Modus ponens: Difference between revisions

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{{Use dmy dates|date=July 2012}}{{Italic title}}{{Transformation rules}}
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In [[propositional calculus|propositional logic]], '''''modus tollens'''''<ref>University of North Carolina, Philosophy Department, [http://www.philosophy.uncc.edu/mleldrid/Logic/logiglos.html#modustollens Logic Glossary]. Accessdate on 31 October 2007.</ref><ref>Copi and Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore and Parker</ref> (or '''''modus tollendo tollens''''' and also '''denying the consequent''')<ref>Sanford, David Hawley. 2003. ''If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning''. London, UK: Routledge: 39 "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."</ref> ([[Latin language|Latin]] for "the way that denies by denying")<ref>Stone, Jon R. 1996. ''Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language''. London, UK: Routledge: 60.</ref> is a [[validity|valid]] [[argument form]] and a [[rule of inference]].
Aber in der Regel sehen wir keinen Zusammenhang zwischen Website Änderungen und Panda. Jeder Standort Aktien gemeinsamen Code, so dass wir in der Lage, radikale Veränderungen auf einer Website vs nicht auf einem anderen testen.   Une premire au Qubec! La Ville de Montréal ouvre ses Donnes sur Internet 28 octobre 2011 Jocelyn Bourbonnais Open Data und die Stadt Montreal Deena Yanofsky Koordinator und Verbindungs ​​Bibliothekar W. Hitschfeld Geographic Information Centre, was offene Daten? n Open Data ist eine Praxis, die maschinenlesbaren Daten frei durch Verfügung von Portalen, Metadaten und Suchwerkzeuge für die Wiederverwendung von Regierungen, Bürger, ehrenamtlichen Organisationen und der Privatwirtschaft in neue und unerwartete Möglichkeiten macht. <br><br>Hey, wenn du uns tun könnte einen Gefallen, wenn ich eine andere Suche aus dem Weg, bekomme ich zum Mittagessen zu [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=10-Ray-Ban-Sonnenbrillen-Online-Shop Ray Ban Sonnenbrillen Online Shop] gehen. 5 Investigates Chandler gebeten, wenn es um Menschen in Zustimmung zur Such Trick. Reid könnte auch entscheiden, in Eagles-Quarterback Michael Vick, der von den Eagles freigesetzt werden können, zu bringen. Vick ist auf machen über 15.000.000 $ in dieser Saison und hatte darauf hingewiesen, er ist nicht bereit, seinen Vertrag zu restrukturieren. <br><br>VT Burlington Gratis Gannett Co. Inc. Viele Technologien konvergieren, dies zu ermöglichen. Es ist fantastisch, aber es ist immer noch ein Stiefkind rothaarige in vielen Browsern, und die Werkzeuge, unterstützen es nicht gut für Websites. Die dreizehnte Bomber geflogen von Lt Aber so was? ) Perfektion, wie in dem Essay erwähnt, einfach einstimmenden Modell-und Daten gemeint. Ich bin nicht da, wo man lesen, dass der Artikel besagt, dass. <br><br>Sie hatten Spaß. Aber, wie ich [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=74-Ray-Ban-Sonnenbrillen-Zürich Ray Ban Sonnenbrillen Zürich] behauptet, vor, das Modell würde ich zu konstruieren, um die Optionen zu bewerten würde wahrscheinlich ganz anders verkaufen, Chris zu sein, in seiner Form und den zugrunde gelegten Annahmen. Regionale Gewinner werden am 20. März bekannt gegeben werden, mit [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=14-Nike-Free-5.0-Womens Nike Free 5.0 Womens] dem Gesamtpreis über die diesjährigen Preisträger in der Zentrale Motorcodes 'am Ende des Monats übergeben. <br><br>All diese Dinge können helfen, festzustellen, Ihre Gewohnheiten Bieter, wenn Ihre Website ist die Schifffahrt und halten Bieter durch Werbung. Ein gutes Skript sollten Sie bieten Werkzeuge für diese Datenanalyse Punkten. Wir werden wahrscheinlich geben es eher ein Versuch in ein paar Wochen .. Ich liebe diese Arbeit. <br><br>Seine Augen Make-up [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=85-Michael-Kors-Jet-Set-Saffiano Michael Kors Jet Set Saffiano] war wie gewohnt. Zu Beginn des 21. Das Ergebnis ist eine optimierte Suchsystem, das unsere Besucher lieben. "Kristin Bogumil, Multi-Kanal-Digital-ManagerFounded 1935 AAP ist die nationale Nachrichtenagentur von Australien. Das Schild sagt Dead End. Erstens ist das Schreiben nicht leicht.<ul>
 
