Nonlinear system: Difference between revisions

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In the mathematical field of [[real analysis]], the '''monotone convergence theorem''' refers to a number of related theorems proving the [[convergence (mathematics)|convergence]] of [[monotonic sequence]]s (sequences that are [[increasing]] or [[decreasing]]) that are also [[Bounded function|bounded]]. Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a [[supremum]], then the sequence will converge to the supremum; in the same way, if a sequence is decreasing and is bounded below by an [[infimum]], it will converge to the infimum.
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== Convergence of a monotone sequence of real numbers ==
== Abercrombie Schweiz Outlet "Es scheint ==
===Theorem===
If <math>\{ a_n \}</math> is a monotone [[sequence]] of [[real number]]s (i.e., if ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;≤&nbsp;''a''<sub>''n''+1</sub> or ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;≥&nbsp;''a''<sub>''n''+1</sub> for every n ≥ 1), then this sequence has a [[finite]] limit if and only if the sequence is [[bounded sequence|bounded]].<ref>A generalisation of this theorem was given by John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.</ref>


===Proof===
Gute Bücher sind oft verboten, weil sie sagen, eine kraftvolle Geschichte und eine starke Geschichte wird immer jemanden zu beleidigen. Bollywood produziert Glamour Filme, die nichts [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=33-Abercrombie-Schweiz-Outlet Abercrombie Schweiz Outlet] mit der Realität zu tun haben. Modulare Küche sind komplett mit alles und sparen Sie den Aufwand der Gestaltung und Planung Ihrer Küche, die durchaus eine mühsame Aufgabe sein kann.. <br><br>Mit Stresspegel so hoch, in diesen Tagen, jeder sollte eine respektable Masseurin zu finden, um diese letztlich entspannend Service für sie selbst durchzuführen. Um Frisur sofort zu [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=41-Tiffanys-&-Co-Schweiz Tiffanys & Co Schweiz] ändern, müssen Sie möglicherweise Clip in Haarverlängerungen zu helfen, perfektionieren den Look. <br><br>Dr. "Der Jude vs konnte sehen, dass ein besonders guter Arbeitsmarktbericht wäre der Fall für die Verjüngung zu zementieren, aber ich spüre, dass eine schwache Zahl würde nur das Tempo der zukünftigen Reduktion der dem Tempo der Ankäufe von Vermögenswerten beeinflussen, wenn in künftigen Berichten bestätigt. <br><br>So waren Isurus Neoprenanzüge geboren. Stattdessen tragen Lederschuhe oder Sandalen, wenn Sie können, wie sie atmen, und deshalb sinken Fuß Schweiß und Körpergeruch.. Für jeden der ersten sechs Wochen der Klasse, werden Sie herausgefordert werden, um eine erfolgreiche Design basiert auf einem Design-Element-Eingabeaufforderung zu beenden. <br><br>Die Grafik von The Economist zeigt, um zu vergrößern), zu keiner Zeit vor 1820 war Indien China weniger als 45% des Welt-BIP auf PPP-Basis, und das . Wenn Sie in das Menü zu gelangen, müssen Sie, um die Wiedergabe erneut drücken, Effectivey Sie zu zwingen, da stehen gerade diese Anzeige jedes Mal wenn Sie spielen diese DVD für Ihre child.Most von uns sind nicht allzu gern von Anzeigen zu Beginn des VHS-Kassetten, . <br><br>"Es scheint, anders und sehr interessant.", Sagte Lovell Studenten sind im Alter von denen gerade aus der High School zu den Rentnern in ihrer Mitte der 60er Jahre schauen, um eine neue Karriere zu starten. Von Jason LambThey sagte am Sonntag ein Mann und eine Frau, die ein kleines Kind verwendet, möglicherweise ihre Tochter zu helfen, stehlen ein Paar rosa Ugg boots aus dem Speicher auf Belk Medical Center Parkway.The Mann, Frau und eine 9 oder 10-jährige Mädchen eingegeben . <br><br>M., Campbell, W. Jahrhundert in Frankreich werden schriftlich. Während die Amerikaner eine amtierende Cy Young Gewinner in Dickey starten, [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=196-Nike-Air-Max-Outlet Nike Air Max Outlet] werden die Dominikaner zu Sam Deduno einzuschalten. Es ist vielleicht das mächtigste Beschwörung Johnston berühmtes Diktum, "Animieren Gefühle, nicht in Zeichen." [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=91-Abercrombie-Fitch-Schweiz Abercrombie Fitch Schweiz] Die Freude, in dem Thumper versucht, die leckeren Pflanzen, dann seine langsam, enttäuscht wiederum vor dem Rezitieren seine Lektion zu Mama zu beißen; .<ul>
We prove that if an increasing sequence <math>\{ a_n \}</math> is bounded above, then it is convergent and the limit is <math>\sup\limits_n \{a_n\}</math>.
 
