vous permettre de trouver des gens en temps réel. <br><br>Que Wii U de Nintedo revendication est 19x plus puissant que la PS3 et cela pourrait être vrai 6 core puce 12 fils, gpu qui est 5 ou 6 ans plus avancée que ps3 7800 GT équivalent homme de GPU qui est très possible. Envoi à MSN n'est possible qu'après frappe d'un code qui est présenté dans une fenêtre. <br><br>Cool" et a plaidé «non coupable». En fait, moi et un couple d'amis dans HS ont été horseplaying dans le parking de notre travail un jour où une femme était comme "OMG!" et courut droit à notre manager. >>> >>> TMICTMIC TMOTTMOTAnother FOURCC pour TrueMotion S.<ul>
&x_1, \cdots, x_{K-1} > 0 \\
 
&x_1 + \cdots + x_{K-1} < 1 \\
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&x_K = 1 - x_1 - \cdots - x_{K-1}
 
\end{align}</math>
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  <li>[http://www.think-group.cn/VK/blog/article.php?type=blog&cid=3&itemid=1702339 http://www.think-group.cn/VK/blog/article.php?type=blog&cid=3&itemid=1702339]</li>
 
  <li>[http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133822 http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133822]</li>
 
</ul>


and zero elsewhere.
== Louboutin Belgique Maintenant ==


The [[normalizing constant]] is the multinomial [[Beta function]], which can be expressed in terms of the [[gamma function]]:
Jusqu'à ce que le deuxième trimestre du 16ème siècle il y avait un plan commun pour les églises.. Or [http://www.corcon.be/includes/header.asp Louboutin Belgique] c'est là que le plaisir commence! . De Reebok en utilisant marché. Etes-vous dans l'Ouest que vous dites qu'ils ont dit dynamique. Il est donc utilisé principalement dans le streaming média et la communication vocale. <br><br>Bulletins brièvement mentionné régulier de la manifestation, avant de passer à d'autres sujets. De notre point de vue, ces technologies étaient très simple et facile à comprendre. Mais si vous voulez la facilité d'un Website Builder tout compris avec billet de 24 heures sur la base de support technique au cas où vous vous perdez, il doesn beaucoup mieux que Squarespace. <br><br>Maintenant, jetez un oeil dans le coin supérieur droit du certificat. Ward Seven a deux volumes datés 1846 1874 et 1876 1914. Par conséquent, ce modèle était bien connu par le personnel diplomatiques américains. Pilotes de collaboration gérées dans la mer du Nord et de l'Angola [http://www.stierlihof.ch/hofladen/schnaps/client.asp Sac Longchamp] et un pilote vidéo sociale déployés dans le monde. <br><br>Son poste [http://www.aspiration-centralisee-aldes.com/grd_public/details/theme.html Timberland Pas Cher] de démontrer son besoin de contrôle, l'attention , et de la puissance. S'appuyant sur l'ensemble des indicateurs, le rapport examine également les diverses expériences de six pays (Bangladesh, le Ghana, le Népal, le Nicaragua, le Tadjikistan et l'Ouganda), trouver une image mitigée des progrès et des reculs. <br><br>Il ya peu de temps, 14h30, 11 petits papa est arrivé à Zhengzhou, gérer leur bébé après une absence de 11 jours pour prendre conscience de la princesse en utilisant la plage, marin affecté maman menti un d: le bronzage. Toutes les informations sont agrégées et donc la performance anonymous.This de l'utilisation du site web des cookies pour: Fournir des statistiques sur le présent site Web est utilisé (y compris les sélections que vous avez faites et des biens et services que vous avez consultées, au cours de votre utilisation de ce site) Voir l'efficacité de notre annonces sont (nous ne l'utilisation de ces informations pour cibler annonces lorsque vous visitez d'autres sites) Fournir une rétroaction aux partenaires que l'un de nos visiteurs ont également visité leur site web.. <br><br>Mais, la mémoire humaine [http://www.reuzepas.be/include/class.asp Hollister Paris] est immense. Net Beans IDE 6.0 intègre également les nouvelles fonctionnalités suivantes introduites depuis la Java. Appuyez sur le niveau 2 pour répondre à des correctifs, mais finalement, vous voulez revenir au niveau 4, la tête en bas dans le sous-sol et le libérer, puis laisser (vous avez gagné être va revenir pour un long moment, et ne serez pas prêt à appuyer sur le).<ul>
 