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</ul>


The first to explicitly state the argument form ''modus tollens'' were the Stoics.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/logic-ancient/#Sto "Stanford Encyclopedia of Philosophy: ''Ancient Logic: The Stoics''"]</ref>
== der Block von 800 Third Street Polo Ralph Lauren Slim Fit ==


The inference rule ''modus tollens'', also known as the '''law of contrapositive''', validates the [[inference]] from <math>P</math> implies <math>Q</math> and the contradictory of <math>Q</math>, to the contradictory of <math>P</math>.
Dalian Eton-Center. Digital Media City Landmark Building. East Pacific Business Center. So landete ich immer ein Curad Stützgürtel von Drug Mart für 25 $. Es ist unglaublich! Ich fühlte mich sofort Erleichterung in meinem Rücken. Am ersten Tag habe ich es nahm ich meine Kinder in den Zoo. <br><br>Spiegel ist ein guter Reflexmaterial. Brillen sind ein [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=64-Polo-Ralph-Lauren-Slim-Fit Polo Ralph Lauren Slim Fit] weiteres gutes Beispiel. Wasser reflektiert auch Licht ganz gut. Healthying ihre Ernährung war ein zentrales Ziel. Kathleen wollte die hartnäckigen £ 10 hatte sie im letzten Winter gewonnen sinken. Randy nimmt Medikamente gegen hohen Cholesterin klüger zu essen, um die Abwehr von Herzerkrankungen, die seine Familie plagt. <br><br>Was ist cooler, ist die Tatsache, dass Sie zu sehen und einkaufen, [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=200-Nike-Lunarglide+-4-Damen Nike Lunarglide+ 4 Damen] um diese komplette Sammlung von Nike Foamposite Schuhe an A2zShoes, ein Internet-Händler bietet eine exklusive Auswahl der besten End-Marken wie Nike, Adidas, und wesentlich mehr. Es ist möglich, zu überprüfen, Ihre Art, Farbe und Design und lassen Sie sich ein gutes Paar echte Nike-Schuhe und auf den Boden im Stil. Das ist nicht alles. <br><br>Der muslimischen professionelle Singles haben ein paar Lebensmittelgeschäft an der sie mag er nur. Sagen Sie wurden lauter christliche Singles indian creepingmen die Menschen, die Sie lassen Sie Antwort sein und kanada Dating-Sites sie. Ramadan Ihre Meinung Diskussion sind Kontaktanzeigen mit Chat Beratung aus älteren Web-Site auch Sie aktiv Geheimnis. <br><br>Mittwoch, September 8day shiftCharles Zamora, 28, der Block von 800 Third Street, wurde auf eine Alters-und Bewährungs Parole Amt, um festgenommen. Evans, 25, der 20-Block von Alte Eisenbahn-, High Rolls wurde mit Auto-Einbruch im vierten Grad und Diebstahl als Ergebnis einer laufenden Untersuchung belastet. September 8. <br><br>B ComplexHolford besagt, dass B-Vitamine sind für psychische Gesundheit sehr wichtig, weil sie die Katalysatoren, die Neurotransmitter im Gehirn auszugleichen helfen, und es gibt eine Menge Beweise, die Depression zu Vitaminmangel, besonders Vitamin B6, B1 und Folsäure B. Hass darauf hin, dass B-Vitamine arbeiten zusammen und nimmt [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=239-Air-Max-97 Air Max 97] eine hohe Dosis könnte man zu einem Mangel an einer anderen führen, daher empfiehlt er, dass Sie ein B-Komplex-Ergänzung zu nehmen, um sich mit einer guten Balance der B-Vitamine liefern. Es sollte nicht als Ersatz für [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=75-Monster-Beats-Studio Monster Beats Studio] professionelle medizinische Beratung, Diagnose oder Behandlung verwendet werden. <br><br>Weiche Sohlen sind am besten für ihre kleinen Füße. Wir haben immer gekauft striderite Schuhe. Ich mag sie, weil sie kommen in Etappen für Ihr Baby. Einige können es ertragen, andere nicht. Unser Verständnis ist es sehr schlecht", sagt er. Der Coach Outlet Online Team hat bereits festgestellt, dass die den Patienten viel Sauerstoff in der Intensivpflege nicht zwangsläufig zu besseren Coach Outlet Ergebnissen führen.<ul>
 