  <li>[http://www.hdsyzxzyz.com/news/html/?4203.html http://www.hdsyzxzyz.com/news/html/?4203.html]</li>
 
  <li>[http://forum.isped.u-bordeaux2.fr/Alzheimer.aspx?g=posts&t=304013 http://forum.isped.u-bordeaux2.fr/Alzheimer.aspx?g=posts&t=304013]</li>
 
  <li>[http://www.yutianshopping.com/news/html/?43564.html http://www.yutianshopping.com/news/html/?43564.html]</li>
 
  <li>[http://spammer-fangen.de/phpbb-201406/viewtopic.php?f=2&t=185934 http://spammer-fangen.de/phpbb-201406/viewtopic.php?f=2&t=185934]</li>
 
  <li>[http://www.asyshow.com/news/html/?11027.html http://www.asyshow.com/news/html/?11027.html]</li>
 
</ul>


Since <math>\{ a_n \}</math> is non-empty and by assumption, it is bounded above, then, by the [[Least upper bound property]] of real numbers, <math>c = \sup_n \{a_n\}</math> exists and is finite. Now for every <math>\varepsilon > 0</math>, there exists <math>a_N</math> such that <math>a_N > c - \varepsilon </math>, since otherwise <math>c - \varepsilon </math> is an upper bound of <math>\{ a_n \}</math>, which contradicts to <math>c</math> being <math>\sup_n \{a_n\}</math>. Then since <math>\{ a_n \}</math> is increasing, <math>\forall n > N , |c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon </math>, hence by definition, the limit of <math>\{ a_n \}</math> is <math>\sup_n \{a_n\}.</math>
== Abercrombie And Fitch Schweiz Outlet ==


===Remark===
Diese Entdeckungen gemeinsam gemacht werden dann aus der Testumgebung bewegt und in dieser realen Welt Organisationen, die einen Katalysator für starke Wachstum realisieren eingesetzt ... Es zeigt, wie effektiv Sie ein Verständnis von diesem Thema haben. <br><br>Nach dem Versuch, das Auto mit seinem Beifahrer Hilfe zu bewegen, gab der Fahrer Niederlage und die Polizei alarmiert. Damit wurden die Arbeiter aus, begann er schrie mich an und dann schreien nahm ein Bild, hol ihn! auf die Polizisten. Als ich anfing, mit ihnen zu arbeiten, wurde das gesamte Team bereits Ausreden, warum sie das Ziel 2013 nicht zu machen.. <br><br>Fans waren in einen Rausch mit dieser neuen Straftat, und das Spiel. Dr. "Der Bedarf an Erfahrung wächst ständig und ein Praktikum kann nicht schneiden, wie es vorher war", so Bollig. Immer Lernen, oft auf Tour, manchmal schriftlich (so viel wie Zeit und Umstand erlaubt), La Dispute macht Musik für 3 6 Jahren (je nachdem wie man es sieht) und will auf die weitere so so lange tun, wie [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=90-Abercrombie-And-Fitch-Schweiz-Outlet Abercrombie And Fitch Schweiz Outlet] sie alle körperlich und emotional in der Lage. <br><br>In diesem Fall benötigen Sie einen OVGuide Video-Downloader. Bereiten Sie die intingolo, mit anderen Worten die Sauce Teil mit den feuchten Zutaten in einem Topf, und sobald es kocht Start sauteing die Zwiebeln und Reis (entfernen Sie die Zwiebeln, wenn sie gebräunt haben, wenn Sie wollen) in einem zweiten Topf, einmal der Reis ist durchscheinend fügen Sie den Wein erwärmt (Rückkehr die Zwiebeln in den Topf an dieser Stelle, wenn man sie entfernt), gefolgt von der ersten Kelle Brühe, sobald [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=73-Ugg-Schweiz Ugg Schweiz] der Wein verdampft ist. <br><br>Er fand nur sechs Personen, die von Meineid im Zusammenhang mit Kongress verurteilt worden war oder bedingte Aufwendungen, geht zurück auf die 1940er Jahre. Jetzt, LKW-Fahrten wahrscheinlich 95% der Zeit. 2 Tage vor Erneuerung in sie eingebrochen und nannte es 440. <br><br>Tumblr die Songs importieren. Die meisten Social-Networking-Websites haben Millionen von Nutzern und Zuschauern und mit der jüngsten Popularität von Social-Networking, wird diese weiter wachsen. Ah no hay nada que descubrir. , Die Veröffentlichung von Videos in der Lage, Videoclip oder vielleicht aufschlussreichen Marketing-Websites sein, ist jedoch nicht [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=56-Longchamp-Le-Pliage-Cuir Longchamp Le Pliage Cuir] ausreichend ist, müssen Sie die richtige Art und Weise zu handeln, um Ihre Fähigkeiten zu präsentieren, um die maximale machbar Menschen zu nehmen wissen. <br><br>Blutflecken sind in der Regel schwierig zu entfernen, da Blut ist bekannt als einer der härtesten Flecken zu bewältigen sein. Hülkenberg in der kanadischen GP Praxis. Wenn es das ist, was ein Mann ist soll aussehen, ich [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=48-Oakley-Online-Shop-Schweiz Oakley Online Shop Schweiz] habe etwas falsch gemacht. Empfohlene Ad-Servern.<ul>
If a sequence of real numbers is decreasing and bounded below, then its [[infimum]] is the limit.
 
