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| {{hatnote|This article covers advanced notions. For basic topics, see [[Group (mathematics)]].}}
| | == Abercrombie Outlet Schweiz 62 == |
| {{Group theory sidebar}}
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| In [[mathematics]] and [[abstract algebra]], '''group theory''' studies the [[algebraic structure]]s known as [[group (mathematics)|groups]].
| | Großes Werkzeug, dieser Beitrag hat sich für ein ruhiges gewesen, während jetzt, damit ich mich, ob einer dieser drei Dienste hat diese Server-IP für das Senden zu viele Pings Greylist? Ich weiß, dass viele der Websites, die Pings von einigen der größeren Pinger akzeptieren wie Pingoat Pingler bekommen, dass auch wenn es vielleicht noch geben sie die für die Ping-Antwort. Ive erhielt eine Website, die auf dem gleichen Konzept wie die beiden eben [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet Schweiz] genannten i genannt PingNinja verbessern versucht. Um zu umgehen, dass ich schon mit ihm zu drehen zwischen einem Pool von IP-Adressen auf dem Server. So weit, so gut. Ich war auch in der Lage zu beschleunigen den gesamten Prozess, wenn mehrere Dienste Pingen wenn ich don haben die Fähigkeit, mehrere URLs anpingen wie du (Es wird nur Ping eine URL zu einem Zeitpunkt) zu tun. Sorry für die Mini-selfpromotion, fühlen Sie sich frei, diesen Teil aus / nofollow es geschnitten, aber ich neugierig, ob Sie eine Änderung in der Art, wie die Server reagieren auf Pings auf dieser Seite gesendet bemerkt. <br><br>Parteien mit Menüs rund um Tee gebaut waren anscheinend der letzte Schrei in der New York kulturellen Klima, in dem Beitrag schrieb, und war so unter den Prominenten auf beiden Seiten des Teiches seit der Herrschaft von Königin Victoria gewesen. Obwohl Tee-Partys nicht mehr Routine Einträge auf den meisten unserer sozialen Kalender, sie als Neuheit weiter, in der Regel mit einem Nicken auf die historische Periode, in der der Brauch gediehen und oft als eine Spendenaktion für einen guten Zweck. <br><br>Natürlich ist die aktuelle Iteration Romney vermutlich findet diese Offensive. Immerhin glaubt Präsident Obama erfolgreiche Unternehmen sind das Ergebnis von Eigeninitiative und öffentliche Institutionen, und Romney verbrachte fast die gesamte letzte Woche argumentiert, dass ein solcher Glaube ist "fremd", ein Angriff auf Erfolg, Nachweis des Radikalismus, [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Store Zürich] und ein Versuch, zu verunglimpfen <br><br>Der Verkäufer, Alan Maultiere, 62, kaufte das Grundstück mit seinen exwife im Jahr 2000 für rund $ 400.000. Seitdem eines der Bäder renoviert wurde, ein drittes Badezimmer legen, ein walkinwardrobe [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Tasche] im Schlafzimmer installiert, ein Regenwasserablauf in gesetzt und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] die Außenseite des Hauses gemalt. "Wir sind wirklich mit der Reaktion des Marktes begeistert, das ist sicher", sagte Maultiere. <br><br>Als Konsumsteuer die GST ist, dass es trifft die Armen überproportional, aber das kann durch Kredite wie GST Rabatte bundes und Rabatte provinziell zu Hause Heizung ausgeglichen werden. Diese Flexibilität sollte attraktiv Fürsprecher für die Armen sein. Umweltschützer sollten hardpressed werden, um gegen eine Steuer auf den Verbrauch argumentieren als das Niveau der Produktion von Waren ist im Zusammenhang mit Umweltbelastungen.<ul> |
| The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as [[ring (mathematics)|rings]], [[field (mathematics)|fields]], and [[vector space]]s can all be seen as groups endowed with additional [[operation (mathematics)|operation]]s and [[axiom]]s. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have strongly influenced many parts of algebra.<!--Should we mention the [[Krull–Schmidt theorem]] here?--> [[Linear algebraic group]]s and [[Lie group]]s are two branches of group theory that have experienced tremendous advances and have become subject areas in their own right.
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| | <li>[http://wariua.egloos.com/2255292/ http://wariua.egloos.com/2255292/]</li> |
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| | <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/ http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/]</li> |
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| | <li>[http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1241549&sid= http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1241549&sid=]</li> |
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| | <li>[http://mjkcos.egloos.com/3391465/ http://mjkcos.egloos.com/3391465/]</li> |
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| Various physical systems, such as [[crystal]]s and the [[hydrogen atom]], can be modelled by [[symmetry group]]s. Thus group theory and the closely related [[representation theory]] have many important applications in [[physics]] and [[chemistry]].
| | == Nike Schuhe Daily Beast == |
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| One of the most important mathematical achievements of the 20th century<ref>* Elwes, Richard, "[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups,]" ''Plus Magazine'', Issue 41, December 2006.</ref> was the collaborative effort, taking up more than 10,000 journal pages and mostly published between 1960 and 1980, that culminated in a complete [[classification of finite simple groups]].