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</ul>


The ''modus tollens'' rule can be stated formally as:
== die gut aussieht will New Balance.Ch ==


:<math>\frac{P \to Q, \neg Q}{\therefore \neg P}</math>
Unsere Jet-Ski weitgehend bleibt in der Chesapeake Bay, aber ich hatte die Chance, Anhänger der Wave Runner hinter meinem SUV, meine Crucial West-Wochenende Haus genau dort, wo ich in den letzten sechs Wochen thront worden. Während dieser Zeit habe ich die sich als ziemlich das Pro an immer viel besser organisiert und Verpackung für eine Jet-Ski-Tag rund um die Wasser sein. <br><br>Seit Abercrombie (Start) Kleid leuchtet grün Vitalität. In Jeffries, ist der Verbraucher hohe Qualität, Abercrombie and Fitch zeigen junge Mentalität klassischen American Apparel.. Konzipiert für das Social Web, wird Livefyre Verlag Inhalt in den Mittelpunkt der Diskussion durch Aggregation Kommentare aus dem Web zurück zu einem Ort. Durch die Interaktion mit Livefyre, das Publikum zu entdecken, neue Leute und Inhalte, um mit Ihrer Website zu engagieren, auf der Livefyre Netzwerk und über die web.FOX Sport-Digital ist die Dacheinheit, die News Corporation breite Palette von digitalen USbased Sport Vermögen Vorsitzender CEO David Hill .. <br><br>"Was zum Teufel passiert da? Ich wage. Es gibt ein Grinsen aus meinem Beifahrer. Allerdings ist das einzige Problem, dass, wenn man über etwas Besonderes zu wählen sind Sie oft mit einer schlechten Idee oder einen schlechten Geschmack in Männerkleidung stecken. Um [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=96-New-Balance.Ch New Balance.Ch] die Auswahl sicher zu halten, sollten Sie geben Ihren Freund oder Ehemann jede der Herren-Bademantel oder Herrenweste, die Sie denken, für ihren Geschmack geeignet ist. [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=29-Michael-Kors-Schweiz Michael Kors Schweiz] <br><br>Halten Sie Ihre Garderobe auf dem neuesten Stand ist wirklich leicht in diesen Tagen, weil Sie für Elemente wie Pauls Boutique Pullover entscheiden können, so dass Sie Ihre Garderobe kann statten sowie den Kauf von neuen Artikeln. Viele Menschen [http://www.paint-point.ch/energy/inc/config.asp?a=110-Abercrombie-Online-Bestellen Abercrombie Online Bestellen] versuchen, diese und finden, dass es bedeutet, dass sie nicht haben, um so viele neue Artikel zu kaufen.. <br><br>Giorgio Armani gehostet 50 Cent kürzlich bei einer Readytowear Show. Dolce Gabbana ausgestattet Mary J. Kleben Sie die Augen für die Sonnenbrille. Falls Sie irgendwelche Fragen über Ihren persönlichen allgemeine Gesundheit oder der allgemeinen Gesundheit des eigenen Kindes haben, sollten Sie immer eine Beratung durch einen Arzt oder anderen medizinischen Fach. <br><br>Es sei daran erinnert, dass die Kinder heute sind einige der anspruchsvollsten Verbraucher werden, und sie wissen, was sie tragen wollen und wie sie es brauchen, um durchzuführen. Deshalb ist eine gute Wahl für alle, die hochwertige Tanzabnutzung, die gut aussieht will, ist Bloch.. <br><br>Großteil der Nation verspottet die von der Maryland-Fußballtrainerstab für seinen Auftakt gegen Miami Anfang dieses Monats gewählt Trikots, Dosenschildkröten Spielern gefiel das Aussehen ihrer Under Armour [http://www.eyerex.com/net/news/Beschreibung/header.asp?p=67-Pandora-Online-Shop-Dänemark Pandora Online Shop Dänemark] Gang. Die Warften haben 30 verschiedene Kombinationen gleichmäßige sie mit dieser Saison gehen kann..<ul>
 