  <li>[http://freedomtorock.com/activity/p/16475/ http://freedomtorock.com/activity/p/16475/]</li>
 
  <li>[http://www.acymall.com/news/html/?164698.html http://www.acymall.com/news/html/?164698.html]</li>
 
  <li>[http://www.mermaids.tw/forum/showthread.php?p=2531717#post2531717 http://www.mermaids.tw/forum/showthread.php?p=2531717#post2531717]</li>
 
  <li>[http://www.harrietoneilllaw.com/node/549786 http://www.harrietoneilllaw.com/node/549786]</li>
 
  <li>[http://www.osvaldocarretta.it/node/68#comment-6628480 http://www.osvaldocarretta.it/node/68#comment-6628480]</li>
 
</ul>


== Convergence of a monotone series ==
== Oakley Sonnenbrille Outlet Ich lehnte ab und sagte ==
===Theorem===
If for all natural numbers ''j'' and ''k'', ''a''<sub>''j'',''k''</sub> is a non-negative real number and ''a''<sub>''j'',''k''</sub>&nbsp;≤ ''a''<sub>''j''+1,''k''</sub>, then (see for instance <ref>{{cite book|author=J Yeh|title=Real analysis. Theory of measure and integration|year=2006}}</ref> page 168)
:<math>\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}.</math>


The theorem states that if you have an infinite matrix of non-negative real numbers such that
B-Vitamine sind in hohen erforderlich Stufen für gesunde Nervenempfindlichkeit und Energieproduktion, sowie Verringerung der Belastung, die kann negative Auswirkungen Libido bei Männern.. S., Dawson, D. Um herauszufinden, wie Sie gewinnen können, nur den Kopf über Suite101 Romanze Fiction-Blog. <br><br>Ich lehnte ab und sagte, ich hatte kein Interesse in der Lehre tot Pergament Recht. Kämpfe den langen Krieg, Herr Präsident. Wenn die Zahl höher ist, was bedeutet, dass der Verkaufspreis war nicht hoch genug, um alle diese Kosten zu decken, dann mieten würde die kostengünstigere Wahl .. <br><br>Wir evaluieren eine Reihe von Optionen, die es schwieriger für die Spammer, um Ihr Netzwerk machen wird, auch eine anspruchsvollere anmelden Quiz. Zahlen Sie auf der nachfolgenden Tabelle stellen [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=82-Oakley-Sonnenbrille-Outlet Oakley Sonnenbrille Outlet] einen Spieler NHL Kappe in Millionen zu schlagen, und sind mit freundlicher Genehmigung von CapGeek (obwohl alle Fehler in den Charts sind meine eigenen) .. <br><br>Je mehr Haut zu schützen, können Sie das besser .. Steve Stripling ist die Vols sechsten Defensive Line Coach in ebenso vielen Jahren. Ich habe den Abschluss in 2010 und einen Job zu finden in dem [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=56-Nike-Air-Max-90-Damen-Schweiz Nike Air Max 90 Damen Schweiz] Zustand, ich lebe in ist sogar noch härter. Ich weiß, das klingt wie ein Widerspruch der letzte Tipp, aber glauben Sie mir, Sie werden für bestimmte Keyword-Änderungen, die Sie könnten versuchen dinged bekommen. <br><br>"Es scheint sinnvoll, dass, wenn [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=27-Abercrombie-And-Fitch-Zürich Abercrombie And Fitch Zürich] ein bisschen etwas für Sie gut ist, dann immer besser für Sie sein. Ist das ein Text, der für Ihre Schüler angemessen? Schließlich ist der Zweck wichtig. Es ist beunruhigend für die Teilnehmer, wenn sie glauben, dass unbekannte Personen haben zugehört .. <br><br>Farbe Block tauchte wieder auf einem grauen Hose mit einem schwarzen Streifen vor, sich über die Länge der Innennaht. Disney erlaubt Mitarbeitern, ihre Tätowierungen mit Make-up abdecken, aber sie nicht jede Art von großen Tattoos auf jedem Mitarbeiter die für sie arbeiten zulassen. <br><br>Das Spiel bietet mehr als 40 verschiedene Aktivitäten und wurde entwickelt, um Sie über eine dedizierte Peripherie die drahtlose Wii Balance Board, die mit dem Spiel kommt körperlich fit zu halten. Bei 28 Jahre alt, und die Eingabe 2 gesund, sollte sein Ziel für die kommende Saison ähnlich, um seine Ziele für diese Saison sein ... <br><br>Es geschieht. Sehr wenige 7 Fußzeilen in dem Land besitzen Kirk vielseitige Fähigkeiten, er ist körperliche genug, um sein Territorium in der Farbe zu schaffen, komfortabel Schritt aus [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=13-Timberland-Store-Svizzera Timberland Store Svizzera] und klopfen Sie gelegentlich einen 3-Zeiger und . Januar 2014 12.11 EST2014 01 03 05 .<ul>
#the columns are weakly increasing and bounded, and
 