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</ul>


:<math>\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i\right)},\qquad\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_K).</math>
== Christian Louboutin Paris  entre 1933 et 1937 plus de 1 ==


===Support===
D'où le dicton, "Méfiez-vous de ce que vous voulez!" . Dans cette situation, je suppose que vous [http://www.generale-aspiration.com/Majinet/content/page/links.aspx Christian Louboutin Paris] n'avez pas une très bonne connaissance de HTML et création de site web. Il n'y a pas d'algorithmes à comprendre. Les montagnes peuvent être fabriqués à partir de taupinières. <br><br>Il n'ya pas de grande révolution dans le Tea Party, mais combien de temps de nouvelles est passé sur des sujets pertinents, si les crises humanitaires et environnementales, partout dans le monde, sont totalement négligés? Après plusieurs minutes des experts bourdonnant sur comme s'ils aidaient aider le public dans le processus de la démocratie, j'ai opté pour écouter les grognements et gémissements de mes collègues centre communautaire gymnase compagnons.. <br><br>3. Nous avons eu de bonnes nouvelles et de mauvaises nouvelles en Novembre. Nous sommes constamment pédalons nos autos Winnipeg utilisés, que ce soit des voitures, des camions, des fourgonnettes ou des VUS pour s'assurer de la qualité supérieure et le haut prix des automobiles utilisées partout dans la grande région de Winnipeg se trouvent à Smith Hughes Auto Centre. <br><br>L'objectif de votre page fan vous et votre entreprise AdvoCare être. Je me demande combien d'électeurs étaient vraiment conscients de la façon exquise saisons d'artisanat de Saint-étaient Ailleurs, par exemple, puisque le spectacle a été tout mais indisponible pour afficher pendant 25 ans. <br><br>Ils font leurs nids dans les grands arbres de [http://www.bezinningscentrum-mariaburcht-vladslo.be/Stylesheets/router.asp Mbt Shoes] palmiers. Vous devez avoir au moins deux personnes, car ils vont se battre, alors qu'ils tentent de prendre [http://www.celforpharma.com/pharma-management/knowledge-centre/pearls-of-wisdom.html Air Yeezy 2 Pas Cher] l'air. Nous acceptons. Il est destiné à être référencé au long du cycle de vie du projet. Avec ce paramètre, vous êtes assuré de services de haute qualité et sans stress expérience. <br><br>En l'absence de texte juridique d'origine n'a pu être identifié, mais d'autres versions linguistiques de ces documents sont disponibles en anglais ou, ces versions sont incluses. Nous traçons les catégories de la plus grande ontologie construite manuellement, Cyc, sur des articles de Wikipedia décrivant les concepts correspondants. <br><br>Cette applet crée ensuite la [http://www.elektrosmets.be/printable/assets/header.asp Hollister Belgique] table de dimension de comportement particulier.. Encore une fois, je pourrais avoir clarifié cela. Protéger les intérêts des élites, l'éthique de la vente de gaz lacrymogène assez d'alarme élevés pour inciter un sous-comité du Sénat à engager des enquêteurs, qui ont trouvé que, entre 1933 et 1937 plus de 1,25 millions de dollars (environ 21 millions de dollars aujourd'hui) d'une valeur de et des gaz nauséabonds avaient été achetés au cours ou en prévision de la grève.<ul>
The [[support (mathematics)|support]] of the Dirichlet distribution is the set of ''K''-dimensional vectors <math>\boldsymbol x</math> whose entries are real numbers in the interval (0,1); furthermore, <math>\|\boldsymbol x\|_1=1</math>, i.e. the sum of the coordinates is 1. These can be viewed as the probabilities of a ''K''-way [[categorical distribution|categorical]] event. Another way to express this is that the domain of the Dirichlet distribution is itself a set of [[probability distribution]]s, specifically the set of ''K''-dimensional [[discrete distribution]]s. Note that the technical term for the set of points in the support of a ''K''-dimensional Dirichlet distribution is the [[close set|closed]] ''[[standard simplex|standard (''K''−1)-simplex]]'', which is a generalization of a [[triangle]], embedded in the next-higher dimension. For example, with ''K''=3, the support is an [[equilateral triangle]] embedded in a downward-angle fashion in three-dimensional space, with vertices at (1,0,0), (0,1,0) and (0,0,1), i.e. touching each of the coordinate axes at a point 1 unit away from the origin.
 
