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| The '''Bogacki–Shampine method''' is a method for the [[numerical ordinary differential equations|numerical solution of ordinary differential equations]], that was proposed by Przemyslaw Bogacki and Lawrence F. Shampine in 1989 {{harv|Bogacki|Shampine|1989}}. The Bogacki–Shampine method is a [[Runge–Kutta method]] of order three with four stages with the First Same As Last (FSAL) property, so that it uses approximately three function evaluations per step. It has an embedded second-order method which can be used to implement [[adaptive step size]]. The Bogacki–Shampine method is implemented in the <code>ode23</code> function in [[MATLAB]] {{harv|Shampine|Reichelt|1997}}.
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| Low-order methods are more suitable than higher-order methods like the [[Dormand–Prince method]] of order five, if only a crude approximation to the solution is required. Bogacki and Shampine argue that their method outperforms other third-order methods with an embedded method of order two.
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| The Butcher tableau for the Bogacki–Shampine method is:
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| {| cellpadding=3px cellspacing=0px
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| |width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
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| |-
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| ||| style="border-right:1px solid;" | 1/2 || 1/2
| |
| |-
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| ||| style="border-right:1px solid;" | 3/4 || 0 || 3/4
| |
| |-
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| ||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1 || style="border-bottom:1px solid;" | 2/9 || style="border-bottom:1px solid;" | 1/3 || style="border-bottom:1px solid;" | 4/9 || style="border-bottom:1px solid;" |
| |
| |-
| |
| ||| style="border-right:1px solid;" | || 2/9 || 1/3 || 4/9 || 0
| |
| |-
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| ||| style="border-right:1px solid;" | || 7/24 || 1/4 || 1/3 || 1/8
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| |}
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| Following the standard notation, the differential equation to be solved is <math>y'=f(t,y)</math>. Furthermore, <math>y_n</math> denotes the numerical solution at time <math>t_n</math> and <math>h_n</math> is the step size, defined by <math>h_n = t_{n+1}-t_n</math>. Then, one step of the Bogacki–Shampine method is given by:
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| :<math> \begin{align}
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| k_1 &= f(t_n, y_n) \\
| |
| k_2 &= f(t_n + \tfrac12 h_n, y_n + \tfrac12 h k_1) \\
| |
| k_3 &= f(t_n + \tfrac34 h_n, y_n + \tfrac34 h k_2) \\
| |
| y_{n+1} &= y_n + \tfrac29 h k_1 + \tfrac13 h k_2 + \tfrac49 h k_3 \\
| |
| k_4 &= f(t_n + h_n, y_{n+1}) \\
| |
| z_{n+1} &= y_n + \tfrac7{24} h k_1 + \tfrac14 h k_2 + \tfrac13 h k_3 + \tfrac18 h k_4.
| |
| \end{align} </math>
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| Here, <math>z_{n+1}</math> is a second-order approximation to the exact solution. The method for calculating <math>y_{n+1}</math> is due to {{harvtxt|Ralston|1965}}. On the other hand, <math>y_{n+1}</math> is a third-order approximation, so the difference between <math>y_{n+1}</math> and <math>z_{n+1}</math> can be used to [[adaptive stepsize|adapt the step size]]. The FSAL—first same as last—property is that the stage value <math>k_4</math> in one step equals <math>k_1</math> in the next step; thus, only three function evaluations are needed per step.
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| == References ==
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| * {{Citation | last1=Bogacki | first1=Przemyslaw | last2=Shampine | first2=Lawrence F. | title=A 3(2) pair of Runge–Kutta formulas | doi=10.1016/0893-9659(89)90079-7 | year=1989 | journal=Applied Mathematics Letters | issn=0893-9659 | volume=2 | issue=4 | pages=321–325}}.
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| * {{Citation | last1=Ralston | first1=Anthony | title=A First Course in Numerical Analysis | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | year=1965}}.
| |
| * {{Citation | last1=Shampine | first1=Lawrence F. | last2=Reichelt | first2=Mark W. | title=The Matlab ODE Suite | doi=10.1137/S1064827594276424 | year=1997 | journal=[[SIAM Journal on Scientific Computing]] | issn=1064-8275 | volume=18 | issue=1 | pages=1–22}}.
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| | |
| {{DEFAULTSORT:Bogacki-Shampine method}}
| |
| [[Category:Runge–Kutta methods]]
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