#for each row, the [[series (mathematics)|series]] whose terms are given by this row has a convergent sum,
  <li>[http://www.cablecarr.com.au/node/12547 http://www.cablecarr.com.au/node/12547]</li>
then the limit of the sums of the rows is equal to the sum of the series whose term ''k'' is given by the limit of column ''k'' (which is also its [[supremum]]). The series has a convergent sum if and only if the (weakly increasing) sequence of row sums is bounded and therefore convergent.  
 
  <li>[http://ukvotism.com/activity/p/416648/ http://ukvotism.com/activity/p/416648/]</li>
 
  <li>[http://www.channelinworld.cn/search/node/%20type%3Awine http://www.channelinworld.cn/search/node/%20type%3Awine]</li>
 
  <li>[http://www.mihmusicbizservices.com/uncategorized/nike-blazer-schweiz-sue/ http://www.mihmusicbizservices.com/uncategorized/nike-blazer-schweiz-sue/]</li>
 
  <li>[http://stcatherinehighalumni.com/activity/p/10472/ http://stcatherinehighalumni.com/activity/p/10472/]</li>
 
</ul>


As an example, consider the infinite series of rows
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::<math>(1+1/n)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk/n^k=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\times\frac nn\times\frac{n-1}n\times\cdots\times\frac{n-k+1}n,</math>
Es kann ein Hobby für sich zu werden. Sobald Sie die Inhalte für eine Reihe von Autoresponder geschrieben habe, sie als eine persönliche Marketing-Arm für Sie dienen kann, da sie personalisiert werden [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=67-Nike-High-Heels Nike High Heels] kann und geben potenziellen Kunden den Eindruck, dass Sie das Schreiben eines persönlichen E-Mail, nur um sie. <br><br>Jobs war ein Design-Genie. Obwohl die CRTC wies die Sonne-Nachrichten-Anwendung, sie leitete auch eine Überprüfung der Regelungen rund um Kabel-Nachrichtennetze. Anucha Romyanan .. Ich sprach mit Jenny Wright, einem Abschnitt 8 Polizisten hier in Chattanooga. <br><br>Sie werden sehen, dass die 45-minütige Fahrt von Buffalo Airways betrieben wird, [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=25-New-Balance-Store New Balance Store] ist fast immer pünktlich. Es [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=66-Abercrombie-Fitch-Luxemburg Abercrombie Fitch Luxemburg] hat dazu beigetragen, Unternehmen, ihr Geschäft mit einer Marke zu etablieren und es leichter gemacht hat, für sie, alles zu effektiv zu verwalten und sparen viel Zeit, Manpower .. <br><br>Das Wort Liebe wurde von 1742 bis Tennis eingeführt, um keine Punkte aus dem Begriff spielen "für die Liebe" bedeutet, kam der Begriff "spielen für nichts." Liebe und SexOf natürlich die sexuelle Bedeutung der Liebe von den Anfängen der Old English anwesend war . <br><br>Ihre Käufer Liste ist, wo das Gold ist .. Und ich würde sie in der Freund-Zone zu werfen. Zählen Sie bis drei auf der in der Atemluft, und vier auf der aus breath.Talk zu yourselfAffirmations sind positiv, selbstbejahend Nachrichten an Selbst. "Man kann es schneller gehen, können Sie nicht machen es langsamer gehen. <br><br>Das war die Lehre aus den Mysterienschulen des Egypt.The symbolische Bedeutung der RainbowA einzigen Lichtstrahl enthält die sieben Farben des Regenbogens und damit auch der menschliche Geist, der sich durch sieben Grad des Bewusstseins offenbart .. <br><br>Ein Kongress-Bewegung, solche Sammlung defund wurde von nur 12 Stimmen im Zuge der revelation.Previously Geheimnis Gericht des Programms besiegt auferlegten Regeln vom Guardian veröffentlicht wurden, zeigten eine Vielzahl von Fällen, in denen die Daten von US-Personen ohne Haftbefehl gesammelt gespeichert werden könnten, . <br><br>Es Zeit, einen grip.Enter Dalia Maori, einen registrierten Ernährungsberater und ganzheitlichen Ernährungsberater bekommen; wir in sicheren Händen. Dass Sie für die Art, mit mir zu sprechen und behandeln mich verantwortlich. Berichte über einen Vorfall, in dem Thomas offensichtlich überdosiert auf 10 Lunesta Pillen (und dann versucht zu behaupten, dass es seine Tochter war, nicht er, der ins Krankenhaus gebracht wurde), so seltsam und beunruhigend waren, dass selbst die erbittertsten Knicks-Fans [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=41-Pandora-Anhänger-Preise Pandora Anhänger Preise] gezögert, die offensichtlich Witz zu machen: dass Thomas konnte nicht einmal einen Selbstmord abziehen richtig..<ul>
 