  <li>[http://cerisier.info/spip.php?article20/ http://cerisier.info/spip.php?article20/]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
  <li>[http://jz.chy123.com/news/html/?187153.html http://jz.chy123.com/news/html/?187153.html]</li>
 
</ul>


===Special cases===
== Timberland Pas Cher  2011 ==
A very common special case is the '''symmetric Dirichlet distribution''', where all of the elements making up the parameter vector <math>\boldsymbol\alpha</math> have the same value.  Symmetric Dirichlet distributions are often used when a Dirichlet prior is called for, since there typically is no prior knowledge favoring one component over another.  Since all elements of the parameter vector have the same value, the distribution alternatively can be parametrized by a single scalar value ''α'', called the [[concentration parameter]]{{Citation needed|date=November 2011}}. The density function then simplifies to


:<math>f(x_1,\dots, x_{K-1}; \alpha) = \frac{\Gamma(\alpha K)}{\Gamma(\alpha)^K} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha - 1}.</math>
À ce titre, j'écris comme son avocat ainsi, à l'égard de vos communications menaçantes récentes de M. Piscivorus était de 188 cm [http://www.aspiration-centralisee-aldes.com/grd_public/details/theme.html Timberland Pas Cher] (74 po) de longueur, [8] basé sur un échantillon pris dans la région de Dismal Swamp et donnés à Philadelphie Jardin zoologique. <br><br>Vous pouvez trouver beaucoup de images de fond. Après l'indépendance en 1947, le parti du Congrès national indien (INC) a jugé l'Etat de Bombay (qui comprenait nos jours Gujarat et Maharashtra). Probablement le plus grand avantage de l'utilisation des cadres et boilerplates est le fait que la plupart des tests a déjà été fait. <br><br>Dans les enquêtes menées dans le cadre de cette étude, les gens de Boston étaient plus susceptibles de dire qu'ils estimaient qu'il n'y avait des attentes claires sur la façon dont les gens devraient se comporter dans leur ville. C'est bien sûr conduit à la question de savoir où je peux acheter des cigarettes électroniques, personnellement? Y at-il des restrictions fondées sur des états ou ville? Et il s'avère que même si ces dispositifs sont légaux dans chaque état, la FDA est réellement saisissant des envois qui entrent dans les Etats-Unis.. <br><br>Cette recette est une adaptation de Paletas: recettes authentiques pour mexicains Bruits de glace, glace pilée et Aguas Frescas par Fany Gerson (Ten Speed ​​Press, 2011). Il dispose de deux éditeurs mobiles et un directeur des ventes mobile dédié. Nous avons voté avec succès ici-bas au Texas, mais il doit être fait dans tout le pays appeler Groupes Parti potentiel commun contre l'éducation de base reconditionnement groupes politiques au cours des dernières semaines ont [http://www.generale-aspiration.com/Majinet/content/page/links.aspx Christian Louboutin Soldes] soudainement et avec succès fait pression sur les gouverneurs républicains de réévaluer leur soutien à un rare . <br><br>Ce week-end l'an dernier, un voyage inattendu ouvert avec $ 84,620,000. Cambridge University Press. J'ai travaillé dans un certain nombre de publications, dont le New York Times, Bloomberg Nouvelles, La Baie Citoyen, Le Orange County Register et l'avis Half Moon Bay. <br><br>"Pourquoi obtenir l'assurance des locataires nous vous dirons« Hypothèque Daily NewsWhen vous êtes sur la clôture de l'obtention des locataires assurance que vous devez examiner toutes les choses qui sont [http://www.aldes-international.com/inettuts/international.html Nike A Talon] précieux dans votre appartement. L'exode des talents est d'avoir [http://www.corcon.be/includes/header.asp Christian Louboutin Pas Cher] des conséquences réelles.. <br><br>Insane, génie, ou sinon ils avaient tous leurs moments à partager leurs histoires à raconter, leur génie fou de bataille. Anoying certainement ainsi. Chances sont que vous allez faire l'instance que les produits Mac est un péché selon la gourmandise pour les accessoires qu'elle provoque, mais certains chrétiens orthodoxes extrêmes pour la Russie deviennent plus offensé avec badge "blasphématoire" de l'entreprise.<ul>
 