| | Jeder Tag, den wir leben unser Leben ist so mit einer "analytischen Art der Aufmerksamkeit" (Daily Beast) sind wir immer betont darüber Tests, die Arbeit und die Entscheidungen, die wir konfrontiert mit dem Alltag konzentriert. Dies kann so ermüdend und macht unser Bedürfnis nach Natur sogar noch größer. Der Artikel besagt, dass "Umgang mit der Natur verschiebt den Geist zu einer entspannten und passiven Modus, so dass die mehr analytische Kräfte, um sich wieder herzustellen." (Daily Beast).<br><br>Herr Bleijie die diese geschaffen Kosten und Formalitäten für die Ereignisse, die er als "im Wesentlichen eine Gruppe von Müttern und Vätern immer [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Schuhe] zusammen versuchen, Geld für ihre Schule zu erhöhen P ist wichtig, um die Verantwortlichkeit im Interesse der Gemeinschaft zu erhalten, aber ich denke es ist auch wichtig, beschrieben <br><br>Wenn Sie gerade erst anfangen, in Ihrem Unternehmen, können Sie nicht über ein großes Budget, um auf Dinge wie Marketing und Werbung ausgeben. Dies bedeutet, dass, wenn Sie für den besten Blog-Site für kleine Unternehmen, die Sie benötigen, um Ihre Aufmerksamkeit auf diejenigen, die keine oder nur [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] minimale Gebühren Gebühren an allen aufladen konzentrieren zu suchen. <br><br>Pferd Cumshot Anal Verschraubungen Dick in einer Box-Video Wie man eine Strickleiter zu machen Las Vegas Strip-Clubs Kirche inuyasha Zitrone asiatischen catfights Lecken Erotische Massage atlanta Amatur Partnersuche, Dating-Websites Online-Dating Lucy Pinder oben ohne asiatische Homosexuell Sex Dolly Parton Nackt Harley babes Männer im Schlüpfer Latina anal Karate Hose Babes täglich Pferd hing Jocks Intime Teen Chat Channel 69 News Creampie Frauen Mädchen pinkeln im Stehen Hot schwangere Mädchen Papa tragen Täglich Domina Adult-Video-Sites Titten Video Genitalwarzen-Entferner Preiswert Dessous Certified rechtliche Krankenschwester Berater Feminisierung Demütigung Ficken [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] Dungeon Boyz zu Männern Homosexuell männlich mpegs Girls Gone Wild unzensierte Daddy Yankee Amateur Stripper lateinischen [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] Könige Calvin Klein männliche Models Erwachsene anime inuyasha Zeichnungen von Dick Film Galerien zusammen Porno Britany spears sex tape Flirt Chat Gothic Teen Schlampen Debella Freunden hot mom Gebildete Pussy Erotische Dienstleistungen Gezeichnet<br><br>In der Zwischenzeit eine Gruppe von Konkurrenten haben sich auf König Elizabello II gekuppelt, während Bluegilly verspottet ihn sagen, dass er jetzt ungeschützt dem der König erwidert zurück zu Bluegilly mit einer Drohung von seiner eigenen. Das Publikum ist jetzt sehr neugierig, was als nächstes passieren wird, da sie über die Macht der Elizabello Schläge gehört haben, und sie beschließen, wegzulaufen, wenn er beginnt, bereitet sich auf Schlag.<ul> |
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| | <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/"/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/"/]</li> |
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| ==History== | | == Nike Shoes Inc. == |
| {{Main|History of group theory}}
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| Group theory has three main historical sources: [[number theory]], the theory of [[algebraic equation]]s, and [[geometry]]. The number-theoretic strand was begun by [[Leonhard Euler]], and developed by [[Carl Friedrich Gauss|Gauss's]] work on [[modular arithmetic]] and additive and multiplicative groups related to [[quadratic field]]s. Early results about [[permutation group]]s were obtained by [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Paolo Ruffini|Ruffini]], and [[Niels Henrik Abel|Abel]] in their quest for general solutions of polynomial equations of high degree. [[Évariste Galois]] coined the term "group" and established a connection, now known as [[Galois theory]], between the nascent theory of groups and [[field theory (mathematics)|field theory]]. In geometry, groups first became important in [[projective geometry]] and, later, [[non-Euclidean geometry]]. [[Felix Klein]]'s [[Erlangen program]] proclaimed group theory to be the organizing principle of geometry.