  <li>[http://www.bbscan.com/news/html/?36528.html http://www.bbscan.com/news/html/?36528.html]</li>
 
  <li>[http://www.zxcqtl.com/news/html/?471589.html http://www.zxcqtl.com/news/html/?471589.html]</li>
 
  <li>[http://219.133.37.42:8813/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1182631&fromuid=237388 http://219.133.37.42:8813/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1182631&fromuid=237388]</li>
 
  <li>[http://www.imodium.es/node/398644 http://www.imodium.es/node/398644]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
 
</ul>


where ''n'' approaches infinity (the limit of this series is [[e (mathematical constant)|e]]). Here the matrix entry in row ''n'' and column ''k'' is
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:<math>\binom nk/n^k=\frac1{k!}\times\frac nn\times\frac{n-1}n\times\cdots\times\frac{n-k+1}n;</math>
Prüfungen am Karnataka State Open University, Mysore [a] Erschien und schrieb CAIIB und JAIIB am Indian Institute of Bankers, [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=213-Nike-Air-Max-Schuhe-Billig-Kaufen Nike Air Max Schuhe Billig Kaufen] Mumbai [b] Got Zertifiziert für Computer Literacy [c] Got Certified for Master Trainer bei CBR NETWORK, Südasien, Bangalore [d . <br><br>Auf jeder Spielrunde erhalten die Spieler 20 Credits, und wählen könnten dazu beitragen, bis zu dieser Höhe zu einem Gruppenprojekt. "In den nächsten 48 bis 72 Stunden, wird Ihr Körper umbaut und heilt, dass Gewebe mit Aminosäuren, so dass es stärker, oder, wenn Sie gerade erst anfangen und brauchen, um Muskelmasse zu gewinnen, langsam wächst der Muskel." . <br><br>Wurden die Ideen des Anaximander und andere Geozentrisch Astronomen gesammelt und kodifiziert . Wie Scribd, ist dies eine eine web-basierte Bildschirmleseerlebnis, aber es hat den zusätzlichen Vorteil einer Live-Inhaltsverzeichnis (siehe oben), so können Sie problemlos von Kapitel zu Kapitel oder Seitenleisten oben ziehen, ohne zu Seite durch das Buch . <br><br>Das heißt, Sustainist Der Blog ist die . Dass es eine [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=53-Ralph-Lauren-Schweiz Ralph Lauren Schweiz] unendliche Anzahl von Primzahlen. Es ist eine kurze Projektbeschreibung, die von jedermann ohne Aufwand geschlossen werden können. Schau auf Nigeria, mieten durch ständige Angriffe, die nicht scheuen Sie die Unschuldigen und Wehrlosen. <br><br>Politiker zu tun haben, was die Leute dafür stimmen, und das ist nicht immer die beste Sache zu tun. James Thickett Ofcom Direktor der Forschung, sagte: Forschung zeigt, dass immer mehr Familien im Wohnzimmer versammeln, um TV, so wie sie in den 1950er Jahren waren zu sehen, aber jetzt größer, breiter und anspruchsvoller sets.The 1950er-Familie geliefert, aber sie . <br><br>Dieses Risiko ist, was ich als ein Nachteil Überraschung als Haupt ist nicht in Gefahr, aber die Investition, die Sie dachte, war verdienen 10% pro Jahr plötzlich mit einer niedrigen gesetzlichen Zinsen wegen eines Schreibfehlers zurückgeschickt .. Ich wusste nicht, was ich noch sagen, so habe ich ihm gesagt, um die Website auschecken .. <br><br>Scheint, dass die erste Vorhersage hat sich [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=51-Nike-High-Heels-Schweiz-Bestellen Nike High Heels Schweiz Bestellen] erfüllt, als die USA in den Prozess der Eingabe einer Rezession, da der jetzt Ende 2011 ... Sie werden Zion mit Gesang geben; [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=43-Lacoste-Polo-Slim-Fit Lacoste Polo Slim Fit] ewige Freude wird krönen ihre Freude und Wonne werden sie ergreifen, und Schmerz und Seufzen wird entfliehen "Jesaja 35: 10Fulfillment der Prophezeiung:". <br><br>Auftragnehmer-Beziehungen. Für einige von uns, die eine Grüne Haustiertür war nur ein zusätzlicher Bonus zu unserer Kauf. Es gibt weniger als 400 Betten im Land für eine Bevölkerung, die das Center for American Progress Schätzungen zwischen 320.000 und 400.000 sein.<ul>
 