 
When ''α''=1{{ref|concentration-parameter-disambiguation}}, the symmetric Dirichlet distribution is equivalent to a uniform distribution over the open [[standard simplex|standard (''K''−1)-simplex]], i.e. it is uniform over all points in its [[support (mathematics)|support]].  Values of the concentration parameter above 1 prefer [[random variate|variate]]s that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other.  Values of the concentration parameter below 1 prefer sparse distributions, i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
  <li>[http://crossgate.site90.com/forum.php?mod=viewthread&tid=91754 http://crossgate.site90.com/forum.php?mod=viewthread&tid=91754]</li>
 
 
More generally, parameter vector is sometimes written as the product <math>\alpha \boldsymbol n</math> of a ([[Scalar (mathematics)|scalar]]) [[concentration parameter]] ''α'' and a ([[Vector (mathematics and physics)|vector]]) [[base measure]] <math>\boldsymbol n=(n_1,\dots,n_K)</math> where <math>\boldsymbol n</math> lies within the (''K''−1)-simplex (i.e.: its coordinates <math>n_i</math> sum to one). The concentration parameter in this case is larger by a factor of ''K'' than the concentration parameter for a symmetric Dirichlet distribution described above. This construction ties in with concept of a base measure when discussing [[Dirichlet process]]es and is often used in the topic modelling literature.
  <li>[http://test.bpmn.info/forum/read.php?1,279054 http://test.bpmn.info/forum/read.php?1,279054]</li>
 
 
<div style="font-size:smaller">
  <li>[http://www.xmsxl.com/news/html/?218515.html http://www.xmsxl.com/news/html/?218515.html]</li>
:{{note|concentration-parameter-disambiguation}} If we define the concentration parameter as the sum of the Dirichlet parameters for each dimension, the Dirichlet distribution with concentration parameter ''K'', the dimension of the distribution, is the uniform distribution on the ''K''−1 simplex.
 
</div>
  <li>[http://yakcho.egloos.com/6770080/ http://yakcho.egloos.com/6770080/]</li>
 
 
==Properties==
  <li>[http://www.vitrinaweb.es/index.php?page=item&id=94166 http://www.vitrinaweb.es/index.php?page=item&id=94166]</li>
===Moments===
 
Let <math>X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha)</math>, meaning that the first ''K''&nbsp;–&nbsp;1 components have the above density and
</ul>
 
:<math>X_K=1-X_1-\cdots-X_{K-1}.</math>
 
Define
 
:<math>\alpha_0 = \sum_{i=1}^K\alpha_i.</math>  
 
Then<ref>Eq. (49.9) on page 488 of [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471183873.html Kotz, Balakrishnan & Johnson (2000). Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. New York: Wiley.]</ref><ref>{{cite book|author=BalakrishV. B.| year=2005 |title=A Primer on Statistical Distributions|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|location=Hoboken, NJ|isbn = 978-0-471-42798-8 | chapter="Chapter 27. Dirichlet Distribution" |page=274}}</ref>
 
:<math> \mathrm{E}[X_i] = \frac{\alpha_i}{\alpha_0},</math>
:<math>\mathrm{Var}[X_i] = \frac{\alpha_i (\alpha_0-\alpha_i)}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}.</math>
 
Furthermore, if <math> i\neq j</math>
 
:<math>\mathrm{Cov}[X_i,X_j] = \frac{- \alpha_i \alpha_j}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}.</math>
 
(Note that the matrix so defined is [[invertible matrix|singular]].).
 