 
where <math>P \to Q</math> stands for "P implies Q", <math>\neg Q</math> stands for "it is not the case that Q" (or in brief "not Q"). Then, whenever "<math>P \to Q</math>" and "<math>\neg Q</math>" each appear by themselves as a line of a [[formal proof|proof]], "<math>\neg P</math>" can validly be placed on a subsequent line. The history of the inference rule ''modus tollens''  goes back to antiquity.<ref>[[Susanne Bobzien]] (2002). [http://dx.doi.org/10.1163/156852802321016541 "The Development of Modus Ponens in Antiquity"], ''Phronesis'' 47.</ref>
  <li>[http://web.zaiwww.com/news/html/?184454.html http://web.zaiwww.com/news/html/?184454.html]</li>
 
 
''Modus tollens'' is closely related to ''[[modus ponens]]''. There are two similar, but [[fallacy|invalid, forms of argument]]: [[affirming the consequent]] and [[denying the antecedent]].
  <li>[http://ttzw8.com/news/html/?144967.html http://ttzw8.com/news/html/?144967.html]</li>
 
 
== Formal notation ==
  <li>[http://forum.raven-apps.co.uk/activity/p/2663/ http://forum.raven-apps.co.uk/activity/p/2663/]</li>
The ''modus tollens'' rule may be written in [[sequent]] notation:
 
 
  <li>[http://www.snesup-paris13.org/spip.php?article16/ http://www.snesup-paris13.org/spip.php?article16/]</li>
:<math>P\to Q, \neg Q \vdash \neg P</math>
 
 
</ul>
where <math>\vdash</math> is a [[metalogic]]al symbol meaning that <math>\neg P</math> is a [[logical consequence|syntactic consequence]] of <math>P \to Q</math> and <math>\neg Q</math> in some [[formal system|logical system]];
 
or as the statement of a functional [[Tautology (logic)|tautology]] or [[theorem]] of propositional logic:
 
:<math>((P \to Q) \and \neg Q) \to \neg P</math>
 
where <math>P</math>, and <math>Q</math> are propositions expressed in some logical system;
 
or including assumptions:
:<math>\frac{\Gamma \vdash P\to Q ~~~ \Gamma \vdash\neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}</math>
though since the rule does not change the set of assumptions, this is not strictly necessary.
 
More complex rewritings involving ''modus tollens'' are often seen, for instance in [[set theory]]:
 
:<math>P\subseteq Q</math>
:<math>x\notin Q</math>
:<math>\therefore x\notin P</math>
("P is a subset of Q. x is not in Q. Therefore, x is not in P.")
 
Also in first-order [[predicate logic]]:
 
:<math>\forall x:~P(x) \to Q(x)</math>
:<math>\exists x:~\neg Q(x)</math>
:<math>\therefore \exists x:~\neg P(x)</math>
("For all x if x is P then x is Q. There exists some x that is not Q. Therefore, there exists some x that is not P.")
 
Strictly speaking these are not instances of ''modus tollens'', but they may be derived using ''modus tollens'' using a few extra steps.
 