  <li>[http://www.imodium.es/node/398689 http://www.imodium.es/node/398689]</li>
 
  <li>[http://hao.qjxxw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=308588&fromuid=46037 http://hao.qjxxw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=308588&fromuid=46037]</li>
 
  <li>[http://bbs.0714.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4115677&fromuid=767842 http://bbs.0714.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4115677&fromuid=767842]</li>
 
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  <li>[http://xbzd.bdu.edu.cn/xbzd/zwx1/bbs/boke.asp?gacucspp.showtopic.74295.html http://xbzd.bdu.edu.cn/xbzd/zwx1/bbs/boke.asp?gacucspp.showtopic.74295.html]</li>
 
</ul>


the columns (fixed ''k'') are indeed weakly increasing with ''n'' and bounded (by 1/''k''!), while the rows only have finitely many nonzero terms, so condition 2 is satisfied; the theorem now says that you can compute the limit of the row sums <math>(1+1/n)^n</math> by taking the sum of the column limits, namely&nbsp;<math>\frac1{k!}</math>.
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== Lebesgue's monotone convergence theorem ==
Emily wurde Iowa Spotlight on Technology in Education Award, den Prometheus-Preis für Innovation in der Bildung ausgezeichnet, und der Neal Smith Entrepreneur of the Year Award.. Ärzte, Juristen, Krankenschwestern, PTA-Mitglieder, Ingenieure ", sagte Millikan.TSC hat in Nashville [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=114-Uggs-Schuhe-Zürich Uggs Schuhe Zürich] seit 33 Jahren und verfügt über Tausende von members.Forecasts für weitere Aufregungen über Nacht genannt, mit Temperaturen in Middle Tennessee kälter und kälter in den nächsten Tagen . <br><br>Und Chicago wären die einzigen Bewerber für Iginla sein. "wurde ihr gesagt, diese Stiefel anziehen und tragen sie aus dem Laden, so dass sie entweder wusste, dass sie gesagt, etwas Falsches zu tun oder sie wurde angehoben, um dies zu tun und doesn glaube, es war ein Problem mit ihm ", sagte [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=54-Ralph-Lauren-Polos Ralph Lauren Polos] Officer Amy Norville mit dem Murfreesboro Police Department.. <br><br>Es bedeutet, das Streben nach Exzellenz. Wir bieten nicht die klassische Aussehen Editor für neue Ning-Netzwerke mehr (ehrlich gesagt, glauben wir nicht, es ist fast so gut wie das Design Studio), aber wenn Sie sich für Informationen über sie suchen, können Sie ihn hier lesen ... <br><br>In anderen Welten, die sie noch haben, gibt Liebsten mit ihnen und ihrem Leben weitergehen ungetrübt von der Tragödie, die wir in dieser Welt erlebt haben. Sanjay Tripathy, Executive Vice President, Marketing, Produkt-und Direktvertriebskanälen, wobei HDFC Leben, dass das Unternehmen habe eine Menge ATL-Kampagnen auf [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=79-Ralph-Lauren-Online-Store-Us Ralph Lauren Online Store Us] die traditionellen Medien, aber das Hauptproblem bei solchen Aktionen war, dass sie die Zeit gebunden und es war sehr schwer aufrecht zu erhalten . <br><br>Die beste Antwort, die ich bekam, war von der freien und klare Liste der Hausbesitzer. Der Erfolg der Call Center-Branche in den Philippinen wurde durch den Erfolg der zahlreichen Call-Center-Unternehmen und Agenturen in den Philippinen bietet Outsourcing-Dienstleistungen für viele Unternehmen nicht nur auf den Philippinen angeheizt, aber in der ganzen Welt.. <br><br>Sie sagen, dass wir nie wirklich wissen, was [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=22-Oakley-Holbrook-Matte-Black Oakley Holbrook Matte Black] wir haben, bis es weg ist. Und Sie dort als Finanzberater wirbt Ihre 7% Rendite zu sitzen? Wirklich? Es tut uns leid Kumpel, du gescheitert! Sie können Ihre Brust pochen auf 7%, wenn Sie sollten geben ein Vielfaches von dem in einem Jahr wie diesem .. <br><br>Sie allein sind verantwortlich und rechenschaftspflichtig für Ihre Entscheidungen, Maßnahmen und Ergebnisse im Leben, und durch Ihre Nutzung der Websites stimmen Sie nicht zu versuchen, uns haftet für solche Entscheidungen, Handlungen oder Ergebnisse halten, zu jeder Zeit, unter allen Umständen.<ul>
 