===Mode===
The [[mode (statistics)|mode]] of the distribution is{{Citation needed|date=June 2011}} the vector (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>K</sub>'') with
 
:<math> x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\alpha_0 - K}, \qquad \alpha_i > 1. </math>
 
===Marginal distributions===
The [[marginal distribution]]s are [[beta distribution]]s:<ref>{{cite web|last=Farrow|first=Malcolm|title=MAS3301 Bayesian Statistics|url=http://www.mas.ncl.ac.uk/~nmf16/teaching/mas3301/week6.pdf|work=Newcastle University|publisher=Newcastle University|accessdate=10 April 2013}}</ref>
 
:<math>X_i \sim \operatorname{Beta}\left (\alpha_i, \left(\sum\nolimits_{j=1}^K{\alpha_j}\right) - \alpha_i \right). </math>
 
===Conjugate to categorical/multinomial===
The Dirichlet distribution is the [[conjugate prior]] distribution of the [[categorical distribution]] (a generic [[discrete probability distribution]] with a given number of possible outcomes) and [[multinomial distribution]] (the distribution over observed counts of each possible category in a set of categorically distributed observations).  This means that if a data point has either a categorical or multinomial distribution, and the [[prior distribution]] of the data point's parameter (the vector of probabilities that generates the data point) is distributed as a Dirichlet, then the [[posterior distribution]] of the parameter is also a Dirichlet.  Intuitively, in such a case, starting from what we know about the parameter prior to observing the data point, we then can update our knowledge based on the data point and end up with a new distribution of the same form as the old one.  This means that we can successively update our knowledge of a parameter by incorporating new observations one at a time, without running into mathematical difficulties.
 
Formally, this can be expressed as follows. Given a model
 
:<math>\begin{array}{rcccl}
\boldsymbol\alpha &=& \left(\alpha_1, \cdots, \alpha_K \right) &=& \text{concentration hyperparameter} \\
\mathbf{p}\mid\boldsymbol\alpha &=& \left(p_1, \cdots, p_K \right ) &\sim& \operatorname{Dir}(K, \boldsymbol\alpha) \\
\mathbb{X}\mid\mathbf{p} &=& \left(\mathbf{x}_1, \cdots, \mathbf{x}_K \right ) &\sim& \operatorname{Cat}(K,\mathbf{p})
\end{array}</math>
 
then the following holds:
 
:<math>\begin{array}{rcccl}
\mathbf{c} &=& \left(c_1, \cdots, c_K \right ) &=& \text{number of occurrences of category }i \\
\mathbf{p} \mid \mathbb{X},\boldsymbol\alpha &\sim& \operatorname{Dir}(K,\mathbf{c}+\boldsymbol\alpha) &=& \operatorname{Dir} \left (K,c_1+\alpha_1,\cdots,c_K+\alpha_K \right)
\end{array}</math>
 
This relationship is used in [[Bayesian statistics]] to estimate the underlying parameter '''p''' of a [[categorical distribution]] given a collection of ''N'' samples. Intuitively, we can view the [[hyperprior]] vector '''α''' as [[pseudocount]]s, i.e. as representing the number of observations in each category that we have already seen.  Then we simply add in the counts for all the new observations (the vector '''c''') in order to derive the posterior distribution.
 
In Bayesian [[mixture model]]s and other [[hierarchical Bayesian model]]s with mixture components, Dirichlet distributions are commonly used as the prior distributions for the [[categorical distribution|categorical variable]]s appearing in the models.  See the section on [[#Applications|applications]] below for more information.
 
===Relation to Dirichlet-multinomial distribution===
In a model where a Dirichlet prior distribution is placed over a set of [[categorical distribution|categorical-valued]] observations, the [[marginal distribution|marginal]] [[joint distribution]] of the observations (i.e. the joint distribution of the observations, with the prior parameter [[marginalized out]]) is a [[Dirichlet-multinomial distribution]].  This distribution plays an important role in [[hierarchical Bayesian model]]s, because when doing [[statistical inference|inference]] over such models using methods such as [[Gibbs sampling]] or [[variational Bayes]], Dirichlet prior distributions are often marginalized out. See the [[Dirichlet-multinomial distribution|article on this distribution]] for more details.
 