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| [[Évariste Galois|Galois]], in the 1830s, was the first to employ groups to determine the solvability of [[polynomial equation]]s. [[Arthur Cayley]] and [[Augustin Louis Cauchy]] pushed these investigations further by creating the theory of [[permutation groups]]. The second historical source for groups stems from [[geometry|geometrical]] situations. In an attempt to come to grips with possible geometries (such as [[euclidean geometry|euclidean]], [[hyperbolic geometry|hyperbolic]] or [[projective geometry]]) using group theory, [[Felix Klein]] initiated the [[Erlangen programme]]. [[Sophus Lie]], in 1884, started using groups (now called [[Lie group]]s) attached to [[analysis (mathematics)|analytic]] problems. Thirdly, groups were (first implicitly and later explicitly) used in [[algebraic number theory]]. | | AINonline ist eine Veröffentlichung von The Convention Nachrichten Co., Inc., 214 Franklin Avenue, Midland Park, NJ 07432. Vervielfältigung im [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Shoes] Ganzen oder in Teilen ist ohne Erlaubnis von The Convention Nachrichten Co., Inc., ist streng verboten. Das Übereinkommen Nachrichten Co., Inc., veröffentlicht Aviation International News, AINalerts, AIN Defense Perspektive, AIN Air Transport Perspektive, AINmxReports, Business Jet Traveler, BJTwaypoints, Dubai Airshow News EBACE Convention Nachrichten, Farnborough Airshow Nachrichten, HAI Convention Nachrichten, MEBA <br><br>Bitte auch abonnieren und / oder auf meiner verschiedenen Ernährung, Gesundheit, Kultur-oder Mediensäulen wie die Sacramento Ernährung Examiner Spalte, Sacramento Gesunde Trends Examiner Spalte, die Sacramento Ganzheitliche Family Health-Prüfer, der Sacramento Medien Kultur Examiner, und mein nationalen Spalten : National Healthy Trends Examiner Spalte, National Senior Examiner Gesundheit Säule und der National-Kinderernährung Examiner Spalte.<br><br>James Bond trug eine Rolex Omega doesn wollen Sie das wissen, aber das Original James Bond zu sehen war eine Rolex Submariner. Schöpfer Ian Fleming schrieb, dass Bond trug die Uhr, während Sean Connery in der Rolle schwang seine Submariner stolz. Zahlreiche Schauspieler, Prominente und Politiker haben auch dafür bekannt, Rolex Männer. Präsidenten (und auch sonst) im 20. Jahrhundert bekannt waren, um die Uhr zu tragen. Das Tragen einer Rolex und mit diesen Menschen und Persönlichkeiten verbunden sind, können kaum als etwas, was Sie vermeiden wollen, beschrieben werden.<br><br>Beachten Sie, dass Motoren mehr Wert auf Webseiten, die Sie verlinken auf qualitativ hochwertigen Inhalten zu suchen. Suchmaschinen verwenden Sie die Links auf einer Website neben einer Vielzahl von anderen Faktoren zu beurteilen, ob die Seite ist Spam ist oder nicht. Spam Webseiten verlinken Regel zu anderen Spam-Websites in der Erwägung, hochwertigen Websites verlinken, um anderen hochwertigen Websites. Als solcher, durch die Verknüpfung sorgfältig aus, um hochwertige Websites in Ihrer Nische, können Sie in der Tat verbessern Sie Ihre Suchmaschinen-Ranking.<br><br>Nach dem Zweiten Weltkrieg nahmen die Olympischen Spiele auf eine größere politische Bedeutung als Beteiligung kam zu politischen Anerkennung und Legitimität zu symbolisieren. Deutschland und Japan wurden wegen ihrer Kriegs Rollen nicht nach London eingeladen, während die Sowjetunion eingeladen, aber nicht erschienen. Nach Großbritannien die Verantwortung, um die Sportler ernähren zu begrenzen, wurde vereinbart, dass sich die Teilnehmer [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max 90] ihr eigenes Essen mitbringen. Keine neuen Anlagen wurden gebaut, aber Wembley-Stadion hatte den Krieg überlebt und erwies sich als ausreichend. Die männlichen Athleten wurden in einem Militärlager in Uxbridge und die Frauen am Southlands College in domitories untergebracht untergebracht. Die Spiele in London 1948 waren die ersten, im Fernsehen gezeigt werden, [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Store Zürich] obwohl nur sehr wenige Menschen in Großbritannien noch im Besitz Sets. Obwohl es war viel darüber diskutiert worden, ob nicht für die Olympischen Spiele 1948 zu halten, drehte [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] sie sich zu großen populären Erfolg.<ul> |
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| | <li>[http://www.tc139.cn/news/html/?231717.html http://www.tc139.cn/news/html/?231717.html]</li> |
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| The different scope of these early sources resulted in different notions of groups. The theory of groups was unified starting around 1880. Since then, the impact of group theory has been ever growing, giving rise to the birth of [[abstract algebra]] in the early 20th century, [[representation theory]], and many more influential spin-off domains. The [[classification of finite simple groups]] is a vast body of work from the mid 20th century, classifying all the [[finite set|finite]] [[simple group]]s.