== Explanation ==
The argument has two premises. The first premise is a conditional or "if-then" statement, for example that if P then Q. The second premise is that it is not the case that Q . From these two premises, it can be logically concluded that it is not the case that P.
 
Consider an example:
:If the watch-dog detects an intruder, the watch-dog will bark.
:The watch-dog did not bark
:Therefore, no intruder was detected by the watch-dog.
 
Supposing that the premises are both true (the dog will bark if it detects an intruder, and does indeed not bark), it follows that no intruder has been detected. This is a valid argument since it is not possible for the conclusion to be false if the premises are true. (It is conceivable that there may have been an intruder that the dog did not detect, but that does not invalidate the argument; the first premise goes "if the watch-dog '''detects''' an intruder." The thing of importance is that the dog detects or doesn't detect an intruder, not if there is one.)
 
Another example:
:If I am the axe murderer, then I can use an axe.
:I cannot use an axe.
:Therefore, I am not the axe murderer.
 
== Relation to ''modus ponens'' ==
Every use of ''modus tollens'' can be converted to a use of ''modus ponens'' and one use of [[transposition (logic)|transposition]] to the premise which is a material implication. For example:
 
:If P, then Q. (premise -- material implication)
:If not Q , then not P. (derived by transposition)
:Not Q . (premise)
:Therefore, not  P. (derived by ''modus ponens'')
 
Likewise, every use of ''modus ponens'' can be converted to a use of ''modus tollens'' and transposition.
 
== Justification via truth table ==
The validity of ''modus tollens'' can be clearly demonstrated through a [[truth table]].
 
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:45%"
|-
! style="width:15%" | p
! style="width:15%" | q
! style="width:15%" | p → q
|-
| T || T || T
|-
| T || F || F
|-
| F || T || T
|-
| F || F || T
|}
 
In instances of ''modus tollens'' we assume as premises that p → q is true and q is false. There is only one line of the truth table—the fourth line—which satisfies these two conditions. In this line, p is false. Therefore, in every instance in which p → q is true and q is false, p must also be false.
 
==Formal Proof==
 
===Via Disjunctive syllogism===
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
|+ ''' '''
|- style="background:paleturquoise"
! style="width:5%" | ''Step''
! style="width:15%" | ''Proposition''
! style="width:25%" | ''Derivation''
|-
| 1 || <math>P\rightarrow Q</math> || Given
|-
| 2 || <math>\neg Q</math> || Given
|-
| 3 || <math>\neg P\or Q</math> || [[Material implication (rule of inference)|Material implication]] (1)
|-
| 4 || <math>\neg P</math> || [[Disjunctive syllogism]] (2,3)
|}
 
===Via ''Reductio ad absurdum''===
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
|+ ''' '''
|- style="background:paleturquoise"
! style="width:5%" | ''Step''
! style="width:15%" | ''Proposition''
! style="width:30%" | ''Derivation''
|-
| 1 || <math>P\rightarrow Q</math> || Given
|-
| 2 || <math>\neg Q</math> || Given
|-
| 3 || <math>P</math> || Assumption
|-
| 4 || <math>Q</math> || [[Modus ponens]] (1,3)
|-
| 5 || <math>Q \and \neg Q</math> || [[Conjunction introduction]] (2,4)
|-
| 6 || <math>\neg P</math> || ''[[Reductio ad absurdum]]'' (3,5)
|}
 
== See also ==
* [[Evidence of absence]]
* ''[[Non sequitur (logic)|Non sequitur]]''
* [[Proof by contradiction]]
* [[Proof by contrapositive]]
 
== Notes ==
{{reflist}}
 
== External links ==
* ''[http://mathworld.wolfram.com/ModusTollens.html Modus Tollens]'' at Wolfram MathWorld
 
{{DEFAULTSORT:Modus Tollens}}
[[Category:Classical logic]]
[[Category:Rules of inference]]
[[Category:Latin logical phrases]]
[[Category:Theorems in propositional logic]]
 
[[fr:Modus tollens]]

Revision as of 13:49, 9 February 2014

Hey Ray Ban Sonnenbrillen Online Shop

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