===Entropy===
If ''X'' is a Dir(''α'') random variable, then the [[Exponential family#Differential identities for cumulants|exponential family differential identities]] can be used to get an analytic expression for the expectation of <math>\log(X_i)</math> and its associated covariance matrix:{{Citation needed|date=June 2011}}
 
:<math> \operatorname{E}[\log(X_i)] = \psi(\alpha_i)-\psi(\alpha_0)</math>
 
and
 
:<math> \operatorname{Cov}[\log(X_i),\log(X_j)] = \psi'(\alpha_i) \delta_{ij} - \psi'(\alpha_0)</math>
 
where <math>\psi</math> is the [[digamma function]], <math>\psi'</math> is the [[trigamma function]], and <math>\delta_{ij}</math> is the [[Kronecker delta]]. The formula for <math> \operatorname{E}[\log(X_i)]</math>  yields the following formula for the [[information entropy]] of ''X'':{{Citation needed|date=June 2011}}
 
:<math> H(X) = \log \mathrm{B}(\alpha) + (\alpha_0-K)\psi(\alpha_0) - \sum_{j=1}^K (\alpha_j-1)\psi(\alpha_j) </math>
 
===Aggregation===
If
 
:<math>X = (X_1, \cdots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha_1,\cdots,\alpha_K)</math>
 
then, if the random variables with subscripts ''i'' and ''j'' are dropped from the vector and replaced by their sum,
 
:<math>X' = (X_1, \cdots, X_i + X_j, \cdots, X_K)\sim\operatorname{Dir} \left(\alpha_1,\cdots,\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_K \right).</math>
 
This aggregation property may be used to derive the marginal distribution of <math>X_i</math> mentioned above.
 
===Neutrality===
{{main|Neutral vector}}
 
If <math>X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha)</math>, then the vector&nbsp;''X'' is said to be ''neutral''<ref>{{cite journal | journal=Journal of the American Statistical Association | volume=64 | issue=325 | pages=194–206 | year=1969  | author=Connor, Robert J. | title=Concepts of Independence for Proportions with a Generalization of the Dirichlet Distribution | pmid=  | doi = 10.2307/2283728 | jstor=2283728 | author2=Mosimann, James E | publisher=American Statistical Association }}</ref> in the sense that ''X<sub>K</sub>'' is independent of <math>X^{(-K)}</math><ref name=FKG>{{cite web|url=http://ee.washington.edu/research/guptalab/publications/UWEETR-2010-0006.pdf |title=Introduction to the Dirichlet Distribution and Related Processes|year=2010|author=Bela A. Frigyik, Amol Kapila, and Maya R. Gupta|accessdate =May 2012|format= Technical Report UWEETR-2010-006|publisher= University of Washington Department of Electrical Engineering}}</ref> where
 
:<math>X^{(-K)}=\left(\frac{X_1}{1-X_K},\frac{X_2}{1-X_K},\cdots,\frac{X_{K-1}}{1-X_K}\right),</math>
 
and similarly for removing any of <math>X_2,\ldots,X_{K-1}</math>. Observe that any permutation of ''X'' is also neutral (a property not possessed by samples drawn from a [[generalized Dirichlet distribution]].)<ref>See Kotz, Balakrishnan & Johnson (2000), Section 8.5, "Connor and Mosimann's Generalization", pp. 519–521.</ref>
 
==Related distributions==
For ''K'' independently distributed Gamma distributions:
 
:<math> Y_1 \sim \operatorname{Gamma}(\alpha_1, \theta), \cdots, Y_K \sim \operatorname{Gamma}(\alpha_K, \theta)</math>
 
we have:<ref>{{cite book | publisher = Springer-Verlag | pages=402 | year=1986  | author=Devroye, Luc | url=  http://luc.devroye.org/chapter_nine.pdf | title=Non-Uniform Random Variate Generation |ref=harv }}</ref>
 
:<math>V=\sum_{i=1}^K Y_i\sim\operatorname{Gamma} \left(\sum_{i=1}^K\alpha_i, \theta \right ),</math>
:<math>X = (X_1, \cdots, X_K) = \left(\frac{Y_1}{V}, \cdots, \frac{Y_K}{V} \right)\sim \operatorname{Dir}\left (\alpha_1, \cdots, \alpha_K \right).</math>
 
Although the ''X<sub>i</sub>''s are not independent from one another, they can be seen to be generated from a set of ''K'' independent [[Gamma distribution|gamma]] random variables (see <ref>{{cite book | publisher = Springer-Verlag | pages=594 | year=1986 | author=Devroye, Luc | url= http://luc.devroye.org/rnbookindex.html | title=Non-Uniform Random Variate Generation |ref=harv }} (Chapter 11.)</ref> for proof). Unfortunately, since the sum ''V'' is lost in forming ''X'' (in fact it can be shown that ''V'' is stochastically independent of ''X''), it is not possible to recover the original gamma random variables from these values alone. Nevertheless, because independent random variables are simpler to work with, this reparametrization can still be useful for proofs about properties of the Dirichlet distribution.
 