| | == Louis Vuitton Salzburg es der festlichen Jahreszeit == |
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| == Main classes of groups ==
| | Gleichzeitig anderswo auf dem Schiff beginnt die guten Captain Kirk, Anzeichen von Schwäche zu zeigen, seiner Fähigkeit, Aufträge und Befehle, die so genannte geben offenbar zu verlieren 'Macht der Entscheidung.' Mit Hilfe von Mr.. Es kann schwierig sein, sich vorzustellen, dass ein Buch [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] so reich in der Wissenschaft kann auch ein page turner, aber dies ein schwer zu abgesetzt ist. <br><br>Und dann kam die Broschüre aus Oregon (wo das Ding versucht), die Broschüre mit dem Titel 'Warum sollte Salz leiden?' und es gab mehr Mühe .. Sie sind nicht wieder aufgeladen. Kette in Kalifornien (im Gegensatz zu 300 neue in Texas). Ich mag die Single. <br><br>Anrufe auf 070-Nummern kosten bis zu 77p/min [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] und 09 Nummern kosten bis zu 255p/min. Schalheit ist eine psychische Ermüdung durch oft Sorgen zu machen oder zu nahe Aufmerksamkeit auf Tennis, und nicht genug Vielfalt des Denkens.. Wir würden immer übereinander auf der Straße laufen hier und da. <br><br>Nachdem ich ihn in einer geschlossenen psychiatrischen Abteilung tatsächlichen Holz retraint als 'Utica Krippe' bekannt ist, durch Vater war wieder aus. Entfernt einige Fälle von Schutt in bestimmten Rennen, einschließlich der aus dem Karton the Drain-Rennen. <br><br>Rosen nicht im Fall angeklagt, aber der Vorschlag, in einem Regierungsdokument, das ein Reporter könnte der Spionage für einen Eingriff in sein Routinemeldungen ist beispiellos und hat viele Journalisten und Bürgerrechtler alarmiert ... Denn so lange es nicht zu einem Fall zu machen, ihre Hierarchie einfach das Gesetz festgelegt .. <br><br>Wenn Schmerzsignale können durch die winzige elektrische Schocks aus dem TENS Gerät blockiert werden kann, dann wird das Gehirn weniger Signale von der Quelle erhalten der Schmerz ... Lefkove und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Günstig] Curtin sind Dreharbeiten für eine Ende Februar / Anfang März Öffnung .. <br><br>In einem Bett in der Ecke des Raumes, ihr kleiner Junge liegt krank. Unsere aktuellen nationalen Kampagne ist zu 100% übernehmen Respekt, wo die Studenten in Australien arbeiten, um eine Welt, die auf der Achtung erstellen.. Und bevor ich dich verlassen, du wirst feststellen, dass mir und Uncle Sam sind ein in der gleichen .. <br><br>'Obwohl die Quanten von Anfällen erhöht hat, unserer Meinung nach nur 1 bis 2 Prozent des [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Gesamt Schmuggel widerspiegelt', sagte ein Geheimdienstoffizier Umsatz in Mumbai, der nicht genannt werden wollte.. CJ öffnet ein Auge und sagt: 'Du bist gefeuert!'. <br><br>The Buzz Punktzahl war 19 am Montag, was einem Rückgang von 45 Punkten. TORONTO Ach, es der festlichen Jahreszeit, und das bedeutet, Beisammensein mit Familie und Freunden Händeschütteln, Umarmungen und Küsse auszutauschen, Vorbereitung und gemeinsame Mahlzeiten.<ul> |
| {{Main|Group (mathematics)|Glossary of group theory}}
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| | | <li>[http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/ http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/]</li> |
| The range of groups being considered has gradually expanded from finite [[permutation group]]s and special examples of [[matrix group]]s to abstract groups that may be specified through a [[presentation of a group|presentation]] by generators and relations.
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| | | <li>[http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22 http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22]</li> |
| === Permutation groups ===
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| The first class of groups to undergo a systematic study was [[permutation group]]s. Given any set ''X'' and a collection ''G'' of [[bijection]]s of ''X'' into itself (known as ''permutations'') that is closed under compositions and inverses, ''G'' is a group [[group action|acting]] on ''X''. If ''X'' consists of ''n'' elements and ''G'' consists of ''all'' permutations, ''G'' is the [[symmetric group]] ''S''<sub>''n''</sub>; in general, any permutation group ''G'' is a [[subgroup]] of the symmetric group of ''X''. An early construction due to [[Arthur Cayley|Cayley]] exhibited any group as a permutation group, acting on itself (''X'' = ''G'') by means of the left [[regular representation]].
| | <li>[http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342 http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342]</li> |
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| In many cases, the structure of a permutation group can be studied using the properties of its action on the corresponding set. For example, in this way one proves that for ''n'' ≥ 5, the [[alternating group]] ''A''<sub>''n''</sub> is [[simple group|simple]], i.e. does not admit any proper [[normal subgroup]]s. This fact plays a key role in the [[Abel–Ruffini theorem|impossibility of solving a general algebraic equation of degree ''n'' ≥ 5 in radicals]]. | | <li>[http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html]</li> |
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| === Matrix groups ===
| | <li>[http://pppppirn.com/news/html/?268828.html http://pppppirn.com/news/html/?268828.html]</li> |
| The next important class of groups is given by ''matrix groups'', or [[linear group]]s. Here ''G'' is a set consisting of invertible [[matrix (mathematics)|matrices]] of given order ''n'' over a [[field (mathematics)|field]] ''K'' that is closed under the products and inverses. Such a group acts on the ''n''-dimensional vector space ''K''<sup>''n''</sup> by [[linear transformation]]s. This action makes matrix groups conceptually similar to permutation groups, and the geometry of the action may be usefully exploited to establish properties of the group ''G''.
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| === Transformation groups === | |
| Permutation groups and matrix groups are special cases of [[transformation group]]s: groups that act on a certain space ''X'' preserving its inherent structure. In the case of permutation groups, ''X'' is a set; for matrix groups, ''X'' is a [[vector space]]. The concept of a transformation group is closely related with the concept of a [[symmetry group]]: transformation groups frequently consist of ''all'' transformations that preserve a certain structure.
