|
|
| (One intermediate revision by one other user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| {{expert|mathematics|date=October 2011}}
| | == Det finns ondska här Longchamp Väska == |
| {{unreferenced|date=February 2009}}
| |
| In [[linear algebra]], the '''coordinate representation''' or '''coordinate vector''' of a vector is the unique tuple of numbers that describes the vector in terms of a particular [[ordered basis]]. Coordinates are always specified relative to an ordered basis. Bases and their associated coordinate representations let one realize [[vector space]]s and [[linear transformation]]s concretely as [[column vector]]s, [[row vector]]s, and [[matrix (mathematics)|matrices]], hence are useful in calculations.
| |
|
| |
|
| The idea of a coordinate vector can also be used for infinite dimensional vector spaces, as addressed below.
| | Det finns ondska här, men det är ondska institutionen och vad den gör med en troende offer, inte ondska på den del av offret själv.. Tillbaka från klipporna När du tar med din rökare upp till temperatur, det finns ingen anledning att hålla dumpning i kol. <br><br>Istället för att svälja kapslar E-vitamin, bara peta dem med en nål och pressa ut oljan till badkaret tillsammans med vanlig havssalt och droppar av din favorit essensoljor för ett uppfriskande bad. Jag ser också fram emot för Champions League, och förhoppningsvis den indiska Premier League också.. <br><br>Hon verkade nästan inte en varelse av kött, men en av ren Kraft, skicka dom till dem som vågat föra krig till tornet självt. Regeringen i Gujarat s direktorat för sysselsättning Training, är en organisation med ett ISO 9001:2000-certifiering och ger sysselsättning och utbildning till ett stort antal ungdomar söker karriärmöjligheter inom staten. <br><br>Nitarna är exakt en halv tum stigning. Men min familj har väldigt mycket att besöka bloggen och titta på vilka vi har blivit under de senaste åren. Detta kan orsaka ett tryck på prostatakörteln. De inser inte att det inte är normalt för människor att börja få grått hår i 20-årsåldern och 30-talet. <br><br>Det finns ett brett spektrum av förberedelse för grönsak. Jag har hittat ett direkt samband mellan hur mycket stress / lite sömn jag får och vad som händer jag är livrädd; just ikväll (i morse?), efter att ha vistats upp för sent Det kändes som om jag var zonindelning ut och kom tillbaka till en mycket skarp, tydlig sinnesstämning av känslan av en överhoppad slag. <br><br>Det finns bokstavligen hundratals åtgärder till verb att välja mellan. Kinesiska nyårsfirandet är tysta angelägenheter hemma eftersom det finns bara tre av oss. Är det inte förvirrande att allt är så vackert, trots alla fasor som finns? På senare tid har jag lagt märke till något stort och mystiskt kikar in i min ren glädje i [http://www.folkedahlberg.org/upload/data.asp Longchamp Väska] allt som är härliga känslan av en Skapare som oskyldig skapelse tillber med sin skönhet. <br><br>Det är oklart vid denna tidpunkt vad lag är [http://www.hosark.se/db/database.asp Vibram Skor] villiga att erbjuda en sådan affär till Nolasco och vad storleken på avtalet faktiskt kommer att bli. Mental trauma eller en olycka som har stört en människas sinne kan vara en av de utlösande faktorer för migrän. <br><br>Nivå 1b: Dessa klasser har en hög fokus och är påverkan konditionsträning. De drivs av rykte, tillförlitlighet [http://www.ziongraphics.com/agnes/base.asp Hollister Stockholm] och kvalitet,' sade han. När min fästman och jag gör det missionär jag brukar känna som om [http://www.folkedahlberg.org/upload/data.asp Longchamp Le Pliage] jag på väg att komma och det gör mig gå helt vilda.<ul> |
| | | |
| == Definition ==
| | <li>[http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2658387 http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2658387]</li> |
| Let ''V'' be a [[vector space]] of [[dimension (vector space)|dimension]] ''n'' over a [[field (mathematics)|field]] ''F'' and let
| | |
| :<math> B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_n \} </math>
| | <li>[http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=3&id=201010&Itemid=326#201828 http://hindichurch.com/index.php?option=com_kunena&view=topic&catid=3&id=201010&Itemid=326#201828]</li> |
| be an [[ordered basis]] for ''V''.