==Applications==
Dirichlet distributions are most commonly used as the [[prior distribution]] of [[categorical distribution|categorical variable]]s or [[multinomial distribution|multinomial variable]]s in Bayesian [[mixture model]]s and other [[hierarchical Bayesian model]]s. (Note that in many fields, such as in [[natural language processing]], categorical variables are often imprecisely called "multinomial variables".  Such a usage is liable to cause confusion, just as if [[Bernoulli distribution]]s and [[binomial distribution]]s were commonly conflated.)
 
Inference over hierarchical Bayesian models is often done using [[Gibbs sampling]], and in such a case, instances of the Dirichlet distribution are typically [[marginalization|marginalized out]] of the model by integrating out the Dirichlet [[random variable]].  This causes the various categorical variables drawn from the same Dirichlet random variable to become correlated, and the joint distribution over them assumes a [[Dirichlet-multinomial distribution]], conditioned on the hyperparameters of the Dirichlet distribution (the [[concentration parameter]]s).  One of the reasons for doing this is that Gibbs sampling of the [[Dirichlet-multinomial distribution]] is extremely easy; see that article for more information.
 
==Random number generation==
===Gamma distribution===
With a source of Gamma-distributed random variates, one can easily sample a random vector <math>x=(x_1, \cdots, x_K)</math> from the ''K''-dimensional Dirichlet distribution with parameters <math>(\alpha_1, \cdots, \alpha_K)</math> . First, draw ''K'' independent random samples <math>y_1, \ldots, y_K</math> from [[Gamma distribution]]s each with density
 
:<math> \textrm{Gamma}(\alpha_i, 1) = \frac{y_i^{\alpha_i-1} \; e^{-y_i}}{\Gamma (\alpha_i)}, \!</math>
 
and then set
 
:<math>x_i = \frac{y_i}{\sum_{j=1}^K y_j}.</math>
 
Below is example Python code to draw the sample:
 
<source lang="python">
params = [a1, a2, ..., ak]
sample = [random.gammavariate(a,1) for a in params]
sample = [v/sum(sample) for v in sample]
</source>
 
===Marginal beta distributions===
A less efficient algorithm<ref>{{cite book | author=A. Gelman and J. B. Carlin and H. S. Stern and D. B. Rubin | year=2003 | title= Bayesian Data Analysis | edition=2nd | isbn=1-58488-388-X | pages=582}}</ref> relies on the univariate marginal and conditional distributions being beta and proceeds as follows.  Simulate <math>x_1</math> from
 
:<math>\textrm{Beta}\left(\alpha_1, \sum_{i=2}^K \alpha_i \right)</math>
 
Then simulate <math>x_2, \ldots, x_{K-1}</math> in order, as follows. For <math>j=2, \ldots, K-1</math>, simulate <math>\phi_j</math> from 
 
:<math>\textrm{Beta} \left(\alpha_j, \sum_{i=j+1}^K \alpha_i \right ),</math>
 
and let
 
:<math>x_j= \left(1-\sum_{i=1}^{j-1} x_i \right )\phi_j.</math>
 
Finally, set
 
:<math>x_K=1-\sum_{i=1}^{K-1} x_i.</math>
 
Below is example Python code to draw the sample:
 
<source lang="python">
params = [a1, a2, ..., ak]
xs = [random.betavariate(params[0], sum(params[1:]))]
for j in range(1,len(params)-1):
    phi = random.betavariate(params[j], sum(params[j+1:]))
    xs.append((1-sum(xs)) * phi)
xs.append(1-sum(xs))
</source>
 