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| The theory of transformation groups forms a bridge connecting group theory with [[differential geometry]]. A long line of research, originating with [[Sophus Lie|Lie]] and [[Felix Klein|Klein]], considers group actions on [[manifold]]s by [[homeomorphism]]s or [[diffeomorphism]]s. The groups themselves may be [[discrete group|discrete]] or [[continuous group|continuous]].
| | </ul> |
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| === Abstract groups ===
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| Most groups considered in the first stage of the development of group theory were "concrete", having been realized through numbers, permutations, or matrices. It was not until the late nineteenth century that the idea of an abstract group as a set with operations satisfying a certain system of axioms began to take hold. A typical way of specifying an abstract group is through a [[presentation of a group|presentation]] by ''generators and relations'',
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| : <math> G = \langle S|R\rangle. </math>
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| A significant source of abstract groups is given by the construction of a ''factor group'', or [[quotient group]], ''G''/''H'', of a group ''G'' by a [[normal subgroup]] ''H''. [[Class group]]s of [[algebraic number field]]s were among the earliest examples of factor groups, of much interest in [[number theory]]. If a group ''G'' is a permutation group on a set ''X'', the factor group ''G''/''H'' is no longer acting on ''X''; but the idea of an abstract group permits one not to worry about this discrepancy.
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| The change of perspective from concrete to abstract groups makes it natural to consider properties of groups that are independent of a particular realization, or in modern language, invariant under [[isomorphism]], as well as the classes of group with a given such property: [[finite group]]s, [[periodic group]]s, [[simple group]]s, [[solvable group]]s, and so on. Rather than exploring properties of an individual group, one seeks to establish results that apply to a whole class of groups. The new paradigm was of paramount importance for the development of mathematics: it foreshadowed the creation of [[abstract algebra]] in the works of [[David Hilbert|Hilbert]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]], and mathematicians of their school.{{citation needed|date=June 2012}}
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| === Topological and algebraic groups ===
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| An important elaboration of the concept of a group occurs if ''G'' is endowed with additional structure, notably, of a [[topological space]], [[differentiable manifold]], or [[algebraic variety]]. If the group operations ''m'' (multiplication) and ''i'' (inversion),
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| : <math> m: G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh, \quad i:G\to G, g\mapsto g^{-1}, </math>
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| are compatible with this structure, i.e. are [[continuous map|continuous]], [[smooth map|smooth]] or [[Regular map (algebraic geometry)|regular]] (in the sense of algebraic geometry) maps then ''G'' becomes a [[topological group]], a [[Lie group]], or an [[algebraic group]].<ref>This process of imposing extra structure has been formalized through the notion of a [[group object]] in a suitable [[category (mathematics)|category]]. Thus Lie groups are group objects in the category of differentiable manifolds and affine algebraic groups are group objects in the category of affine algebraic varieties.</ref>
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| The presence of extra structure relates these types of groups with other mathematical disciplines and means that more tools are available in their study. Topological groups form a natural domain for [[abstract harmonic analysis]], whereas [[Lie group]]s (frequently realized as transformation groups) are the mainstays of [[differential geometry]] and unitary [[representation theory]]. Certain classification questions that cannot be solved in general can be approached and resolved for special subclasses of groups. Thus, [[compact Lie group|compact connected Lie groups]] have been completely classified. There is a fruitful relation between infinite abstract groups and topological groups: whenever a group ''Γ'' can be realized as a [[lattice (discrete subgroup)|lattice]] in a topological group ''G'', the geometry and analysis pertaining to ''G'' yield important results about ''Γ''. A comparatively recent trend in the theory of finite groups exploits their connections with compact topological groups ([[profinite group]]s): for example, a single [[powerful p-group|''p''-adic analytic group]] ''G'' has a family of quotients which are finite [[p-group|''p''-groups]] of various orders, and properties of ''G'' translate into the properties of its finite quotients.
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| ==Combinatorial and geometric group theory==
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| Groups can be described in different ways. Finite groups can be described by writing down the [[group table]] consisting of all possible multiplications {{nowrap|''g'' • ''h''}}. A more compact way of defining a group is by ''generators and relations'', also called the ''presentation'' of a group. Given any set ''F'' of generators {''g''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>, the [[free group]] generated by ''F'' subjects onto the group ''G''. The kernel of this map is called subgroup of relations, generated by some subset ''D''. The presentation is usually denoted by {{nowrap begin}}〈''F'' | ''D'' 〉{{nowrap end}}. For example, the group {{nowrap begin}}'''Z''' = 〈''a'' | 〉{{nowrap end}} can be generated by one element ''a'' (equal to +1 or −1) and no relations, because ''n''·1 never equals 0 unless ''n'' is zero. A string consisting of generator symbols and their inverses is called a ''word''.
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| [[Combinatorial group theory]] studies groups from the perspective of generators and relations.<ref>{{harvnb|Schupp|Lyndon|2001}}</ref> It is particularly useful where finiteness assumptions are satisfied, for example finitely generated groups, or finitely presented groups (i.e. in addition the relations are finite). The area makes use of the connection of [[graph (mathematics)|graphs]] via their [[fundamental group]]s. For example, one can show that every subgroup of a free group is free.
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| There are several natural questions arising from giving a group by its presentation. The ''[[word problem for groups|word problem]]'' asks whether two words are effectively the same group element. By relating the problem to [[Turing machine]]s, one can show that there is in general no [[algorithm]] solving this task. Another, generally harder, algorithmically insoluble problem is the [[group isomorphism problem]], which asks whether two groups given by different presentations are actually isomorphic. For example the additive group '''Z''' of integers can also be presented by
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| :{{math|1=〈''x'', ''y'' {{pipe}} ''xyxyx'' = ''e''〉}};
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| it may not be obvious that these groups are isomorphic.<ref>Writing {{math|1=''z'' = ''xy''}}, one has {{math|1=''G'' = 〈''z'', ''y'' {{pipe}} ''z''<sup>3</sup> = ''y''〉 = 〈''z''〉.}}</ref>
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| [[Image:Cayley graph of F2.svg|right|150px|thumb|The Cayley graph of ⟨ x, y ∣ ⟩, the free group of rank 2.]]