| | |
| Then for every <math> v \in V </math> there is a unique [[linear combination]] of the basis vectors that equals ''v'':
| | <li>[http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7837927 http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7837927]</li> |
| :<math> v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n .</math>
| | |
| The '''coordinate vector''' of ''v'' relative to ''B'' is the [[sequence]] of [[coordinates]]
| | <li>[http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/ http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/]</li> |
| :<math> [v]_B = (\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n) .</math>
| | |
| This is also called the ''representation of v with respect of B'', or the ''B representation of v''. The α-s are called the ''coordinates of v''. The order of the basis becomes important here, since it determines the order in which the coefficients are listed in the coordinate vector.
| | </ul> |
| | |
| Coordinate vectors of finite dimensional vector spaces can be represented by [[matrix_(mathematics)|matrices]] as [[column vector|column]]s or [[row vector]]s. In the above notation, one can write
| |
| :<math> [v]_B = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}</math>
| |
| or
| |
| :<math>[v]_B = [ \alpha_1, \dots, \alpha_n ].</math> | |
| | |
| | |
| == The standard representation ==
| |
| We can mechanize the above transformation by defining a function <math>\phi_B</math>, called the ''standard representation of V with respect to B'', that takes every vector to its coordinate representation: <math>\phi_B(v)=[v]_B</math>. Then <math>\phi_B</math> is a linear transformation from ''V'' to ''F''<sup>n</sup>. In fact, it is an [[isomorphism]], and its [[inverse function|inverse]] <math>\phi_B^{-1}:F^n\to V</math> is simply
| |
| :<math>\phi_B^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.</math>
| |
| | |
| Alternatively, we could have defined <math>\phi_B^{-1}</math> to be the above function from the beginning, realized that <math>\phi_B^{-1}</math> is an isomorphism, and defined <math>\phi_B</math> to be its inverse.
| |
| | |
| ==Examples== | |
| === Example 1 ===
| |
| Let P4 be the space of all the algebraic [[polynomials]] in degree less than 4 (i.e. the highest exponent of ''x'' can be 3). This space is linear and spanned by the following polynomials:
| |
| :<math> B_P = \{ 1, x, x^2, x^3 \} </math>
| |
| matching
| |
| :<math> 1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad ; \quad x := \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad ; \quad x^2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad ; \quad x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad </math>
| |
| then the corresponding coordinate vector to the polynomial
| |
| :<math> p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 </math> is <math> \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} </math> . | |
| According to that representation, the [[differentiation operator]] d/dx which we shall mark D will be represented by the following [[matrix (math)|matrix]]:
| |
| :<math> Dp(x) = P'(x) \quad ; \quad [D] =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 2 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & 3 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\
| |
| \end{bmatrix}
| |
| </math> | |
| Using that method it is easy to explore the properties of the operator: such as [[Invertible matrix|invertibility]], [[hermitian|hermitian or anti-hermitian or none]], spectrum and [[eigenvalues]] and more.
| |
| | |
| === Example 2 ===
| |
| The [[Pauli matrices]] which represent the [[Spin (physics)|spin]] operator when transforming the spin [[eigenstate]]s into vector coordinates.
| |
| | |
| == Basis transformation matrix == | |
| Let ''B'' and ''C'' be two different bases of a vector space ''V'', and let us mark with <math> [M]_{C}^{B} </math> the [[Matrix (mathematics)|matrix]] which has columns consisting of the ''C'' representation of basis vectors ''b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>'':
| |
| :<math> [M]_{C}^{B} =
| |
| \begin{bmatrix} \ [b_1]_C & \cdots & [b_n]_C \ \end{bmatrix}
| |
| </math> | |
| | |
| This matrix is referred to as the '''basis transformation matrix''' from ''B'' to ''C'', and can be used for transforming any vector ''v'' from a ''B'' representation to a ''C'' representation, according to the following [[theorem]]:
| |
| :<math> [v]_C = [M]_{C}^{B} [v]_B. </math>
| |
| | |
| If ''E'' is the [[standard basis]], the transformation from ''B'' to ''E'' can be represented with the following simplified notation:
| |
| | |
| :<math> v = [M]^B [v]_B. \,</math>
| |
| | |
| where
| |
| :<math> v = [v]_E, \,</math> and | |
| | |
| :<math> [M]^B = [M]_{E}^B. </math>
| |
| | |
| ===Corollary===
| |
| The matrix ''M'' is an [[invertible matrix]] and ''M<sup>-1</sup>'' is the basis transformation matrix from ''C'' to ''B''. In other words,
| |
| | |
| :<math> [M]_{C}^{B} [M]_{B}^{C} = [M]_{C}^{C} = \mathrm{Id} </math>
| |
| | |
| :<math> [M]_{B}^{C} [M]_{C}^{B} = [M]_{B}^{B} = \mathrm{Id} </math>
| |
| | |
| ===Remarks===
| |
| # The basis transformation matrix can be regarded as an [[automorphism]] over ''V''.