==Intuitive interpretations of the parameters==
 
===The concentration parameter===
Dirichlet distributions are very often used as [[prior distribution]]s in [[Bayesian inference]].  The simplest and perhaps most common type of Dirichlet prior is the symmetric Dirichlet distribution, where all parameters are equal.  This corresponds to the case where you have no prior information to favor one component over any other.  As described above, the single value ''α'' to which all parameters are set is called the [[concentration parameter]].  If the sample space of the Dirichlet distribution is interpreted as a [[discrete probability distribution]], then intuitively the concentration parameter can be thought of as determining how "concentrated" the probability mass of a sample from a Dirichlet distribution is likely to be.  With a value much less than 1, the mass will be highly concentrated in a few components, and all the rest will have almost no mass.  With a value much greater than 1, the mass will be dispersed almost equally among all the components.  See the article on the [[concentration parameter]] for further discussion.
 
===String cutting===
One example use of the Dirichlet distribution is if one wanted to cut strings (each of initial length 1.0) into ''K'' pieces with different lengths, where each piece had a designated average length, but allowing some variation in the relative sizes of the pieces.  The ''α''/''α''<sub>0</sub> values specify the mean lengths of the cut pieces of string resulting from the distribution.  The variance around this mean varies inversely with ''α''<sub>0</sub>.
 
[[Image:Dirichlet example.png|center|Example of Dirichlet(1/2,1/3,1/6) distribution]]
 
===Pólya's urn===
Consider an urn containing balls of ''K'' different colors. Initially, the urn contains ''α''<sub>1</sub> balls of color 1, ''α''<sub>2</sub> balls of color 2, and so on. Now perform ''N'' draws from the urn, where after each draw, the ball is placed back into the urn with an additional ball of the same color. In the limit as ''N'' approaches infinity, the proportions of different colored balls in the urn will be distributed as Dir(''α''<sub>1</sub>,...,''α<sub>K</sub>'').<ref>{{cite journal | journal=Ann. Stat. | volume=1 | issue=2 | pages=353–355 | year=1973  | author=Blackwell, David | title=Ferguson distributions via Polya urn schemes | pmid=  | doi = 10.1214/aos/1176342372 | last2=MacQueen | first2=James B. }}</ref>
 
For a formal proof, note that the proportions of the different colored balls form a bounded [0,1]<sup>''K''</sup>-valued [[martingale (probability theory)|martingale]], hence by the [[martingale convergence theorem]], these proportions converge [[almost sure convergence|almost surely]] and [[convergence in mean|in mean]] to a limiting random vector. To see that this limiting vector has the above Dirichlet distribution, check that all mixed [[moment (mathematics)|moments]] agree.
 
Note that each draw from the urn modifies the probability of drawing a ball of any one color from the urn in the future. This modification diminishes with the number of draws, since the relative effect of adding a new ball to the urn diminishes as the urn accumulates increasing numbers of balls. This "diminishing returns" effect can also help explain how small ''α'' values yield Dirichlet distributions with most of the probability mass concentrated around a single point on the simplex.
 
==See also==
 
* [[Generalized Dirichlet distribution]]
* [[Latent Dirichlet allocation]]
* [[Dirichlet process]]
 
==References==
{{reflist}}
 
==External links==
* {{springer|title=Dirichlet distribution|id=p/d032840}}
* [http://www.cis.hut.fi/ahonkela/dippa/node95.html Dirichlet Distribution]
*[http://www.ee.washington.edu/research/guptalab/publications/EMbookChenGupta2010.pdf How to estimate the parameters of the Dirichlet distribution using expectation-maximization (EM)]
* {{cite web|url=http://luc.devroye.org/rnbookindex.html |title=Non-Uniform Random Variate Generation|author= Luc Devroye|accessdate=May 2012|ref=harv}}
* [http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall07/cos597C/scribe/20071130.pdf Dirichlet Random Measures, Method of Construction via Compound Poisson Random Variables, and Exchangeability Properties of the resulting Gamma Distribution]
 
{{ProbDistributions|multivariate}}
 
[[Category:Multivariate continuous distributions]]
[[Category:Conjugate prior distributions]]
[[Category:Exponential family distributions]]
[[Category:Probability distributions]]
[[Category:Continuous distributions]]

Latest revision as of 21:07, 15 November 2014

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