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| [[Geometric group theory]] attacks these problems from a geometric viewpoint, either by viewing groups as geometric objects, or by finding suitable geometric objects a group acts on.<ref>{{harvnb|La Harpe|2000}}</ref> The first idea is made precise by means of the [[Cayley graph]], whose vertices correspond to group elements and edges correspond to right multiplication in the group. Given two elements, one constructs the [[word metric]] given by the length of the minimal path between the elements. A theorem of [[John Milnor|Milnor]] and Svarc then says that given a group ''G'' acting in a reasonable manner on a [[metric space]] ''X'', for example a [[compact manifold]], then ''G'' is [[quasi-isometry|quasi-isometric]] (i.e. looks similar from the far) to the space ''X''.
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| ==Representation of groups==
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| Saying that a group ''G'' ''[[group action|acts]]'' on a set ''X'' means that every element defines a bijective map on a set in a way compatible with the group structure. When ''X'' has more structure, it is useful to restrict this notion further: a representation of ''G'' on a [[vector space]] ''V'' is a [[group homomorphism]]:
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| :''ρ'' : ''G'' → ''GL''(''V''),
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| where ''[[general linear group|GL]]''(''V'') consists of the invertible [[linear map|linear transformations]] of ''V''. In other words, to every group element ''g'' is assigned an [[automorphism]] ''ρ''(''g'') such that {{nowrap begin}}''ρ''(''g'') ∘ ''ρ''(''h'') = ''ρ''(''gh''){{nowrap end}} for any ''h'' in ''G''.
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| This definition can be understood in two directions, both of which give rise to whole new domains of mathematics.<ref>Such as [[group cohomology]] or [[equivariant K-theory]].</ref> On the one hand, it may yield new information about the group ''G'': often, the group operation in ''G'' is abstractly given, but via ''ρ'', it corresponds to the [[matrix multiplication|multiplication of matrices]], which is very explicit.<ref>In particular, if the representation is [[faithful representation|faithful]].</ref> On the other hand, given a well-understood group acting on a complicated object, this simplifies the study of the object in question.
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| For example, if ''G'' is finite, it is [[Maschke's theorem|known]] that ''V'' above decomposes into [[irreducible representation|irreducible parts]]. These parts in turn are much more easily manageable than the whole ''V'' (via [[Schur's lemma]]).
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| Given a group ''G'', [[representation theory]] then asks what representations of ''G'' exist. There are several settings, and the employed methods and obtained results are rather different in every case: [[representation theory of finite groups]] and representations of [[Lie group]]s are two main subdomains of the theory. The totality of representations is governed by the group's [[character theory|characters]]. For example, [[Fourier series|Fourier polynomial]]s can be interpreted as the characters of [[unitary group|''U''(1)]], the group of [[complex numbers]] of [[absolute value]] ''1'', acting on the [[Lp space|''L''<sup>2</sup>]]-space of periodic functions.
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| ==Connection of groups and symmetry==
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| {{main|Symmetry group}}
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| Given a structured object ''X'' of any sort, a [[symmetry]] is a mapping of the object onto itself which preserves the structure. This occurs in many cases, for example
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| #If ''X'' is a set with no additional structure, a symmetry is a [[bijection|bijective]] map from the set to itself, giving rise to [[permutation group]]s.
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| #If the object ''X'' is a set of points in the plane with its [[metric (mathematics)|metric]] structure or any other [[metric space]], a symmetry is a [[bijection]] of the set to itself which preserves the distance between each pair of points (an [[isometry]]). The corresponding group is called [[isometry group]] of ''X''.
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| #If instead [[angle]]s are preserved, one speaks of [[conformal map]]s. Conformal maps give rise to [[Kleinian group]]s, for example.
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| #Symmetries are not restricted to geometrical objects, but include algebraic objects as well. For instance, the equation
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| ::<math>x^2-3=0</math>
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| :has the two solutions <math>+\sqrt{3}</math>, and <math>-\sqrt{3}</math>. In this case, the group that exchanges the two roots is the [[Galois group]] belonging to the equation. Every polynomial equation in one variable has a Galois group, that is a certain permutation group on its roots.
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| The axioms of a group formalize the essential aspects of [[symmetry]]. Symmetries form a group: they are [[closure (mathematics)|closed]] because if you take a symmetry of an object, and then apply another symmetry, the result will still be a symmetry. The identity keeping the object fixed is always a symmetry of an object. Existence of inverses is guaranteed by undoing the symmetry and the associativity comes from the fact that symmetries are functions on a space, and composition of functions are associative.
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| [[Frucht's theorem]] says that every group is the symmetry group of some [[graph (mathematics)|graph]]. So every abstract group is actually the symmetries of some explicit object.
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| The saying of "preserving the structure" of an object can be made precise by working in a [[category (mathematics)|category]]. Maps preserving the structure are then the [[morphism]]s, and the symmetry group is the [[automorphism group]] of the object in question.
