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| In [[mathematics]], an '''uncountable set''' is an infinite [[Set (mathematics)|set]] that contains too many [[element_(mathematics)|elements]] to be [[countable set|countable]]. The uncountability of a set is closely related to its [[cardinal number]]: a set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all [[natural number]]s.
| | ナ[OK]を、Geはよだれ助けないJige参照してください [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-7.html ケイトスペード 財布 通販]。<br><br>は隠れ場所をしている、か？<br>二階に彼自身の考えにショックを受け、犯罪、より<br>、最後にチャンネルを歩き、ウェイターが、一見配布ルームと部屋に、クラッターの床を引く、パスをまっすぐうなずいたとき大手層の下に [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-6.html kate spade マザーズバッグ]......階下、左折停止する黒グー真冬の場所で、廊下に、左折して、カチャカチャという音が続き、小さな鉄の門が開きます [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-10.html ケイトスペード バッグ ショルダー]。ラッシュが来た何の外の雨を注ぐ [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-4.html ケイトスペード 時計 取り扱い店]。<br><br>は、実際に4つの中古品に出願された鄭チャオが車に急いで、暗い、車を待っている、鄭チャオが車の前に座って、車のサンウ音が始まった。<br><br>引っ張られるかを知ることができる人、言うまでもありませんが、暗室に保管されている、私は秘密のドアの外から、うろついサウナの中にある、唖然罪なので、巡航方向のも、彼の感覚なかったどの場所？<br><br>「ここに、全く換気を喫煙しないでください [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-1.html ケイトスペード 財布 店舗]。「粉末点火ツァイはちょうど、大きなお尻は、大きなお尻を吸うためにあえて文章を批判した。私は犯罪を比較し、その3、長い間、私の罪のために、実際には非常に静か |
| ==Characterizations==
| | 相关的主题文章： |
| | <ul> |
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| | <li>[http://www.bibk.nu/cgi-bin/guestbook_f96/guestbook.cgi http://www.bibk.nu/cgi-bin/guestbook_f96/guestbook.cgi]</li> |
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| | <li>[http://www.mattia.ca/cgi-bin/newsboard.cgi http://www.mattia.ca/cgi-bin/newsboard.cgi]</li> |
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| | <li>[http://e-hp.info/mitsuike/4-bbs/bbs/m-123y.cgi http://e-hp.info/mitsuike/4-bbs/bbs/m-123y.cgi]</li> |
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| | </ul> |
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| There are many equivalent characterizations of uncountability. A set ''X'' is uncountable if and only if any of the following conditions holds:
| | == またはので、彼女は非常にショックを受けた == |
| * There is no [[injective function]] from ''X'' to the set of natural numbers.
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| * ''X'' is nonempty and every ω-[[sequence]] of elements of ''X'' fails to include at least one element of ''X''. That is, ''X'' is nonempty and there is no [[surjective function]] from the natural numbers to ''X''.
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| * The [[cardinality]] of ''X'' is neither finite nor equal to <math>\aleph_0</math> ([[aleph number|aleph-null]], the cardinality of the [[natural number]]s).
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| * The set ''X'' has cardinality strictly greater than <math>\aleph_0</math>.
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| The first three of these characterizations can be proven equivalent in [[Zermelo–Fraenkel set theory]] without the [[axiom of choice]], but the equivalence of the third and fourth cannot be proved without additional choice principles.