 
This theorem generalizes the previous one, and is probably the most important monotone convergence theorem. It is also known as [[Beppo Levi]]'s theorem.
  <li>[http://nttu.2taitung.net/dis06/forum.php?mod=viewthread&tid=570086 http://nttu.2taitung.net/dis06/forum.php?mod=viewthread&tid=570086]</li>
 
 
===Theorem===
  <li>[http://58.64.200.26/bbs/showtopic-920604.aspx http://58.64.200.26/bbs/showtopic-920604.aspx]</li>
Let (''X'',&nbsp;Σ,&nbsp;''μ'') be a [[measure (mathematics)|measure space]]. Let <math> f_1, f_2, \ldots</math>&nbsp; be a pointwise non-decreasing sequence of [0,&nbsp;∞]-valued Σ&ndash;[[Measurable function|measurable]] functions, ''i.e.'' for every ''k''&nbsp;≥&nbsp;1 and every ''x''&nbsp;in&nbsp;''X'', 
 
 
  <li>[http://www.harrietoneilllaw.com/node/549808 http://www.harrietoneilllaw.com/node/549808]</li>
:<math> 0 \leq f_k(x) \leq f_{k+1}(x). \, </math>
 
 
  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?223438.html http://tztea.com.cn/news/html/?223438.html]</li>
Next, set the pointwise limit of the sequence <math>(f_{n})</math> to be ''f''. That is, for every  ''x''&nbsp;in  ''X'',
 
 
  <li>[http://w.1122ww.com/news/html/?364447.html http://w.1122ww.com/news/html/?364447.html]</li>
:<math> f(x):= \lim_{k\to\infty} f_k(x). \, </math>
 
 
</ul>
Then ''f'' is Σ&ndash;[[Measurable function|measurable]] and
 
:<math>\lim_{k\to\infty} \int f_k \, \mathrm{d}\mu = \int f \, \mathrm{d}\mu. </math>
 
'''Remark.''' If the sequence <math>(f_k)</math> satisfies the assumptions ''μ''&ndash;almost everywhere, one can find a set ''N''&nbsp;∈&nbsp;Σ with ''μ''(''N'')&nbsp;= 0 such that the sequence <math>(f_k(x))</math> is non-decreasing for every <math>x \notin N</math>. The result remains true because for every ''k'',
 
:<math> \int f_k \, \mathrm{d}\mu = \int_{X \backslash N} f_k \, \mathrm{d}\mu, \ \text{and} \ \int f \, \mathrm{d}\mu = \int_{X \backslash N} f \, \mathrm{d}\mu, </math>
 
provided that f is Σ&ndash;measurable (see for instance <ref name="SCHECHTER1997">{{cite book|author=Erik Schechter|title=Analysis and Its Foundations|year=1997}}</ref> section 21.38).
 
===Proof===
We will first show that ''f'' is Σ&ndash;[[Measurable function|measurable]]  (see for instance <ref name="SCHECHTER1997"/> section 21.3). To do this, it is sufficient to show that the inverse image of an interval [0,&nbsp;''t''] under ''f'' is an element of the [[Sigma-algebra|sigma algebra]] Σ on ''X'', because (closed) intervals generate the [[Borel sigma algebra]] on the reals. Let ''I''&nbsp;= [0,&nbsp;''t''] be such a subinterval of [0,&nbsp;∞]. Let
 
:<math> f^{-1}(I) = \{x\in X \,|\, f(x)\in I \}. </math>
 
Since ''I'' is a closed interval and <math>\forall k, f_k(x) \le f(x)</math>,
 
:<math>f(x)\in I \Leftrightarrow f_k(x)\in I, ~ \forall k\in \mathbb{N}.</math>
 
Thus,  
 
:<math>\{x\in X \,|\, f(x)\in I\} = \bigcap_{k\in \mathbb{N}} \{x\in X \,|\, f_k(x)\in I\}.</math>
 
Note that each set in the countable intersection is an element of Σ because it is the inverse image of a [[Borel subset]] under a Σ-[[Measurable function|measurable]] function <math> f_k </math>. Since sigma algebras are, by definition, closed under countable intersections, this shows that ''f'' is Σ-measurable. In general, the supremum of any countable family of measurable functions is also measurable.  
 