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| ==Applications of group theory==<!--this section is linked at from [[Applications of group theory]]-->
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| Applications of group theory abound. Almost all structures in [[abstract algebra]] are special cases of groups. [[Ring (mathematics)|Rings]], for example, can be viewed as [[abelian group]]s (corresponding to addition) together with a second operation (corresponding to multiplication). Therefore group theoretic arguments underlie large parts of the theory of those entities.
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| [[Galois theory]] uses groups to describe the symmetries of the roots of a polynomial (or more precisely the automorphisms of the algebras generated by these roots). The [[fundamental theorem of Galois theory]] provides a link between [[algebraic field extension]]s and group theory. It gives an effective criterion for the solvability of polynomial equations in terms of the solvability of the corresponding [[Galois group]]. For example, ''S''<sub>5</sub>, the [[symmetric group]] in 5 elements, is not solvable which implies that the general [[quintic equation]] cannot be solved by radicals in the way equations of lower degree can. The theory, being one of the historical roots of group theory, is still fruitfully applied to yield new results in areas such as [[class field theory]].
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| [[Algebraic topology]] is another domain which prominently [[functor|associates]] groups to the objects the theory is interested in. There, groups are used to describe certain invariants of [[topological space]]s. They are called "invariants" because they are defined in such a way that they do not change if the space is subjected to some [[homeomorphism|deformation]]. For example, the [[fundamental group]] "counts" how many paths in the space are essentially different. The [[Poincaré conjecture]], proved in 2002/2003 by [[Grigori Perelman]] is a prominent application of this idea. The influence is not unidirectional, though. For example, algebraic topology makes use of [[Eilenberg–MacLane space]]s which are spaces with prescribed [[homotopy groups]]. Similarly [[algebraic K-theory]] stakes in a crucial way on [[classifying space]]s of groups. Finally, the name of the [[torsion subgroup]] of an infinite group shows the legacy of topology in group theory.
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| [[Image:Torus.png|thumb|right|200px|A torus. Its abelian group structure is induced from the map {{nowrap begin}}'''C''' → '''C'''/'''Z'''+''τ'''''Z'''{{nowrap end}}, where ''τ'' is a parameter living in the [[upper half plane]].]]
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| [[Image:Caesar3.svg|thumb|left|150px|The [[cyclic group]] '''Z'''<sub>26</sub> underlies [[Caesar's cipher]].]]
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| [[Algebraic geometry]] and [[cryptography]] likewise uses group theory in many ways. [[Abelian variety|Abelian varieties]] have been introduced above. The presence of the group operation yields additional information which makes these varieties particularly accessible. They also often serve as a test for new conjectures.<ref>For example the [[Hodge conjecture]] (in certain cases).</ref> The one-dimensional case, namely [[elliptic curve]]s is studied in particular detail. They are both theoretically and practically intriguing.<ref>See the [[Birch-Swinnerton-Dyer conjecture]], one of the [[millennium problem]]s</ref> Very large groups of prime order constructed in [[Elliptic Curve Cryptography|Elliptic-Curve Cryptography]] serve for [[public key cryptography]]. Cryptographical methods of this kind benefit from the flexibility of the geometric objects, hence their group structures, together with the complicated structure of these groups, which make the [[discrete logarithm]] very hard to calculate. One of the earliest encryption protocols, [[Caesar cipher|Caesar's cipher]], may also be interpreted as a (very easy) group operation. In another direction, [[toric variety|toric varieties]] are [[algebraic variety|algebraic varieties]] acted on by a [[torus]]. Toroidal embeddings have recently led to advances in [[algebraic geometry]], in particular [[resolution of singularities]].<ref>{{Citation | last1=Abramovich | first1=Dan | last2=Karu | first2=Kalle | last3=Matsuki | first3=Kenji | last4=Wlodarczyk | first4=Jaroslaw | title=Torification and factorization of birational maps | mr=1896232 | year=2002 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=15 | issue=3 | pages=531–572 | doi=10.1090/S0894-0347-02-00396-X}}</ref>
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| [[Algebraic number theory]] is a special case of group theory, thereby following the rules of the latter. For example, [[Euler product|Euler's product formula]]
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| :<math>
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| \begin{align}
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| \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\
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| \end{align}
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| \!</math>
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| captures [[Fundamental theorem of arithmetic|the fact]] that any integer decomposes in a unique way into [[prime number|primes]]. The failure of this statement for [[Dedekind ring|more general rings]] gives rise to [[class group]]s and [[regular prime]]s, which feature in [[Ernst Kummer|Kummer's]] treatment of [[Fermat's Last Theorem]].
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| *The concept of the [[Lie group]] (named after mathematician [[Sophus Lie]]) is important in the study of [[differential equations]] and [[manifold]]s; they describe the symmetries of continuous geometric and analytical structures. Analysis on these and other groups is called [[harmonic analysis]]. [[Haar measure]]s, that is integrals invariant under the translation in a Lie group, are used for [[pattern recognition]] and other [[image processing]] techniques.<ref>{{Citation | last1=Lenz | first1=Reiner | title=Group theoretical methods in image processing | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Computer Science | isbn=978-0-387-52290-6 | year=1990 | volume=413|url=http://webstaff.itn.liu.se/~reile/LNCS413/index.htm | doi=10.1007/3-540-52290-5}}</ref>
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| *In [[combinatorics]], the notion of [[permutation]] group and the concept of group action are often used to simplify the counting of a set of objects; see in particular [[Burnside's lemma]].