| | 'まあ、ああ、あなたを呼び出す......あなたを教えて？'<br><br>「男どのように？ [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-14.html kate spade マザーズバッグ] '<br><br>'ハハッハッハ......あなたはハンサムであると思いますか？'<br><br>「間違いなく、省略、男を呼びの前で男ではありません。 [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-5.html ケイトスペードのバッグ] '<br>「ハッハッハ......それは男自身、その警察の男、あなたは忘れてはいけないことを、ああ、私に食事を作ることを約束した日と呼ばれている。」<br><br>「私は何の問題をしない毎日、あなたはああに招待された美しさを恐れていないよ。」<br><br><br>「そのことについて今日は？ '<br>「 [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-1.html ケイトスペード マザーズバッグ].........、二十四時間のスタンバイを呼ぶ」<br><br>2物質の言葉に、インターコンチネンタルホテルのレストランに設定作業から午後に予定Niwai、、、Niwai [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-10.html ケイトスペード バッグ ショルダー] 10分の間<br>、オーディオカットXiaomeng [http://www.dmwai.com/webalizer/kate-spade-11.html ケイトスペード 財布 通販] Qiは彼の下唇を噛ん、本当に男そう恥知らずな極端な側面を参照してください。またはので、彼女は非常にショックを受けた。<br><br>「これは小さな若いPaoniuの一種の伝説とは？」でも赤市が彼の頬に傷をつけ、霧が聞こえ、それが彼のシークレットサービスの考え方に反している。 |
| | | 相关的主题文章： |
| ==Properties==
| | <ul> |
| * If an uncountable set ''X'' is a subset of set ''Y'', then ''Y'' is uncountable.
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| | | <li>[http://www.zxmrzn.com/home.php?mod=space&uid=209146 http://www.zxmrzn.com/home.php?mod=space&uid=209146]</li> |
| == Examples ==
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| | | <li>[http://www.d1km.com/home.php?mod=space&uid=23622 http://www.d1km.com/home.php?mod=space&uid=23622]</li> |
| The best known example of an uncountable set is the set '''R''' of all [[real number]]s; [[Cantor's diagonal argument]] shows that this set is uncountable. The diagonalization proof technique can also be used to show that several other sets are uncountable, such as the set of all infinite [[sequence]]s of [[natural number]]s and the set of all [[subset]]s of the set of natural numbers. The cardinality of '''R''' is often called the [[cardinality of the continuum]] and denoted by ''c'', or <math>2^{\aleph_0}</math>, or <math>\beth_1</math> ([[cardinality of the continuum|beth-one]]).
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| | | <li>[http://www.wenxuelu.com/home.php?mod=space&uid=183243 http://www.wenxuelu.com/home.php?mod=space&uid=183243]</li> |
| The [[Cantor set]] is an uncountable subset of '''R'''. The Cantor set is a [[fractal]] and has [[Hausdorff dimension]] greater than zero but less than one ('''R''' has dimension one). This is an example of the following fact: any subset of '''R''' of Hausdorff dimension strictly greater than zero must be uncountable.
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| | | </ul> |
| Another example of an uncountable set is the set of all [[Function (mathematics)|function]]s from '''R''' to '''R'''. This set is even "more uncountable" than '''R''' in the sense that the cardinality of this set is <math>\beth_2</math> ([[beth two|beth-two]]), which is larger than <math>\beth_1</math>.
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| A more abstract example of an uncountable set is the set of all countable [[ordinal number]]s, denoted by Ω or ω<sub>1</sub>. The cardinality of Ω is denoted <math>\aleph_1</math> ([[aleph number|aleph-one]]). It can be shown, using the [[axiom of choice]], that <math>\aleph_1</math> is the ''smallest'' uncountable cardinal number. Thus either <math>\beth_1</math>, the cardinality of the reals, is equal to <math>\aleph_1</math> or it is strictly larger. [[Georg Cantor]] was the first to propose the question of whether <math>\beth_1</math> is equal to <math>\aleph_1</math>. In 1900, [[David Hilbert]] posed this question as the first of his [[Hilbert's problems|23 problems]]. The statement that <math>\aleph_1 = \beth_1</math> is now called the [[continuum hypothesis]] and is known to be independent of the [[Zermelo–Fraenkel axioms]] for [[set theory]] (including the axiom of choice).
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| ==Without the axiom of choice==
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| Without the [[axiom of choice]], there might exist cardinalities [[Comparability|incomparable]] to <math>\aleph_0</math> (namely, the cardinalities of [[Dedekind-finite]] infinite sets). Sets of these cardinalities satisfy the first three characterizations above but not the fourth characterization. Because these sets are not larger than the natural numbers in the sense of cardinality, some may not want to call them uncountable.