Now we will prove the rest of the monotone convergence theorem. The fact that ''f'' is Σ-measurable implies that the expression <math> \int f \, \mathrm{d}\mu </math> is well defined.
 
We will start by showing that <math> \int f \, \mathrm{d} \mu \geq \lim_k \int f_k \, \mathrm{d} \mu. </math>
 
By the definition of the [[Lebesgue integration|Lebesgue integral]],
 
:<math> \int f \, \mathrm{d} \mu = \sup \left\{\int g \, \mathrm{d} \mu \,|\, g \in SF, \ g\leq f \right\}, </math>
 
where SF is the set of Σ-measurable [[Simple function|simple functions ]] on ''X''. Since <math>f_k(x)\leq f(x)</math> at every ''x''&nbsp;∈ ''X'', we have that
 
:<math>\left\{\int g \, \mathrm{d} \mu \,|\, g \in SF, \ g\leq f_k \right\}\subseteq \left\{\int g \, \mathrm{d} \mu \,|\, g \in SF, \ g\leq f \right\}.</math>
 
Hence, since the supremum of a subset cannot be larger than that of the whole set, we have that:
 
:<math> \int f \, \mathrm{d} \mu \geq \lim_k \int f_k \, \mathrm{d} \mu,</math> 
 
and the limit on the right exists, since the sequence is monotonic.
 
We now prove the inequality in the other direction (which also follows from [[Fatou's lemma]]), that is we seek to show that
 
:<math> \int f \, \mathrm{d} \mu \leq \lim_k \int f_k \, \mathrm{d} \mu. </math>  
 
It follows from the definition of integral, that there is a non-decreasing sequence (''g''<sub>''k''</sub>) of non-negative simple functions such that ''g''<sub>''k''</sub>&nbsp;≤ ''f'' and such that
 
:<math> \lim_k \int g_k \, \mathrm{d} \mu = \int f \, \mathrm{d} \mu. </math>
 
It suffices to prove that for each <math>k\in \mathbb{N} </math>,
 
:<math>  \int g_k \, \mathrm{d}\mu \leq \lim_j \int f_j \, \mathrm{d}\mu</math>
 
because if this is true for each ''k'', then the limit of the left-hand side will also be less than or equal to the right-hand side.
 
We will show that if ''g''<sub>''k''</sub> is a simple function and
 
:<math> \lim_j f_j(x) \geq g_k(x) \, </math>
 
for every ''x'', then
 
:<math> \lim_j \int f_j \, \mathrm{d} \mu \geq \int g_k \, \mathrm{d} \mu.</math>
 
Since the integral is linear, we may break up the function <math>g_k</math> into its constant value parts, reducing to the case in which <math>g_k</math> is the indicator function of an element ''B'' of the sigma algebra&nbsp;Σ. In this case, we assume that <math>f_j</math> is a sequence of measurable functions whose supremum at every point of ''B'' is greater than or equal to one.
To prove this result, fix ''ε''&nbsp;> 0 and define the sequence of measurable sets
 
:<math> B_n = \{x \in B: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}. \, </math>
 
By monotonicity of the integral, it follows that for any <math>n\in \mathbb{N}</math>,
 
:<math> \mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} \, \mathrm{d} \mu \leq \int f_n \, \mathrm{d} \mu </math>
 
By the assumption that <math> \lim_j f_j(x) \geq g_k(x) </math>, any ''x'' in ''B'' will be in <math>B_n</math> for sufficiently high values of ''n'', and therefore
 
:<math> \bigcup_n B_n = B.</math>
 
Thus, we have that
 
:<math> \int g_k \, \mathrm{d} \mu =\int 1_B \, \mathrm{d}\mu = \mu(B) = \mu\left(\bigcup_n B_n\right) .</math>
 
Using the monotonicity property of measures, we can continue the above equalities as follows:
:<math>\mu\left(\bigcup_n B_n\right)=\lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n \, \mathrm{d}\mu. </math>
 
Taking ''k''&nbsp;→&nbsp;∞, and using the fact that this is true for any positive&nbsp;''ε'', the result follows.
 
==See also==
*[[Infinite series]]
*[[Dominated convergence theorem]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
[[Category:Articles containing proofs]]
 
[[Category:Theorems in calculus]]
[[Category:Sequences and series]]
[[Category:Theorems in real analysis]]
[[Category:Theorems in measure theory]]
 
[[it:Passaggio al limite sotto segno di integrale#Integrale di Lebesgue]]

Latest revision as of 01:27, 13 November 2014

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