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| [[Image:Fifths.png|right|thumb|150px|The circle of fifths may be endowed with a cyclic group structure]]
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| *The presence of the 12-[[Periodic group|periodicity]] in the [[circle of fifths]] yields applications of [[elementary group theory]] in [[set theory (music)|musical set theory]].
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| *In [[physics]], groups are important because they describe the symmetries which the laws of physics seem to obey. According to [[Noether's theorem]], every continuous symmetry of a physical system corresponds to a [[conservation law]] of the system. Physicists are very interested in group representations, especially of Lie groups, since these representations often point the way to the "possible" physical theories. Examples of the use of groups in physics include the [[Standard Model]], [[gauge theory]], the [[Lorentz group]], and the [[Poincaré group]].
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| *In [[chemistry]] and [[materials science]], groups are used to classify [[crystal structure]]s, regular polyhedra, and the [[molecular symmetry|symmetries of molecules]]. The assigned point groups can then be used to determine physical properties (such as [[Polarity (physics)|polarity]] and [[Chirality (chemistry)|chirality]]), spectroscopic properties (particularly useful for [[Raman spectroscopy]] and [[infrared spectroscopy]]), and to construct [[molecular orbital]]s.
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| == See also ==
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| *[[Group (mathematics)]]
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| *[[Glossary of group theory]]
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| *[[List of group theory topics]]
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| ==Notes==
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| <references/>
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| ==References==
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| * {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}
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| * {{Citation | last1=Carter | first1=Nathan C. | title=Visual group theory | url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ | publisher=[[Mathematical Association of America]] | series=Classroom Resource Materials Series | isbn=978-0-88385-757-1 | mr=2504193 | year=2009}}
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| * {{Citation | last1=Cannon | first1=John J. | title=Computers in group theory: A survey | mr=0290613 | year=1969 | journal=Communications of the Association for Computing Machinery | volume=12 | pages=3–12 | doi=10.1145/362835.362837}}
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| * {{Citation | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | issn=0010-437X | volume=6 | pages=239–50}}
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| * {{Citation | last1=Golubitsky | first1=Martin| last2=Stewart | first2=Ian | author1-link=Ian Stewart (mathematician)| title =Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism |mr=2223010 |journal= Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) |volume=43 | year= 2006 | pages=305–364 | doi=10.1090/S0273-0979-06-01108-6 | issue=03}} Shows the advantage of generalising from group to [[groupoid]].
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| * {{Citation | last1=Judson | first1=Thomas W. | title=Abstract Algebra: Theory and Applications | year=1997 | url=http://abstract.ups.edu }} An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source [[GNU Free Documentation License|GFDL]] license.
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| * {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]] | issn=0025-570X | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312}}
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| * {{Citation | last1=La Harpe | first1=Pierre de | title=Topics in geometric group theory | publisher=[[University of Chicago Press]] | isbn=978-0-226-31721-2 | year=2000}}
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| *{{Citation | author=Livio, M. | author1-link=Mario Livio | title= The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry | publisher=Simon & Schuster | year=2005 | isbn=0-7432-5820-7}} Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to [[symmetries]] in [[physics]] and other sciences.
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| * {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
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| * [[Mark Ronan|Ronan M.]], 2006. ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
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| *{{Citation | author=Rotman, Joseph | title=An introduction to the theory of groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1994 | isbn=0-387-94285-8}} A standard contemporary reference.
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| * {{Citation | last1=Schupp | first1=Paul E. | last2=Lyndon | first2=Roger C. | title=Combinatorial group theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-41158-1 | year=2001}}
| |
| *{{Citation | author=Scott, W. R. | title= Group Theory | location=New York | publisher=Dover | year=1987 | origyear=1964 | isbn=0-486-65377-3}} Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
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| * {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
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| * {{Weibel IHA}}
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| ==External links==
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| * [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]
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| * [http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm Higher dimensional group theory] This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
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| * [http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory] This package brings together all the articles on group theory from ''Plus'', the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.
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| * [http://www.usna.edu/Users/math/wdj/tonybook/gpthry/node1.html US Naval Academy group theory guide] A general introduction to group theory with exercises written by Tony Gaglione.
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| [[Category:Group theory| ]]
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| [[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]
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Nach dem Zweiten Weltkrieg nahmen die Olympischen Spiele auf eine größere politische Bedeutung als Beteiligung kam zu politischen Anerkennung und Legitimität zu symbolisieren. Deutschland und Japan wurden wegen ihrer Kriegs Rollen nicht nach London eingeladen, während die Sowjetunion eingeladen, aber nicht erschienen. Nach Großbritannien die Verantwortung, um die Sportler ernähren zu begrenzen, wurde vereinbart, dass sich die Teilnehmer Nike Air Max 90 ihr eigenes Essen mitbringen. Keine neuen Anlagen wurden gebaut, aber Wembley-Stadion hatte den Krieg überlebt und erwies sich als ausreichend. Die männlichen Athleten wurden in einem Militärlager in Uxbridge und die Frauen am Southlands College in domitories untergebracht untergebracht. Die Spiele in London 1948 waren die ersten, im Fernsehen gezeigt werden, Nike Store Zürich obwohl nur sehr wenige Menschen in Großbritannien noch im Besitz Sets. Obwohl es war viel darüber diskutiert worden, ob nicht für die Olympischen Spiele 1948 zu halten, drehte Abercrombie Schweiz sie sich zu großen populären Erfolg.
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