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| If the axiom of choice holds, the following conditions on a cardinal <math>\kappa\!</math> are equivalent:
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| *<math>\kappa \nleq \aleph_0;</math>
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| *<math>\kappa > \aleph_0;</math> and
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| *<math>\kappa \geq \aleph_1</math>, where <math>\aleph_1 = |\omega_1 |</math> and <math>\omega_1\,</math> is least [[initial ordinal]] greater than <math>\omega.\!</math>
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| However, these may all be different if the axiom of choice fails. So it is not obvious which one is the appropriate generalization of "uncountability" when the axiom fails. It may be best to avoid using the word in this case and specify which of these one means.
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| ==See also== | |
| *[[Aleph number]]
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| *[[Beth number]]
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| *[[Injective function]]
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| *[[Natural number]]
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| == References ==
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| *[[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
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| *{{Citation|last=Jech|first=Thomas|authorlink=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}
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| ==External links==
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| *[http://www.apronus.com/math/uncountable.htm Proof that '''R''' is uncountable]
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| {{logic}}
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| {{Set theory}}
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| [[Category:Basic concepts in infinite set theory]]
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| [[Category:Infinity]]
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| [[Category:Cardinal numbers]]
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| [[ru:Счётное множество#Связанные понятия]]
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は隠れ場所をしている、か
ナ[OK]を、Geはよだれ助けないJige参照してください ケイトスペード 財布 通販。
は隠れ場所をしている、か？
二階に彼自身の考えにショックを受け、犯罪、より
、最後にチャンネルを歩き、ウェイターが、一見配布ルームと部屋に、クラッターの床を引く、パスをまっすぐうなずいたとき大手層の下に kate spade マザーズバッグ......階下、左折停止する黒グー真冬の場所で、廊下に、左折して、カチャカチャという音が続き、小さな鉄の門が開きます ケイトスペード バッグ ショルダー。ラッシュが来た何の外の雨を注ぐ ケイトスペード 時計 取り扱い店。
は、実際に4つの中古品に出願された鄭チャオが車に急いで、暗い、車を待っている、鄭チャオが車の前に座って、車のサンウ音が始まった。
引っ張られるかを知ることができる人、言うまでもありませんが、暗室に保管されている、私は秘密のドアの外から、うろついサウナの中にある、唖然罪なので、巡航方向のも、彼の感覚なかったどの場所？
「ここに、全く換気を喫煙しないでください ケイトスペード 財布 店舗。「粉末点火ツァイはちょうど、大きなお尻は、大きなお尻を吸うためにあえて文章を批判した。私は犯罪を比較し、その3、長い間、私の罪のために、実際には非常に静か
相关的主题文章：
またはので、彼女は非常にショックを受けた
'まあ、ああ、あなたを呼び出す......あなたを教えて？'
「男どのように？ kate spade マザーズバッグ '
'ハハッハッハ......あなたはハンサムであると思いますか？'
「間違いなく、省略、男を呼びの前で男ではありません。 ケイトスペードのバッグ '
「ハッハッハ......それは男自身、その警察の男、あなたは忘れてはいけないことを、ああ、私に食事を作ることを約束した日と呼ばれている。」
「私は何の問題をしない毎日、あなたはああに招待された美しさを恐れていないよ。」
「そのことについて今日は？ '
「 ケイトスペード マザーズバッグ.........、二十四時間のスタンバイを呼ぶ」
2物質の言葉に、インターコンチネンタルホテルのレストランに設定作業から午後に予定Niwai、、、Niwai ケイトスペード バッグ ショルダー 10分の間
、オーディオカットXiaomeng ケイトスペード 財布 通販 Qiは彼の下唇を噛ん、本当に男そう恥知らずな極端な側面を参照してください。またはので、彼女は非常にショックを受けた。
「これは小さな若いPaoniuの一種の伝説とは？」でも赤市が彼の頬に傷をつけ、霧が聞こえ、それが彼のシークレットサービスの考え方に反している。
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