| |
| # In order to easily remember the theorem
| |
| :: <math> [v]_C = [M]_{C}^{B} [v]_B,</math>
| |
| ::notice that ''M'' 's [[superscript]] and ''v'' 's [[subscript]] indices are "canceling" each other and ''M'' 's subscript becomes ''v'' 's new subscript. This "canceling" of indices is not a real canceling but rather a convenient and intuitively appealing, although mathematically incorrect, manipulation of symbols, permitted by an appropriately chosen notation.
| |
| | |
| ==Infinite dimensional vector spaces==
| |
| | |
| Suppose ''V'' is an infinite dimensional vector space over a field ''F''. If the dimension is κ, then there is some basis of κ elements for ''V''. After an order is chosen, the basis can be considered an ordered basis. The elements of ''V'' are finite linear combinations of elements in the basis, which give rise to unique coordinate representations exactly as described before. The only change is that the indexing set for the coordinates is not finite. Since a given vector ''v'' is a ''finite'' linear combination of basis elements, the only nonzero entries of the coordinate vector for ''v'' will be the nonzero coefficients of the linear combination representing ''v''. Thus the coordinate vector for ''v'' is zero except in finitely many entries.
| |
| | |
| The linear transformations between (possibly) infinite dimensional vector spaces can be modeled, analogously to the finite dimensional case, with [[Infinite_matrix#Infinite_matrices|infinite matrices]]. The special case of the transformations from ''V'' into ''V'' is described in the [[full linear ring]] article.
| |
| | |
| ==See also==
| |
| * [[Change of basis]]
| |
| | |
| [[Category:Linear algebra]]
| |
| [[Category:Vectors]]
| |
Det finns ondska här Longchamp Väska
Det finns ondska här, men det är ondska institutionen och vad den gör med en troende offer, inte ondska på den del av offret själv.. Tillbaka från klipporna När du tar med din rökare upp till temperatur, det finns ingen anledning att hålla dumpning i kol.
Istället för att svälja kapslar E-vitamin, bara peta dem med en nål och pressa ut oljan till badkaret tillsammans med vanlig havssalt och droppar av din favorit essensoljor för ett uppfriskande bad. Jag ser också fram emot för Champions League, och förhoppningsvis den indiska Premier League också..
Hon verkade nästan inte en varelse av kött, men en av ren Kraft, skicka dom till dem som vågat föra krig till tornet självt. Regeringen i Gujarat s direktorat för sysselsättning Training, är en organisation med ett ISO 9001:2000-certifiering och ger sysselsättning och utbildning till ett stort antal ungdomar söker karriärmöjligheter inom staten.
Nitarna är exakt en halv tum stigning. Men min familj har väldigt mycket att besöka bloggen och titta på vilka vi har blivit under de senaste åren. Detta kan orsaka ett tryck på prostatakörteln. De inser inte att det inte är normalt för människor att börja få grått hår i 20-årsåldern och 30-talet.
Det finns ett brett spektrum av förberedelse för grönsak. Jag har hittat ett direkt samband mellan hur mycket stress / lite sömn jag får och vad som händer jag är livrädd; just ikväll (i morse?), efter att ha vistats upp för sent Det kändes som om jag var zonindelning ut och kom tillbaka till en mycket skarp, tydlig sinnesstämning av känslan av en överhoppad slag.
Det finns bokstavligen hundratals åtgärder till verb att välja mellan. Kinesiska nyårsfirandet är tysta angelägenheter hemma eftersom det finns bara tre av oss. Är det inte förvirrande att allt är så vackert, trots alla fasor som finns? På senare tid har jag lagt märke till något stort och mystiskt kikar in i min ren glädje i Longchamp Väska allt som är härliga känslan av en Skapare som oskyldig skapelse tillber med sin skönhet.
Det är oklart vid denna tidpunkt vad lag är Vibram Skor villiga att erbjuda en sådan affär till Nolasco och vad storleken på avtalet faktiskt kommer att bli. Mental trauma eller en olycka som har stört en människas sinne kan vara en av de utlösande faktorer för migrän.
Nivå 1b: Dessa klasser har en hög fokus och är påverkan konditionsträning. De drivs av rykte, tillförlitlighet Hollister Stockholm och kvalitet,' sade han. När min fästman och jag gör det missionär jag brukar känna som om Longchamp Le Pliage jag på väg att komma och det gör mig gå helt vilda.